Garmonik tebranish formulalari va misollari
Garmonik tebranish fizikada asosiy mavzu bo'lib, davriy harakat, to'lqinlar va muhandislik qo'llanmalari haqidagi munozaralarda tez-tez uchraydi. Biz uni prujinalar, mayatniklar (kichik burchaklar uchun) va hatto materiyadagi molekulalarning tebranishida ham topishimiz mumkin. U "garmonik" deb ataladi, chunki uning harakati muntazam naqshga amal qiladi va sinus yoki kosinus funktsiyalari bilan modellashtirilishi mumkin. Ushbu maqolada garmonik tebranish tushunchasini tushunishga yordam beradigan qisqacha ta'rif, asosiy formulalar va yechimlar bilan bog'liq misollar muhokama qilinadi.
1. Garmonik tebranishlarni tushunish
Oddiy garmonik tebranish (SHM) - bu muvozanat nuqtasidan o'tib, kattaligi siljishga mutanosib va yo'nalishi doimo muvozanat nuqtasiga qarab bo'lgan tiklovchi kuch bilan jismning oldinga va orqaga harakati. Matematik jihatdan uning xususiyatlarini quyidagicha yozish mumkin:
F = −kx
Minus belgisi kuch yo'nalishi og'ish yo'nalishiga qarama-qarshi ekanligini bildiradi. Agar jism o'ngga tortilsa (musbat x), tiklovchi kuch chapga (manfiy) va aksincha.
GHSga misol sifatida eng ko'p tilga olinadigan ikkita tizim:
1. Prujina-massa tizimi (prujina oxiridagi massa).
2. Oddiy mayatnik (kichik burchaklar uchun, odatda < 15°). 2. Garmonik tebranishdagi muhim kattaliklar GHSda doimo uchraydigan ba'zi kattaliklar: - Og'ish (x): obyektning muvozanat nuqtasidan masofasi (m). - Amplituda (A): maksimal og'ish (m). - Davr (T): bitta to'liq tebranish uchun zarur bo'lgan vaqt (s). - Chastota (f): soniyadagi tebranishlar soni (Hz). - Burchak tezligi / burchak chastotasi (ω): sinus/kosinus tenglamasidagi muhim parametr (rad/s). - Faza (φ): harakatning boshlang'ich shartlarini belgilaydi. Davr va chastota o'rtasidagi asosiy bog'liqlik: f = 1/T Va ω ning T va f bilan bog'liqligi: ω = 2πf = 2π/T 3. Garmonik tebranish tenglamasi Vaqt funksiyasi sifatida og'ishning umumiy shakli quyidagicha yozilishi mumkin: x(t) = A sin(ωt + φ) yoki x(t) = A cos(ωt + φ)
sin/cos ni tanlash ham boshlang'ich shartlarga qarab bir xil darajada to'g'ri (masalan, t = 0 da, pozitsiya amplitudada yoki muvozanat nuqtasida). Tezlik va tezlanish Tezlik siljishning birinchi hosilasidir: v(t) = dx/dt = Aω cos(ωt + φ) (agar x = A sin) yoki boshlang'ich shaklga ko'ra manfiy ham bo'lishi mumkin. Tezlanish ikkinchi hosiladir: a(t) = d²x/dt² = −Aω² sin(ωt + φ) x(t) = A sin(ωt + φ) bo'lgani uchun: a(t) = −ω² x(t) Bu GHS ning asosiy xususiyati: tezlanish siljish bilan mutanosib va yo'nalishda teskari. Maksimal tezlik va maksimal tezlanish - v_max = Aω - a_max = Aω² Maksimal tezlik obyekt muvozanat nuqtasidan (x = 0) o'tganda sodir bo'ladi. Maksimal tezlanish amplitudada (x = ±A) sodir bo'ladi. 4. Prujinalar va mayatniklarda tebranish davri A. Prujina-massa Prujina doimiysi k va massasi m bo'lgan ideal prujina uchun: T = 2π √(m/k) ω = √(k/m) Bu shuni anglatadiki, massa qanchalik katta bo'lsa, davr shuncha katta (sekinroq). k qanchalik katta bo'lsa (prujina qanchalik qattiq bo'lsa), davr shuncha kichik (tezroq). B. Oddiy