Ikki aylananing joylashuvi: Geometrik tahlil
Matematikada, ayniqsa geometriyada, ikki doiraning o'rnini tushunish hal qiluvchi rol o'ynaydi. Doiralar nazariyada ham, amaliy qo'llanmalarda ham tez-tez uchraydigan asosiy geometrik shakllardan biridir. Ikki doiraning o'rni tekislikka joylashtirilganda bu ikki shaklning o'zaro ta'siri haqida tushuncha beradi. Ushbu tadqiqot kesishish nuqtasidan tortib kesishish nuqtasigacha bo'lgan turli xil mumkin bo'lgan o'zaro ta'sirlarni tahlil qilishni o'z ichiga oladi. Ushbu maqolada ikki doiraning o'rni va turli bog'liq jihatlar batafsil ko'rib chiqiladi.
Ta'riflar va eslatmalar
Avvalo, Dekart tekisligida ikkita aylanani rasman ta'riflaylik. Markazi 1(x_1, y_1)) va radiusi 1(r_1) bo'lgan 1(C_1) aylana quyidagi tenglama bilan ifodalanishi mumkin:
\[
C_1 : (x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 = r_1^2
\]
Xuddi shunday, markazi 1(P_2(x_2, y_2)) va radiusi 1(r_2) bo'lgan 1(C_2) aylana quyidagicha ifodalanadi:
\[
C_2 : (x – x_2)^2 + (y – y_2)^2 = r_2^2
\]
Bu ikki aylananing joylashuvi ularning markazlari orasidagi masofaga (\(d\)) va radiuslarining uzunligiga bog'liq. \(P_1\) va \(P_2\) ikki aylananing markazlari orasidagi \(d\) masofani quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:
\[
d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}
\]
Ikki doira pozitsiyasi toifasi
Umuman olganda, ikki doira beshta pozitsiyani boshdan kechirishi mumkin:
1. Tasodif (Ikki doira mos kelishi)
2. Kesishmaydigan (o'zaro istisno qiluvchi)
3. Tashqi tangens
4. Ichki teginish (Ichki teginish)
5. Kesishish
Ushbu toifalarning har biri o'zining geometrik shartlariga ega, biz ularni quyida batafsil ko'rib chiqamiz.
1. Tasodif (Ikki doira mos kelishi)
Ikki aylananing markazi va radiusi bir xil bo'lsa, ular mos keladigan yoki mos keladigan deb hisoblanadi. Matematik jihatdan bu quyidagilarni anglatadi:
\[
P_1 \equiv P_2 \quad \text{and} \quad r_1 = r_2
\]
Bu holda, \(d = 0\). Ikki aylana bir xil va bir aylananing har bir nuqtasi boshqa aylananing nuqtasidir.
2. Kesishmaydigan (o'zaro istisno qiluvchi)
Ikkita aylana ikkita shart ostida kesishmaydi deyiladi:
– Birinchi shart: Ikki aylananing (d) markazlari orasidagi masofa ularning radiuslari uzunliklarining yig'indisidan katta bo'lganda:
\[
d > r_1 + r_2
\]
– Ikkinchi shart: Bir doira boshqa doira ichida umuman tegmasdan turganda. Bu quyidagi hollarda sodir bo'ladi:
\[
d < |r_1 - r_2| \] Ikkala holatda ham, \(C_1\) va \(C_2\) doiralari o'rtasida umumiy nuqta yo'q. 3. Tashqi Tangens Ikki doira bir nuqtada tegib, bir-birining tashqi tomonida joylashgan bo'lsa, tashqi Tangens hisoblanadi. Bu ikki doira markazlari orasidagi masofa ularning radiuslari yig'indisiga teng bo'lganda sodir bo'ladi:
