Binomial taqsimotning kutilgan qiymati
Binomial taqsimot statistika va ehtimollikda eng ko'p uchraydigan diskret ehtimollik taqsimotlaridan biridir. Ushbu taqsimot bir qator mustaqil ikkilik sinovlardagi (faqat ikkita natijaga ega sinovlar: muvaffaqiyat yoki muvaffaqiyatsizlik) muvaffaqiyatlar sonini tavsiflaydi. Binomial taqsimotni yaxshiroq tushunish uchun uzoq muddat davomida takrorlangan sinovning o'rtacha qiymatini tavsiflovchi kutilgan qiymat tushunchasini tushunish muhimdir. Ushbu maqolada binomial taqsimot kontekstida kutilgan qiymat tushunchasi ko'rib chiqiladi.
Binomial taqsimotning ta'rifi
Binomial taqsimot biz bir qator bir xil va mustaqil sinovlarni o'tkazadigan kontekstlarda yuzaga keladi va har bir sinov odatda "muvaffaqiyat" va "muvaffaqiyatsizlik" deb ataladigan ikkita o'zaro istisno natijaga ega. Masalan, tanga tashlash (boshlar yoki dumlar), imtihon savoliga javob berish (rost yoki noto'g'ri) yoki tibbiy sinov (davolangan yoki davolanmagan).
Binomial taqsimot ikkita parametr bilan belgilanadi:
– n, sinovlar soni.
– p, har bir sinovda muvaffaqiyat qozonish ehtimoli.
Taxminan aytganda, agar X n ta sinovdagi muvaffaqiyatlar sonini ifodalovchi tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa, u holda X n va p parametrlari bilan binomial taqsimotga amal qiladi, bu X ~ Binomial(n, p) deb belgilanadi.
Ehtimollik funksiyasi
Binomial taqsimotning ehtimollik funksiyasi quyidagicha:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
Qayerda:
– \( \binom{n}{k} \) binom koeffitsienti bo'lib, u \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) sifatida hisoblanadi.
– \( k \) - kerakli muvaffaqiyatlar soni.
– \(n \) - sinovlar soni.
– \( p \) har bir sinovda muvaffaqiyat qozonish ehtimoli.
– \( (1-p) \) har bir sinovda muvaffaqiyatsizlik ehtimoli.
Kutilayotgan qiymat
Ehtimollik taqsimotining kutilgan qiymati yoki o'rtacha qiymati markaziy joylashuvning eng muhim o'lchovlaridan biridir. Binomial taqsimot uchun Binomial(n, p) dan keyin keladigan tasodifiy X o'zgaruvchisining kutilgan qiymati quyidagicha:
\[ E(X) = np \]
Kutilayotgan qiymatning isboti
Binomial taqsimotning kutilgan qiymati nima uchun np ekanligini tushunish uchun biz kutilgan qiymatning chiziqlilik xususiyatidan foydalanishimiz va ikkilik o'zgaruvchilarning ularning hissasiga qanday qo'shilishini ko'rishimiz mumkin.
Keling, \(X \) ni n ta ikkilik sinovlardagi muvaffaqiyatlar soni sifatida belgilaylik. Aniqrog'i, \(X_i \) i-sinov natijasini bildiruvchi tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin, agar i-sinov muvaffaqiyatli bo'lsa, \(X_i = 1 \) va agar muvaffaqiyatsiz bo'lsa, \(X_i = 0 \) bo'lsin. U holda, \(X \) ni quyidagicha yozishimiz mumkin:
\[ X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n \]
Har bir \(X_i \) muvaffaqiyat ehtimoli p bo'lgan ikkilik o'zgaruvchi bo'lgani uchun, \(X_i \) ning kutilgan qiymati quyidagicha:
\[ E(X_i) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p \]
X ning kutilgan qiymati uchun kutilgan qiymatning chiziqlilik xususiyatidan foydalanishimiz mumkin:
\[ E(X) = E(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) \]
\[ E(X) = E(X_1) + E(X_2) + \ldots + E(X_n) \]
\[ E(X) = p + p + \ldots + p \]
\[ E(X) = np \]
Bu binomial taqsimotning kutilgan qiymati np ekanligini ko'rsatadi.
Tasviriy misol
Adolatli tangani 10 marta aylantirgan holatni ko'rib chiqaylik. Keling, tangalarni boshlarga aylantirish natijasida olinadigan aylantirishlar sonining kutilgan qiymati qanday bo'lishini so'raylik.
Ushbu holatda:
– n = 10 (tanga tashlashlar soni)
– p = 0.5 (tanga adolatli bo'lgani uchun boshlarni olish ehtimoli)
Shunday qilib, kutilgan qiymat quyidagicha:
\[E(X) = np = 10 \0.5 = 5 marta \]
Bu shuni anglatadiki, agar biz uzoq muddat davomida tangani 10 marta takroran tashlasak, o'rtacha hisobda 5 marta tanganing boshlari olinadi.
Dispersiya va standart og'ish
Kutilgan qiymatdan tashqari, binomial taqsimotning dispersiyasi va standart og'ishini ham tushunish muhimdir.
Binomial taqsimot uchun dispersiya \( \sigma^2 \) va standart og'ish \( \sigma \) quyidagicha:
\[ \sigma^2 = np(1-p) \]
\[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]
Dispersiya ma'lumotlarning kutilgan qiymatdan qanchalik uzoqda tarqalishini o'lchaydi. Standart og'ish dispersiyaning kvadrat ildizidir va ma'lumotlarning tarqalishini ham o'lchaydi, lekin asl ma'lumotlar bilan bir xil birliklarda.
Xulosa
Binomial taqsimot statistika va ehtimollikdagi asosiy tushuncha bo'lib, biznesdan tortib ijtimoiy fanlar va biologiyagacha bo'lgan turli real hayotdagi qo'llanmalarda tez-tez uchraydi. Binomial taqsimotning kutilgan qiymati, np sifatida hisoblangan, bir qator ikkilik sinovlardagi o'rtacha muvaffaqiyatlar soni haqida muhim tushuncha beradi. Kutilgan qiymat, dispersiya va standart og'ish tushunchalarini tushunish orqali biz binomial taqsimotning xususiyatlarini va uning kundalik hayotdagi muayyan hodisalarni qanday tasvirlashini aniqroq tushunishimiz mumkin.
Bu bilim nafaqat ma'lumotlarni tahlil qilish va statistikada, balki ehtimollik va noaniqlikni baholashni talab qiladigan qarorlar qabul qilishda ham juda foydali. Kutilgan qiymat va binomial taqsimotni tushunish bizga aniqroq bashorat qilish va ko'proq xabardor qarorlar qabul qilishda yordam beradi.
