Komponent bo'yicha vektor qo'shishni muhokama qilish uchun namunaviy savollar
Vektorli qoʻshish fizika va matematikada ikki yoki undan ortiq vektorlarning natijaviy koʻrsatkichini topish uchun ishlatiladigan asosiy protseduradir. Vektorli qoʻshishni yechishning komponentlarga asoslangan yondashuvi, ayniqsa, ikki yoki uch oʻlchamli vektorlar bilan ishlashda ayniqsa foydali usuldir. Ushbu maqolada komponentlarga asoslangan vektorli qoʻshish tushunchasi tushuntiriladi va bir nechta misollar va yechimlar keltirilgan.
Komponentli vektor qo'shish tushunchasi
Ikki o'lchovli (2D) fazodagi har bir vektorni ikkita komponentga bo'lish mumkin: x (gorizontal) komponent va y (vertikal) komponent. Uch o'lchovli (3D) vektorlar qo'shimcha komponentga, z (chuqurlik) komponentiga ega.
Aytaylik, bizda ikkita A va B vektorlari bor. Bu vektorlarning komponentlari quyidagicha ifodalanishi mumkin:
– A vektori 2D formatda \(A_x\) va \(A_y\) komponentlariga (yoki 3D formatda \(A_z\) ham) ega.
– B vektori 2D formatda \(B_x\) va \(B_y\) komponentlariga (yoki 3D formatda \(B_z\) ham) ega.
Ushbu ikki vektorni qo'shish natijasida quyidagi komponentlarga ega bo'lgan R vektori hosil bo'ladi:
\[ R_x = A_x + B_x \]
\[ R_y = A_y + B_y \]
3D formatdagi vektorlar uchun z komponenti ham quyidagicha:
\[ R_z = A_z + B_z \]
Olingan vektorning har bir komponentini hisoblab chiqqandan so'ng, quyidagi formula yordamida olingan vektorning modulini (kattaligini) va yo'nalishini topishimiz mumkin:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (2D uchun)
Yoki 3D uchun:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]
Va natijada hosil bo'lgan vektorning yo'nalishini koordinata o'qlariga burchak bilan aniqlash mumkin.
Namunaviy savollar va muhokama
1-savol
Ikki o'lchovli tekislikda ikkita vektor berilgan:
– A sharqda \(5 \, \text{unit}\) joylashgan.
– B shimolda \(3 \, \text{unit}\) joylashgan.
Natijada hosil bo'lgan R vektorini aniqlang.
Munozara
Birinchidan, biz vektorni uning tegishli komponentlariga aylantiramiz.
– A vektori: \(A = (5, 0)\), chunki u faqat x komponentiga ega.
– B vektori: \(B = (0, 3)\), chunki u faqat y komponentiga ega.
Komponentlarning yig'indisi quyidagicha:
\[ R_x = A_x + B_x = 5 + 0 = 5 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]
Keyin hosil bo'lgan R vektori quyidagicha bo'ladi:
\[ R = (5, 3) \]
R vektorining uzunligini (modulini) hisoblash uchun:
\[ |R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \taxminan 5.83 \]
R vektorining yo'nalishini x o'qiga θ burchak yordamida hisoblash mumkin:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{3}{5} \]
\[ \theta = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) \taxminan 30.96^\circ \]
Shunday qilib, hosil bo'lgan R vektorining uzunligi taxminan 5.83 birlikka teng va x o'qi bilan 30.96° burchak hosil qiladi.
2-savol
Uch o'lchamli ikkita vektor berilgan:
– A ga teng \(3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\)
– B ga teng \(1\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}\)
Natijada hosil bo'lgan R vektorini aniqlang.
Munozara
Birinchidan, biz har bir vektorning tarkibiy qismlarini aniqlaymiz:
– A vektori: \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\).
– B vektori: \(B_x = 1\), \(B_y = 4\), \(B_z = 2\).
Komponentlarning yig'indisi quyidagicha:
\[ R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
\[ R_z = A_z + B_z = 1 + 2 = 3 \]
Keyin hosil bo'lgan R vektori quyidagicha bo'ladi:
\[ R = (4, 6, 3) \]
R vektorining uzunligini (modulini) hisoblash uchun:
\[ |R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \taxminan 7.81 \]
R vektorining x, y va z o'qlariga nisbatan yo'nalishini yo'naltiruvchi kosinus yordamida hisoblash mumkin:
\[ \cos(\alpha) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \taxminan 0.512 \]
\[ \alfa = \arccos(0.512) \taxminan 59.50^\circ \]
\[ \cos(\beta) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \taxminan 0.768 \]
\[ \beta = \arccos(0.768) \taxminan 39.50^\circ \]
\[ \cos(\gamma) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \taxminan 0.384 \]
\[ \gamma = \arccos(0.384) \taxminan 67.64^\circ \]
Shunday qilib, hosil bo'lgan R vektorining uzunligi taxminan 7.81 birlikka teng va uning x, y va z o'qlariga nisbatan yo'nalishlari 59.50°, 39.50° va 67.64° ni tashkil qiladi.
3-savol
Ikki vektor berilgan:
– P ning kattaligi 4 birlikka teng va musbat x o'qiga 45° burchak hosil qiladi.
– Q 6 birlik kattalikka ega va musbat x o'qiga 120° burchak hosil qiladi.
Natijada hosil bo'lgan R vektorini aniqlang.
Munozara
Birinchidan, biz vektorni uning x va y komponentlariga ajratamiz:
– P vektori: \(P_x = 4\cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\), \(P_y = 4\sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\).
– Q vektori: \(Q_x = 6\cos(120^\circ) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3\), \(Q_y = 6\sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5.2\).
Komponentlarning yig'indisi quyidagicha:
\[ R_x = P_x + Q_x = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[ R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]
Keyin, natijada hosil bo'lgan R vektori quyidagicha bo'ladi:
\[ R = (-0.17, 8.03) \]
R vektorining uzunligini (modulini) hisoblash uchun:
\[ |R| = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.0289 + 64.48} = \sqrt{64.509} \taxminan 8.03 \]
R vektorining yo'nalishi:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{8.03}{-0.17} = -47.24 \]
\[ \theta = \arctan(-47.24) \taxminan -88.99^\circ \]
Biroq, bu burchak manfiy x o'qi atrofida o'lchanadi, shuning uchun muammo kontekstidagi haqiqiy burchak quyidagicha:
\[ 180^\circ – 88.99^\circ \taxminan 91.01^\circ \]
Shunday qilib, natijada hosil bo'lgan R vektorining uzunligi taxminan 8.03 birlikka teng va musbat x o'qi bilan 91.01° burchak hosil qiladi.
Ushbu maqolada komponentlar bo'yicha vektorlarni qo'shish muhokama qilingan bo'lib, bir nechta misol masalalar va yechimlar keltirilgan. Komponentlar bo'yicha usul hisob-kitoblarni soddalashtirishda va fazoning matematik o'lchamida vektor masalalarini yechishning tizimli usulini taqdim etishda juda foydali.
