Vektorli amallarni muhokama qilish bo'yicha savollarga misol
Vektorli amallar matematikadagi asosiy tushuncha bo'lib, fizika, muhandislik va informatika kabi turli tadqiqot sohalarida tez-tez uchraydi. Ushbu maqolada biz chuqurroq va aniqroq tushuncha berish uchun vektorli amallarning bir nechta misollarini va ularning yechimlarini muhokama qilamiz. Ushbu misollar vektorlarni qo'shish va ayirish kabi asosiy amallarni, shuningdek, skalyar ko'paytirish va vektorlararo ko'paytirish kabi ilg'or amallarni qamrab oladi.
1. Vektorli qo'shish va ayirish
1-namuna savol
Komponent shaklida ikkita A va B vektor berilgan:
\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{B} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \]
Ikki vektorni qo'shish va ayirish natijasini hisoblang.
Munozara
Vektorlarni qo'shish uchun ikkita vektorning har bir mos keladigan komponentini qo'shamiz.
\[ \mathbf{A} + \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + (-1) \\ 3 + 4 \\ -1 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} \]
Vektorni ayirish uchun ikkala vektorning har bir mos keladigan komponentini ayiramiz.
\[ \mathbf{A} – \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 – (-1) \\ 3 – 4 \\ -1 – 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \]
2. Vektor bo'yicha skalyar ko'paytirish
2-namuna savol
C vektori va skalyar k berilgan:
\[ \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \]
\[ k = 4 \]
C vektorining skalyar k ga ko'paytmasini hisoblang.
Munozara
Skalyarni vektorga ko'paytirish vektorning har bir komponentini skalyarga ko'paytirish orqali amalga oshiriladi.
\[ k \mathbf{C} = 4 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \cdot 1 \\ 4 \cdot (-2) \\ 4 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 12 \end{pmatrix} \]
3. Nuqtali mahsulot
3-namuna savol
D va E vektorlari berilgan:
\[ \mathbf{D} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{E} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \]
Ikki vektorning nuqtali ko'paytmasini hisoblang.
Munozara
Ikki vektorning nuqtali ko'paytmasi ularning mos komponentlarining ko'paytmalarini qo'shish orqali olinadi.
\[ \mathbf{D} \cdot \mathbf{E} = 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 3 + 0 – 4 = -1 \]
4. O'zaro mahsulot
4-namuna savol
F va G ikkita vektor berilgan:
\[ \mathbf{F} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{G} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \]
Ikki vektorning o'zaro ko'paytmasini hisoblang.
Munozara
Uch o'lchovli fazoda ikkita vektorning o'zaro ko'paytmasini ushbu vektorlar tomonidan hosil qilingan matritsaning determinanti yordamida olish mumkin. O'zaro ko'paytmani quyidagi formula bilan topish mumkin:
\[ \mathbf{F} \times \mathbf{G} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} \]
Buni quyidagi tarzda hisoblash mumkin:
\[
\mathbf{F} \times \mathbf{G} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} – \mathbf{j} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrixf} {x}b \ma {vmatrix} 3 \\ 1 va -1 \end{vmatrix}
\]
Har bir kichik matritsaning determinantini hisoblash:
\[
= \mathbf{i} (3 \cdot 2 – 4 \cdot -1) – \mathbf{j} (2 \cdot 2 – 4 \cdot 1) + \mathbf{k} (2 \cdot -1 – 3 \cdot 1)
\]
\[
= \mathbf{i} (6 + 4) – \mathbf{j} (4 – 4) + \mathbf{k} (-2 – 3)
\]
\[
= \mathbf{i} (10) – \mathbf{j} (0) + \mathbf{k} (-5)
\]
\[
= \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}
\]
Demak, F va G ning o'zaro ko'paytmasi quyidagicha:
\[ \mathbf{F} \mathbf{G} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} \]
5. Ikki vektor orasidagi burchakni aniqlash
5-namuna savol
H va I ikkita vektor berilgan:
\[ \mathbf{H} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \]
Ikki vektor orasidagi burchakni aniqlang.
Munozara
Ikki vektor orasidagi burchakni nuqta ko'paytma va ikki vektorning kattaliklari o'rtasidagi bog'liqlik yordamida topish mumkin:
\[ \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} = \| \mathbf{H} \| \| \mathbf{I} \| \cos \theta \]
Avval nuqta koʻpaytmasini hisoblang \( \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} \):
\[ \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} = 6 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) = 6 + 8 – 6 = 8 \]
Keyin, ikkala vektorning kattaligini hisoblang:
\[ \| \mathbf{H} \| = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7 \]
\[ \| \mathbf{I} \| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21} \]
Keyin, bu qiymatlarni burchak formulasiga almashtiring:
\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{H} \cdot \mathbf{I}}{\| \mathbf{H} \| \| \mathbf{I} \|} = \frac{8}{7\sqrt{21}} \]
\[ \theta = \cos^{-1} \chap( \frac{8}{7\sqrt{21}} \o'ng) \]
Yakuniy natija sifatida biz burchak qiymatini topish uchun kalkulyatordan foydalanishimiz mumkin:
\[ \theta \taxminan 73,4^\circ \]
Xulosa
Vektor amallari tushunchasi matematika va fanda juda muhimdir. Ushbu maqolada vektorlarni qo'shish va ayirish, skalyar ko'paytirish, nuqtali ko'paytma, o'zaro ko'paytma va ikkita vektor orasidagi burchakni aniqlash kabi bir nechta misol masalalar va ularning yechimlari muhokama qilinadi. Ushbu misollarni ko'rib chiqish orqali biz vektor amallari haqidagi tushunchangizni oshirishga va turli kontekstlarda vektorlar bilan bog'liq masalalarni yechishga yordam berishga umid qilamiz.
