Dekart koordinatalar tizimidagi uch o'lchovli vektorlarga oid misol savollar va muhokama
Uch o'lchovli vektorlar matematika va fizikada muhim tushuncha bo'lib, ko'pincha uch o'lchovli fazoda obyektlar yoki hodisalarni ifodalash uchun ishlatiladi. Dekart koordinatalar tizimida bu vektorlar odatda \( (x, y, z) \) deb belgilanadigan uchta komponent bilan ifodalanadi. Ushbu maqolada Dekart koordinatalar tizimidagi uch o'lchovli vektorlarga oid bir nechta misol masalalar va yechimlar muhokama qilinadi.
Uch o'lchovli vektorlarni tushunish
Uch o'lchovli fazodagi vektorni quyidagicha ifodalash mumkin \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\), bu yerda:
– \(A_x\) vektorning x o'qi bo'ylab joylashgan komponentidir.
– \(A_y\) y o'qi bo'ylab vektor komponentidir.
– \(A_z\) z o'qi bo'ylab vektor komponentidir.
Namunaviy savollar va muhokama
1-savol: Vektorli qo'shish amali
Ikki vektor berilgan, \(\mathbf{A} = (2, -3, 4)\) va \(\mathbf{B} = (-1, 5, 2)\). Ushbu ikki vektorning yig'indisini hisoblang.
Munozara:
Ikkita \(\mathbf{A}\) va \(\mathbf{B}\) vektorlarini qo'shish ularning mos komponentlarini qo'shish orqali amalga oshiriladi. Shunday qilib, bizda quyidagilar mavjud:
\[
\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B} = (A_x + B_x, A_y + B_y, A_z + B_z)
\]
Berilgan vektor qiymatlarini almashtiring:
\[
\mathbf{C} = (2 + (-1), -3 + 5, 4 + 2) = (1, 2, 6)
\]
Demak, \(\mathbf{A}\) va \(\mathbf{B}\) vektorlarini qo'shish natijasi \(\mathbf{C} = (1, 2, 6)\) ga teng.
2-savol: Vektorli ayirish amali
Ikki vektor berilgan, \(\mathbf{A} = (4, 1, -2)\) va \(\mathbf{B} = (5, -3, 6)\). Ushbu ikkita vektorning, ya'ni \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\) ayirmasini hisoblang.
Munozara:
Ikkita \(\mathbf{A}\) va \(\mathbf{B}\) vektorlarini ayirish ularning mos keladigan komponentlarini ayirish orqali amalga oshiriladi. Shunday qilib, bizda quyidagilar mavjud:
\[
\mathbf{D} = \mathbf{A} - \mathbf{B} = (A_x - B_x, A_y - B_y, A_z - B_z)
\]
Berilgan vektor qiymatlarini almashtiring:
\[
\mathbf{D} = (4 – 5, 1 – (-3), -2 – 6) = (-1, 4, -8)
\]
Demak, \(\mathbf{A}\) va \(\mathbf{B}\) vektorlarini ayirish natijasi \(\mathbf{D} = (-1, 4, -8)\) ga teng.
3-savol: Skalyar ko'paytirish amali
\(\mathbf{A} = (3, -2, 7)\) vektori va skalyar \(k = 4\) berilgan. Ushbu vektorlarning skalyar ko'paytmasini hisoblang.
Munozara:
Skalyar \(k\) ni \(\mathbf{A}\) vektoriga ko'paytirish vektorning har bir komponentini shu skalyarga ko'paytirish orqali amalga oshiriladi. Shunday qilib, bizda quyidagilar mavjud:
\[
\mathbf{E} = k \cdot \mathbf{A} = k \cdot (A_x, A_y, A_z) = (k \cdot A_x, k \cdot A_y, k \cdot A_z)
\]
Berilgan qiymatlarni almashtiring:
\[
\mathbf{E} = 4 \cdot (3, -2, 7) = (4 \cdot 3, 4 \cdot -2, 4 \cdot 7) = (12, -8, 28)
\]
Demak, skalyar \(k\) ni \(\mathbf{A}\) vektoriga ko'paytirish natijasi \(\mathbf{E} = (12, -8, 28)\) ga teng.
4-savol: Vektor uzunligi
\(\mathbf{A} = (1, 2, 2)\) vektorining uzunligini (kattaligini) hisoblang.
Munozara:
Vektorning uzunligi yoki kattaligi \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) quyidagi formula yordamida hisoblanishi mumkin:
\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}
\]
Berilgan qiymatlarni almashtiring:
\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
\]
Demak, \(\mathbf{A}\) vektorining uzunligi 3 ga teng.
5-savol: Nuqtali ko'paytma
Ikki vektor berilgan, \(\mathbf{A} = (1, 0, -1)\) va \(\mathbf{B} = (2, 3, 4)\). Bu ikki vektorning nuqtali ko'paytmasini hisoblang.
Munozara:
Ikki vektorning nuqtali ko'paytmasi \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) va \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) mos keladigan komponentlarni ko'paytirish va keyin ularni qo'shish orqali amalga oshiriladi. Shunday qilib, bizda quyidagilar mavjud:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z
\]
Berilgan qiymatlarni almashtiring:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (1 \cdot 2) + (0 \cdot 3) + (-1 \cdot 4) = 2 + 0 – 4 = -2
\]
Demak, \(\mathbf{A}\) va \(\mathbf{B}\) vektorlarining nuqtali ko'paytma -2 ga teng.
6-savol: O'zaro hosila
Ikki vektor berilgan, \(\mathbf{A} = (1, 2, 3)\) va \(\mathbf{B} = (4, 5, 6)\). Bu ikki vektorning o'zaro ko'paytmasini hisoblang.
Munozara:
Ikki vektorning oʻzaro koʻpaytmasi \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) va \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) quyidagi formula yordamida hisoblanadi:
\[
\mathbf{A} \mathbf{B} = \left( (A_y \cdot B_z – A_z \cdot B_y), (A_z \cdot B_x – A_x \cdot B_z), (A_x \cdot B_y – A_y \cdot B_x) \right)
\]
Berilgan qiymatlarni almashtiring:
\[
\mathbf{A} \mathbf{B} = \left( (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5), (3 \cdot 4 – 1 \cdot 6), (1 \cdot 5 – 2 \cdot 4) \right) = (12 – 15, 12 – 6, 5 – 8) = (-3, 6, -3)
\]
Demak, \(\mathbf{A}\) va \(\mathbf{B}\) vektorlarining o'zaro ko'paytmasi \(\mathbf{A} \times \mathbf{B} = (-3, 6, -3)\) ga teng.
Xulosa
Dekart koordinatalar tizimidagi uch o'lchovli vektorlar fan va muhandislikning turli sohalarida muhim vositalardir. Yuqoridagi misollar va muhokamalar orqali biz vektorlar ustida qo'shish, ayirish, skalyar ko'paytirish va nuqta va kesishma ko'paytmalari kabi turli xil asosiy amallarni qanday bajarishni ko'rib chiqdik. Ushbu tushunchalarni chuqur tushunish nafaqat matematikada, balki fizika, muhandislik va informatika sohalarida amaliy qo'llanmalarda ham bebaho bo'ladi.
