Chiziqli tenglamalar va tengsizliklar tizimlarini muhokama qilish uchun namunaviy savollar
Chiziqli tenglamalar va tengsizliklar tizimlari matematikada iqtisodiyot, fan va muhandislik kabi turli sohalarda keng qo'llaniladigan muhim mavzu hisoblanadi. Ushbu maqolada biz chiziqli tenglamalar va tengsizliklar tizimlari bilan bog'liq misol masalalarni va ularni qanday yechish kerakligini batafsil muhokama qilamiz.
Chiziqli tenglamalar tizimining ta'rifi
Chiziqli tenglamalar tizimi bir-biri bilan bog'liq bo'lgan ikki yoki undan ortiq chiziqli tenglamalardan iborat. Misollar:
\[
\begin{holatlar}
2x + 3y = 5
4x – y = 1
\end{holatlar}
\]
Bu tizimni yechishning maqsadi ikkala tenglamani bir vaqtning o'zida qanoatlantiradigan (x) va (y) qiymatlarini topishdir.
Chiziqli tenglamalar tizimlarini yechish usullari
Chiziqli tenglamalar tizimlarini yechishning bir nechta usullari mavjud, jumladan:
1. O'rinbosarlik usuli
2. Yo'q qilish usuli
3. Matritsa usuli (teskari yoki Gauss-Jordan)
1-misol savol: Almashtirish usuli
Quyidagi tizimni almashtirish usuli yordamida yechaylik:
\[
\begin{holatlar}
x + 2y = 10
3x – y = 5
\end{holatlar}
\]
Langkah-langkah:
1. Tenglamalardan biridagi o'zgaruvchilardan birini ajratib oling.
Birinchi tenglamadan biz \(x\) ni ajratib olamiz:
\[
x = 10 – 2y
\]
2. Topilgan ifodani boshqa tenglamaga almashtiring.
Ikkinchi tenglamaga \(x = 10 – 2y\) ni qo'ying:
\[
3(10 – 2y) – y = 5
\]
\(y\) ni yeching:
\[
30 – 6y – y = 5
\]
\[
30 – 7y = 5
\]
\[
-7y = -25
\]
\[
y = \frac{25}{7}
\]
3. Boshqa o'zgaruvchilarni topish uchun topilgan qiymatlardan foydalaning.
\(x\) ifodasiga \(y = \frac{25}{7}\) ni qaytaring:
\[
x = 10 – 2\left(\frac{25}{7}\right)
\]
\[
x = 10 – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{70}{7} – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{20}{7}
\]
Demak, tizimning yechimlari \(x = \frac{20}{7} \) va \(y = \frac{25}{7} \) dir.
2-savolga misol: Yo'q qilish usuli
Keyin, quyidagi tizimni yechish uchun eliminatsiya usulidan foydalanamiz:
\[
\begin{holatlar}
2x + 3y = 12
4x + 6y = 24
\end{holatlar}
\]
Bu holda, ikkinchi tenglama birinchi tenglamaning karrali ekanligini ko'ramiz. Tizimni kamaytirish uchun birinchi tenglamani 2 ga ko'paytirib, keyin uni ikkinchi tenglamadan ayirishimiz mumkin:
1. Birinchi tenglamani 2 ga ko'paytiring:
\[
2(2x + 3y) = 2 \cdot 12
\]
\[
4x + 6y = 24
\]
2. Ikkinchi tenglamadan ko'paytirilgan birinchi tenglamani ayiring:
\[
(4x + 6y) – (4x + 6y) = 24 – 24
\]
\[
0 = 0
\]
Bu \(0 = 0\) ni beradi, bu tizimning cheksiz yechimlari borligini va bu tenglamalar bog'liq ekanligini ko'rsatadi.
3-misol savol: Chiziqli tengsizliklar
Chiziqli tengsizliklar chiziqli tenglamalarga o'xshash printsiplarga amal qiladi, ammo ular \(<, \leq, >, \geq\) kabi tengsizlik belgilarini o'z ichiga oladi. Keling, oddiy misolni ko'rib chiqaylik:
\[
\begin{holatlar}
3x – y < 7 \\ 2x + y \geq 4 \end{cases} \] Bosqichlar: 1. Ushbu tizimning yechim sohasini aniqlash uchun grafik usuldan foydalanamiz. Har bir tengsizlikni grafik shaklida chizamiz. 2. Chegara chizig'ini aniqlash uchun tengsizlikni tenglamaga aylantiring: \(3x - y < 7\) uchun chegara chizig'i \(3x - y = 7\) ga teng.