mayatnik (kichik burchak) Ip uzunligi L va tortishish tezlanishi g bo'lgan mayatnik uchun: T = 2π √(L/g) ω = √(g/L) Qizig'i shundaki, kichik burchak yaqinlashuvida davr mayatnik massasiga bog'liq emas, u faqat uzunlik va tortishish kuchiga bog'liq. 5. Garmonik tebranishdagi energiya GHSda umumiy energiya doimiy bo'lib qoladi (agar ishqalanish bo'lmasa): - Prujinaning potensial energiyasi: Ep = ½ kx² - Kinetik energiya: Ek = ½ mv² - Umumiy mexanik energiya: E = Ek + Ep = ½ kA² x = ±A bo'lganda, v = 0 bo'lsa, energiya to'liq potensialdir. x = 0 bo'lganda, Ep = 0 va energiya to'liq kinetikdir. 6. Misol savollar va muhokama 1-misol: Prujina davrini aniqlash 0,5 kg massali narsa doimiy k = 200 N/m bo'lgan prujinaga osilgan. Tebranish davrini aniqlang! Berilgan: m = 0,5 kg, k = 200 N/m So'ralgan: T Javob: T = 2π √(m/k) = 2π √(0,5 / 200) = 2π √(0,0025) = 2π (0,05) = 0,1π s ≈ 0,314 s
Demak, prujina tebranish davri taxminan 0,314 s ga teng. --- 2-misol: Chastotani va ω ni aniqlash 1-savoldan (f) va ω chastotasini aniqlang! Javob: f = 1/T = 1/0,314 ≈ 3,18 Hz ω = 2π/T = 2π/0,314 ≈ 20 rad/s (yoki to'g'ridan-to'g'ri ω = √(k/m) = √(200/0,5) = √400 = 20 rad/s) Demak, chastota taxminan 3,18 Hz va ω = 20 rad/s ga teng. --- 3-misol: Og'ish tenglamasi Jism 0,10 m amplituda va ω = 5 rad/s bilan garmonik tebranadi. t = 0 da, jism muvozanat nuqtasida bo'ladi va musbat yo'nalishda harakatlanadi. Og'ish tenglamasini aniqlang! Berilgan: A = 0,10 m, ω = 5 rad/s Boshlang'ich shartlar: t = 0 → x = 0 va boshlang'ich v musbat. Agar x(0) = 0 bo'lsa, mos keladigan shakl sinusdir: x(t) = A sin(ωt) v(t) = Aω cos(ωt) bo'lgani uchun, v(0) = Aω cos(0) = Aω mos ravishda musbat. Shunday qilib: x(t) = 0,10 sin(5t) (metr) --- 4-misol: Maksimal tezlik va maksimal tezlanish 3-misoldan v_max va a_max ni aniqlang. Javob: v_max = Aω = 0,10 × 5 = 0,50 m/s a_max = Aω² = 0,10 × 25 = 2,5 m/s² Shunday qilib, v_max = 0,50 m/s va a_max = 2,5 m/s². --- 5-misol: Prujinadagi energiya k = 100 N/m bo'lgan prujina A = 0,20 m amplituda bilan tebranadi. Uning umumiy mexanik energiyasini hisoblang! Javob: E = ½ kA² = ½ (100)(0,20)² = 50 × 0,04 = 2 J Tebranishning umumiy mexanik energiyasi 2 joulga teng. --- 6-misol: Mayatnik davri Oddiy mayatnikning uzunligi 1 m. Agar g = 10 m/s² bo'lsa, uning davrini aniqlang. Javob: T = 2π √(L/g) = 2π √(1/10) = 2π √0,1 ≈ 2π (0,316) ≈ 1,99 s Demak, mayatnikning davri taxminan 2,0 s ga teng. 7. Xulosa Oddiy garmonik tebranish fizikada juda fundamental davriy harakatdir. Uni tushunishning kaliti siljish (F = −kx) ga mutanosib bo'lgan tiklash kuchi va sinus/kosinus funksiyasiga amal qiluvchi matematik modeli o'rtasidagi bog'liqlikdadir. Prujinalar va mayatniklar uchun davr formulasini, siljish-tezlik-tezlanish tenglamalarini va energiya tushunchasini tushunish orqali siz tebranishlar va to'lqinlar bilan bog'liq masalalar ustida ishlashingiz osonlashadi.
Agar xohlasangiz, men qo'shimcha amaliy savollar qo'shishim mumkin (avval muhokama qilmasdan) yoki imtihonga tayyor formulalarning umumlashtirilgan versiyasini yaratishim mumkin.
