Guruh ma'lumotlarining dispersiyasi va standart og'ishini muhokama qiluvchi misol savollar
Pendahuluan
Statistikada dispersiya va standart og'ish ma'lumotlarning o'rtacha qiymatdan tarqalishini yoki tarqalishini tushunish uchun juda muhim bo'lgan ikkita statistik o'lchovdir. Dispersiya ma'lumotlarning o'rtacha qiymatdan qanchalik uzoqda tarqalishini o'lchaydi, standart og'ish esa dispersiyaning kvadrat ildizi bo'lib, asl ma'lumotlar bilan bir xil birliklarda o'lchanadigan o'lchovni ta'minlaydi.
Ta'rifi
– Dispersiya (σ² yoki S²): Har bir ma'lumot qiymati va ma'lumotlarning o'rtacha qiymati orasidagi farqlar kvadratlarining o'rtacha qiymati.
– Standart og'ish (σ yoki S): Dispersiyaning kvadrat ildizidir.
Guruh ma'lumotlarining o'zgaruvchanligi va standart og'ishi uchun formula
Guruh ma'lumotlari uchun biz har bir klassdagi ma'lumotlarning chastotasidan foydalanamiz. Formula quyidagicha:
Variant
\[ S^2 = \frac{ \sum f_i \left( x_i – \bar{x} \right)^2 }{ N-1 } \]
Standart og'ish
\[ S = \sqrt{S^2} \]
Qayerda:
– \( f_i \) = har bir klassning chastotasi.
– \( x_i \) = har bir klassning o'rta nuqtasi.
– \( \bar{x} \) = guruh ma'lumotlarining o'rtacha qiymati.
– \( N \) = ma'lumotlarning umumiy soni.
Namunaviy savollar va muhokama
Sinflarga guruhlangan odamlar guruhi uchun vazn ma'lumotlarimiz bor deb faraz qilaylik.
| Vazn oralig'i (kg) | Chastota (f) |
|————————|————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |
Birinchi qadam har bir klassning o'rta nuqtasini (\(x_i \)) aniqlash va keyin o'rtacha qiymatni (\( \bar{x} \)) hisoblashdir.
1. O'rta nuqtani hisoblash (\(x_i \))
\[ \text{O'rta nuqta} = \frac{\text{Pastki chegara} + \text{Yuqori chegara}}{2} \]
| Og'irlik oralig'i (kg) | Chastota (f) | O'rta nuqta (\( x_i \) ) |
|——————|————–|—————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |
2. O'rtacha qiymatni hisoblash ( \( \bar{x} \) )
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{ N} \]
Ma'lumotlarning umumiy soni \(N \):
\[N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
\[ \sum f_i x_i = (2 \times 52) + (5 \times 57) + (8 \times 62) + (7 \times 67) + (3 \times 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
Shunday qilib, o'rtacha (\( \bar{x} \)):
\[ \bar{x} = \frac{1570}{25} = 62.8 \]
3. Dispersiyani hisoblash (\( S^2 \) )
Biz \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \) ni hisoblashimiz kerak:
\[
\begin{align}
(x_i – \bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{align}
\]
Chastotaga ko'paytirish:
\[
\begin{align}
f_i (x_i – \bar{x})^2: & 2 \times 118.84 = 237.68 \\
& 5 marta 33.64 = 168.2
& 8 marta 0.64 = 5.12
& 7 marta 17.64 = 123.48
& 3 marta 84.64 = 253.92
\end{align}
\]
\[
\sum f_i (x_i – \bar{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
Endi biz dispersiyani (\( S^2 \)) hisoblashimiz mumkin:
\[S^2 = \frac{788.4}{25–1} = \frac{788.4}{24} \taxminan 32.85\]
4. Standart og'ishni hisoblash (\( S \) )
Standart og'ish (\( S \)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
\[S = \sqrt{32.85} \taxminan 5.73 \]
Xulosa
Yuqoridagi misol ma'lumotlaridan bizda quyidagilar mavjud:
– O'rtacha tana vaznini hisoblash: 62.8 kg
– Dispersiyani hisoblash: 32.85 kg²
– Standart og'ishni hisoblash: 5.73 kg
Standart og'ishning talqini shundaki, vazn ma'lumotlarining o'rtacha qiymatdan o'rtacha og'ishi taxminan 5.73 kg ni tashkil qiladi. Bu ma'lumotlarning o'rtacha qiymatga nisbatan tarqalishini ko'rsatadi, bu esa ma'lumotlarimiz qanchalik o'zgaruvchan ekanligini aniqlashga yordam beradi.
Dispersiya va standart og'ishni chuqur tushunish, ayniqsa statistika, tadqiqot va sinov sohasida ishlaydiganlar uchun juda muhimdir, chunki ular ma'lumotlarni guruhlar yoki taqsimotlar shaklida tushunishga harakat qilishadi. Ushbu ikki o'lchovni qanday hisoblash va talqin qilishni bilish qo'lidagi ma'lumotlarga asoslanib yaxshiroq qaror qabul qilishga yordam beradi.
