Murakkab hodisalarning ehtimolini muhokama qilish bo'yicha misol savollar
Murakkab hodisalar ehtimoliga kirish
Ehtimollik - bu hodisaning sodir bo'lish ehtimolini o'rganadigan matematikaning bir sohasi. Murakkab hodisaning ehtimoli - bu bir nechta hodisani o'z ichiga olgan hodisaning ehtimoli. Masalan, juft sonni zarbga va o'yin kartalari to'plamidan tuzni tashlash ehtimoli murakkab hodisalarga misol bo'la oladi. Ushbu maqolada bir nechta misol masalalar muhokama qilinadi va murakkab hodisalarning ehtimoli muhokama qilinadi.
Murakkab hodisalar ehtimolligining asosiy tushunchasi
Murakkab hodisalarning ikki turi mavjud:
1. O'zaro istisnoli hodisalar: Bir vaqtning o'zida sodir bo'lmaydigan ikkita hodisa. Masalan, zarni tashlashda, 2 va 5 raqamlarini tashlash hodisalari o'zaro istisnoli hodisalar hisoblanadi, chunki ikkala sonni bir vaqtning o'zida tashlash mumkin emas.
2. O'zaro bog'liq bo'lmagan hodisalar: Bir vaqtning o'zida sodir bo'lishi mumkin bo'lgan ikkita hodisa. Masalan, o'yin kartalari o'yinida yurak kartasi (♥) va 10 raqami tushirilgan kartani olish hodisalari o'zaro bog'liq bo'lmagan hodisalar hisoblanadi, chunki 10 raqami tushirilgan yurak kartasi mavjud.
Murakkab hodisalar ehtimolini hisoblashda ishlatiladigan ba'zi asosiy formulalar:
– P(A yoki B) (o'zaro bog'liq bo'lmagan hodisalar uchun): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
– P(A yoki B) (o'zaro istisno qiluvchi hodisalar uchun): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
– P(A va B) (mustaqil hodisalar uchun): \(P(A \cap B) = P(A) \taym P(B)\)
Namunaviy savollar va muhokama
1-savolga misol: Zarlar
Savol:
Zarbda juft son yoki 4 dan katta sonni olish ehtimoli qanday?
Munozara:
Avvalo, voqealarni aniqlaylik:
– A hodisa: Juft sonni olish (2, 4, 6)
– B hodisasi: 4 dan katta sonni olish (5, 6)
Keyin, har bir hodisaning ehtimolini aniqlaymiz:
– \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
– \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
A va B hodisalarida 6 raqami mavjud bo'lganligi sababli, biz \(P(A \cap B)\) ni hisoblashimiz kerak:
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) (chunki A va B ga faqat bitta son, ya'ni 6, kiritilgan)
O'zaro bog'liq bo'lmagan hodisalar uchun formuladan foydalanib:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}\] $$
Keling, bu kasrlarning maxrajlarini bir xil qilaylik:
\[P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]
Demak, juft son yoki 4 dan katta sonni olish ehtimoli \(\frac{2}{3}\) ga teng.
2-savolga misol: O'yin kartalari
Savol:
O'yin kartalari to'plamidan tuz yoki belkurak olish ehtimoli qanday?
Munozara:
Avvalo, voqealarni aniqlaylik:
– A hodisasi: Tuz kartasini olish (jami 4 ta, har bir kostyum uchun bittadan)
– B hodisasi: belkurak kartasini olish (jami 13 ta)
Keyin, har bir hodisaning ehtimolini aniqlaymiz:
– \(P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
– \(P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)
Belkurak Tusi A va B hodisalariga kiritilganligi sababli, biz \(P(A \cap B)\) ni hisoblashimiz kerak:
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{52}\)
O'zaro bog'liq bo'lmagan hodisalar uchun formuladan foydalanib:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} – \frac{1}{52}\] $$
Keling, bu kasrlarning maxrajlarini bir xil qilaylik:
\[
P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} – \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}
\]
Demak, tuz yoki belkurak olish ehtimoli \(\frac{4}{13}\) ga teng.
3-misol masala: Qutidagi shar
Savol:
Qutida 3 ta qizil shar, 4 ta ko'k shar va 5 ta yashil shar bor. Agar tasodifiy ravishda bitta shar olinsa, qizil yoki yashil shar olish ehtimoli qanday?
Munozara:
Avvalo, voqealarni aniqlaylik:
– A hodisasi: Qizil sharni olish (3-raqam)
– B hodisasi: Yashil to'pni olish (5-raqam)
Keyin, har bir hodisaning ehtimolini aniqlaymiz:
– To'plarning umumiy soni = 3 + 4 + 5 = 12
– \(P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
– \(P(B) = \frac{5}{12}\)
Hech bir to'p bir vaqtning o'zida ham qizil, ham yashil bo'la olmasligi sababli, bu hodisalar bir-birini istisno qiladi:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12} $$
Keling, bu kasrlarning maxrajlarini bir xil qilaylik:
\[
P(A \cup B) = \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}
\]
Demak, qizil yoki yashil sharni olish ehtimoli \(\frac{2}{3}\) ga teng.
4-savolga misol: Ikki tanga
Savol:
Agar bir vaqtning o'zida ikkita tanga tashlansa, hech bo'lmaganda bitta tanga paydo bo'lish ehtimoli qanday?
Munozara:
Biz A hodisasini aniqlaymiz: kamida bitta tasvirni boshdan kechirish.
Ikkita tanga tashlashning to'rtta mumkin bo'lgan natijasi bor:
1. HH
2. HT
3. TH
4. TT
Kamida bitta rasmni o'z ichiga olgan hodisalar:
– HT
– TH
– TT
Keling, har birining ehtimolligini hisoblaylik:
– Mumkin bo'lgan tadbirlar soni (jami): 4
– Kamida bitta rasmni o'z ichiga olgan tadbirlar soni: 3
\[
P(A) = \frac{Kamida bitta boshli hodisalar soni}{Jami hodisalar soni} = \frac{3}{4}
\]
Demak, kamida bitta tasvirning paydo bo'lish ehtimoli \(\frac{3}{4}\) ga teng.
Xulosa
Yuqoridagi muammolarni muhokama qilish, o'zaro bog'liq yoki bog'liq bo'lmagan murakkab hodisa ehtimolini qanday hisoblash mumkinligini ko'rsatadi. Asosiy tushunchalarni tushunish va to'g'ri formulalardan foydalanish orqali biz turli kundalik vaziyatlarda sodir bo'ladigan muayyan hodisalar kombinatsiyalarining ehtimolini aniqlashimiz mumkin. Murakkab hodisalar ehtimolini aniqlashda ko'proq mahoratga ega bo'lish uchun turli masalalar bilan ishlash ko'nikmalaringizni mashq qilishda davom eting.
