Trigonometrik nisbatlarni muhokama qilish bo'yicha namunaviy savollar
Trigonometriya - bu uchburchaklardagi uzunliklar va burchaklar o'rtasidagi bog'liqlikni o'rganadigan matematika sohasi. Trigonometrik nisbatlar muhandislik, fizika, astronomiya va hatto kundalik hayot kabi turli sohalarda muhim rol o'ynaydi. Ushbu maqolada trigonometrik nisbatlarning asosiy tushunchalarini tushunishga yordam beradigan bir nechta misol masalalar va ularning yechimlari ko'rib chiqiladi.
To'g'ri burchakli uchburchaklardagi trigonometrik nisbatlar
Keling, to'g'ri burchakli uchburchakdagi asosiy nisbatlarni tushunishdan boshlaylik. Bu nisbatlar sinus (sin), kosinus (cos) va tangens (tan) deb nomlanadi. To'g'ri burchakli uchburchakda biz aniqlashimiz kerak bo'lgan uchta muhim tomon mavjud:
1. Qarama-qarshi tomon: Biz ko'rib chiqayotgan burchakka to'g'ridan-to'g'ri qarama-qarshi tomon.
2. Qo'shni tomon: Biz ko'rib chiqayotgan burchak yonidagi tomon.
3. Gipotenuza: To'g'ri burchakka qarama-qarshi joylashgan to'g'ri uchburchakning eng uzun tomoni.
1-namuna savol
θ burchagiga ega bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak berilgan, bu yerda θ burchagiga qarama-qarshi tomonning uzunligi 3 birlik, qo'shni tomonning uzunligi 4 birlik va gipotenuzaning uzunligi 5 birlik. θ burchakning sin, cos va tan qiymatlarini toping.
Yechim:
θ burchakning sinus, kosinus va tangens qiymatlarini topish uchun biz asosiy trigonometrik nisbat formulalaridan foydalanamiz:
– Sinus (sin) th = Old tomon / Gipotenuza
\[ \sin θ = \frac{3}{5} \]
– Kosinus (cos) θ = Yon tomon / Gipotenuza
$\cos θ = \frac{4}{5} $$
– Tangens (tan) θ = Old tomon / Yon tomon
\[ \tan θ = \frac{3}{4} \]
Boshqa burchaklarning trigonometrik munosabatlari
Trigonometrik nisbatlar turli xil uchburchaklardagi boshqa burchaklarga, jumladan, teng tomonli va muntazam uchburchaklarga ham qo'llanilishi mumkin. To'g'ri burchakli bo'lmagan uchburchaklarga tegishli bo'lgan Sinus qoidasi va Kosinus qoidasi kabi asosiy qoidalarni tushunish muhimdir.
2-namuna savol
Tomonlari a = 7 sm, b = 24 sm va C burchagi = 90° bo'lgan ABC uchburchagi berilgan. c tomonning uzunligini va A va B burchaklarining qiymatlarini toping.
Yechim:
C burchak to'g'ri burchak bo'lgani uchun, biz c tomonning (gipotenuzaning) uzunligini topish uchun Pifagor teoremasidan foydalanishimiz mumkin:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
\[ c = \sqrt{7^2 + 24^2} \]
\[ c = \sqrt{49 + 576} \]
\[ c = \sqrt{625} \]
\[ c = 25 \, \text{sm} \]
Keyin, A va B burchaklarining qiymatini aniqlash uchun biz asosiy trigonometrik nisbatlardan foydalanishimiz mumkin.
A burchak uchun biz kosinusdan foydalanamiz:
\[ \cos A = \frac{\text{qo'shni tomon}}{\text{gipotenuza}} = \frac{24}{25} \]
$ A = \cos^{-1} \chap(\frac{24}{25}\right) \] $$
B burchagi uchun biz sinusdan foydalanamiz:
\[ \sin B = \frac{\text{old tomon}}{\text{gipotenuza}} = \frac{24}{25} \]
\[ B = \sin^{-1} \left(\frac{24}{25}\right) \]
Chunki to'g'ri burchakli uchburchakda to'g'ri burchakdan tashqari boshqa burchaklarning yig'indisi 90° bo'lishi kerak:
\[ A + B = 90° \]
\[ A = 90° – B \]
Sinus qoidasi
Sinus qoidasi quyidagicha ifodalanadi:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
3-namuna savol
Tomoni a = 8 sm, b tomoni = 15 sm va C burchagi = 60° bo'lgan uchburchak berilgan. Sinuslar qoidasidan foydalanib, A burchagini va c tomonining uzunligini toping.
Yechim:
Birinchidan, boshqa burchaklardan birini (masalan, A burchagi) topish uchun Sinuslar qoidasidan foydalaning:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{c}{\sin 60°} \]
Avval c ning qiymatini hisoblashimiz kerak. C burchagi 60° bo'lgani uchun, biz Kosinus qoidasidan foydalanishimiz mumkin:
$ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos(C) \] $$
\[ c^2 = 8^2 + 15^2 – 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60°) \]
\[ c^2 = 64 + 225 – 240 \cdot 0.5 \]
\[ c^2 = 289 – 120 \]
\[ c^2 = 169 \]
\[ c = 13 \, \text{sm} \]
Endi A burchakni topishimiz mumkin:
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sin 60°} \]
\(\sin 60° = \sqrt{3}/2\) bo'lgani uchun:
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sqrt{3}/2} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{26}{\sqrt{3}} \]
\[ 8 \cdot \sqrt{3} = 26 \sin A \]
\[ \sin A = \frac{8 \sqrt{3}}{26} \]
\[ \sin A = \frac{4 \sqrt{3}}{13} \]
Nihoyat, teskari sinusdan foydalanib:
\[ A = \sin^{-1}\chap(\frac{4 \sqrt{3}}{13}\o'ng) \]
Kosinus qoidasi
Kosinus qoidasi quyidagicha ifodalanadi:
$ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \] $$
4-namuna savol
Tomoni a = 9 sm, b tomoni = 12 sm va c tomoni = 15 sm bo'lgan uchburchak berilgan. C burchakni toping.
Yechim:
C burchakni topish uchun biz Kosinus qoidasidan foydalanamiz:
$ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \] $$
\[15^2 = 9^2 + 12^2 – 2 \cdot 9 \cdot 12 \cdot \cos C \]
\[ 225 = 81 + 144 – 216 \cos C \]
\[225 = 225 – 216 \cos C \]
\[0 = -216 \cos C \]
\[ \cos C = 0 \]
Bu yerdan biz C burchak 90° ekanligini bilamiz, chunki cos 90° = 0.
Bu sizga trigonometrik nisbatlarni tushunishga yordam beradigan ba'zi misollar. Turli masalalar bilan doimiy mashq qilish ushbu tushunchalarni tushunishingizni mustahkamlashga katta yordam beradi. Umid qilamizki, ushbu maqola sizning o'rganishingizda foydali bo'ldi!
