Matematik aylanishni muhokama qilish uchun misollar
Pendahuluan
Aylanish - bu matematikada, xususan, geometriyada tez-tez uchraydigan geometrik o'zgarishdir. Aylanish ob'ektni ma'lum bir nuqta (aylanish markazi) atrofida ma'lum bir burchak orqali soat yo'nalishi bo'yicha yoki soat miliga teskari yo'nalishda aylantirishni o'z ichiga oladi. Aylanish tushunchasini qo'llash kompyuter grafikasi, fizika va muhandislik kabi sohalarda juda muhimdir. Ushbu maqolada matematikada aylanishning turli misollari va muhokamalari ko'rib chiqiladi.
Rotatsiyani tushunish
Aylanish - bu obyektning har bir nuqtasini aylanish markazi deb ataladigan qo'zg'almas nuqta atrofida ma'lum bir yo'nalishda ma'lum bir burchak ostida aylantirish orqali harakatlantiradigan o'zgarishdir. θ burchagi va aylanish markazi (a, b) bo'lgan aylanishning umumiy yozuvi R_(a, b)(θ) shaklida yozilishi mumkin.
Aylanish markazi (0, 0) boshlang'ich nuqtada bo'lgan holda θ darajaga aylantirilgan P(x, y) nuqta uchun, aylanishdan keyin P'(x', y') ning yangi koordinatalari quyidagi formula yordamida olinadi:
– x' = x cos th – y sin th
– y' = x sin θ + y cos θ
Keling, aylanish muammolarining ba'zi misollarini ularning muhokamalari bilan davom ettiraylik.
Namunaviy savollar va muhokama
1-namuna savol
Savol: A(3, 4) nuqtani soat miliga teskari yo'nalishda 90 daraja aylantirgandan so'ng, uning aylanish markazi (0, 0) nuqtada bo'lgandan keyin uning yangi koordinatalarini aniqlang.
Munozara: Soat miliga teskari yo'nalishda 90 graduslik burchak ostida aylanish formulasidan foydalanish:
– x' = x cos(90°) – y sin(90°) = 3(0) – 4(1) = -4
– y' = x sin(90°) + y cos(90°) = 3(1) + 4(0) = 3
Demak, A' ning aylanishdan keyingi yangi koordinatalari (-4, 3) ga teng.
2-namuna savol
Savol: B(2, -1) nuqta soat mili yo'nalishi bo'yicha 180 daraja aylantirilgan, aylanish markazi esa (0, 0) boshlang'ich nuqtada qolgan. Aylanishdan keyin B nuqtaning yangi koordinatalarini aniqlang.
Munozara: Soat yo'nalishi bo'yicha yoki soat miliga teskari yo'nalishda 180 daraja aylantirish bir xil natijani beradi, ya'ni nuqtaning koordinatalari (-x, -y) ga o'zgaradi.
– x' = -x = -2
– y' = -y = 1
Demak, B' ning yangi koordinatalari (-2, 1) ga teng.
3-namuna savol
Savol: C(-3, 5) nuqta soat miliga teskari yo'nalishda 270 daraja aylantirilgan, aylanish markazi esa (0, 0) nuqtada joylashgan. Aylanishdan keyin C nuqtani aniqlang.
Munozara: Soat miliga teskari 270 daraja aylanish soat miliga teskari 90 daraja aylanishga teng.
– x' = x cos(90°) + y sin(90°) = -3(0) + 5(1) = 5
– y' = -x sin(90°) + y cos(90°) = -(-3)(1) + 5(0) = 3
Demak, C' ning aylanishdan keyingi yangi koordinatalari (5, -3) ga teng.
4-namuna savol
Savol: D(5, 5) nuqtani aylanish markazi (0, 0) nuqtada bo'lgan holda 45 daraja aylantirgandan so'ng, uning yangi koordinatalarini aniqlang.
Munozara: 45 graduslik burchak bilan aylanish formulasidan foydalanish:
– x' = x cos(45°) – y sin(45°) = 5(cos(45°)) – 5(sin(45°)) = 5(√2/2) – 5(√2/2) = 0
– y' = x sin(45°) + y cos(45°) = 5(√2/2) + 5(√2/2) = 5√2/2 + 5√2/2 = 5√2
Demak, aylanishdan keyin D' ning yangi koordinatalari (0, 5√2) ga teng.
Aylanish markazi boshlang'ich nuqtada bo'lmagan holda aylanish
Aylanishlar har doim ham boshlanish nuqtasi atrofida bajarilmaydi. Masalan, aylanish markazi (h, k) bo'lgan nuqtani aylantirmoqchimiz deylik. Buning uchun koordinatalarni quyidagicha sozlashimiz kerak:
1. Nuqtani (h, k) nuqta boshlanish nuqtasi bo'ladigan qilib tarjima qiling.
2. Aylanish formulasidan foydalaning.
3. Asl holatiga qaytaring.
5-namuna savol
Savol: E(5, 7) nuqtasi soat miliga teskari yo'nalishda 90 gradusga aylantirilgan, aylanish markazi (2, 3) nuqtada joylashgan. Aylanishdan keyin E nuqtasining yangi koordinatalarini aniqlang.
Munozara:
1. E nuqtani (2, 3) aylanish markaziga nisbatan boshlang'ich nuqtaga o'tkazing:
– Yangi nuqta E' = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
2. Yangi nuqta atrofida soat miliga teskari yo'nalishda 90 daraja aylantiring:
– x' = 3 cos(90°) – 4 sin(90°) = -4
– y' = 3 sin(90°) + 4 cos(90°) = 3
Demak, aylanishdan keyingi koordinatalar (-4, 3) ga teng.
3. Aylanish markaziga nisbatan asl holatiga qaytish (2, 3):
– E' nuqtasi = (-4 + 2, 3 + 3) = (-2, 6)
Demak, E nuqtaning aylanishdan keyingi yangi koordinatalari (-2, 6) ga teng.
Xulosa
Matematik aylanishlarni tahlil qilish va tushunish turli xil qo'llanmalarda juda muhimdir. Yuqoridagi misollar va muhokamalar orqali o'quvchilar aylanish formulalari qanday ishlashini va ularni turli vaziyatlarga qanday qo'llash mumkinligini tushunishlari kutilmoqda. Ushbu mashq nafaqat fundamental matematikani mustahkamlaydi, balki geometrik o'zgarishlar bilan bog'liq boshqa sohalarda ham foydalidir.
