Normal taqsimotning kutilgan qiymati bo'yicha muhokama savoliga misol
Normal taqsimot, shuningdek, Gauss taqsimoti sifatida ham tanilgan, statistika va ehtimollikda eng ko'p ishlatiladigan uzluksiz ehtimollik taqsimotlaridan biridir. Ushbu taqsimot ko'pincha simmetriya va o'rtacha (µ) va standart og'ish (σ) bilan parametrlashdagi noyobligi kabi qulay matematik xususiyatlari tufayli turli statistik xulosalarda asosiy taxmin sifatida ishlatiladi. Ushbu maqolada ushbu tushunchani chuqurroq tushunish uchun misollar muhokama qilinadi va normal taqsimotning kutilgan qiymati muhokama qilinadi.
Normal taqsimotni tushunish
Normal taqsimot simmetrik qo'ng'iroq egri chizig'i bilan tasvirlangan bo'lib, aksariyat qiymatlar o'rtacha qiymat yoki o'rtacha qiymat atrofida jamlangan. Ushbu taqsimot ichida o'rtacha (µ) va standart og'ish (σ) ma'lumotlardagi tarqalishning joylashuvi va miqdorini belgilaydigan ikkita muhim parametrdir.
Normal taqsimotning ehtimollik zichligi funksiyasi (PDF) quyidagicha:
$\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}\] $$
Qayerda:
– \( \mu \) o'rtacha yoki o'rtacha qiymat
– \( \sigma \) standart og'ishdir
– \( x \) tasodifiy o'zgaruvchi
Normal taqsimotda kutilgan qiymat
Normal taqsimotga ega tasodifiy o'zgaruvchining kutilgan qiymati taqsimotning o'rtacha qiymatiga teng. Agar \(X \sim N(\mu, \sigma^2) \) bo'lsa, kutilgan qiymat \(E(X) \) quyidagicha bo'ladi:
\[ E(X) = \mu \]
Keling, tushunchamizni mustahkamlash uchun normal taqsimotlarda kutilgan qiymatlar bilan bog'liq ba'zi muammolar misollarini ko'rib chiqaylik.
Namunaviy savollar va muhokama
1-savolga misol:
Aytaylik, \(X \) \(\mu = 50 \) va \(\sigma = 10 \) bo'lgan normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi. \(X \) ning kutilgan qiymatini hisoblang.
Munozara:
Avval aytib o'tilganidek, normal taqsimotda kutilgan qiymat \(E(X) \) \(mu \) ga teng. Shunday qilib,
\[ E(X) = \mu = 50 \]
2-savolga misol:
Berilgan tasodifiy o'zgaruvchi \(Y \) normal ravishda \(\mu = 120 \) va \(\sigma = 15 \) bilan taqsimlangan. \(Y \) ning kutilgan qiymatini toping.
Munozara:
Birinchi misolga o'xshab, \(Y\) ning kutilgan qiymati normal taqsimotning o'rtacha qiymati yoki o'rtacha qiymatidir, ya'ni:
\[ E(Y) = \mu = 120 \]
3-savolga misol:
Agar tasodifiy o'zgaruvchi \(Z \) \(mu = 0 \) va \(sigma = 1 \) (standart normal taqsimot) bilan normal taqsimotga amal qilsa, \(Z \) ning kutilgan qiymati qanday bo'ladi?
Munozara:
Standart normal taqsimot o'rtacha \(\mu = 0 \) ga teng, shuning uchun kutilgan qiymat \(E(Z) \) quyidagicha:
\[ E(Z) = \mu = 0 \]
4-savolga misol:
Aytaylik, \(W \) o'rtacha \(\mu = 75 \) va standart og'ish \(\sigma = 20 \) bo'lgan normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi. Agar biz yangi tasodifiy o'zgaruvchi \(V = 2W + 3 \) ni aniqlasak, \(V \) ning kutilgan qiymati qanday bo'ladi?
Munozara:
\(V\) ning kutilgan qiymatini topish uchun kutilgan qiymatning chiziqlilik xususiyatidan foydalanishimiz kerak. \(V = 2W + 3\) berilgan bo'lsa, u holda:
\[ E(V) = E(2W + 3) \]
Kutilgan qiymatning chiziqlilik xususiyatiga asoslanib, biz o'zgarmasni tasodifiy o'zgaruvchidan ajratishimiz mumkin:
\[ E(V) = 2E(W) + E(3) \]
Doimiy qiymatning kutilgan qiymati doimiyning o'zi ekanligini bilish:
\[ E(3) = 3 \]
Va \(W\) ning kutilgan qiymati \(W\) normal taqsimotning o'rtacha qiymatidir:
\[ E(W) = \mu = 75 \]
Shunday qilib,
\[E(V) = 2 \marta 75 + 3 \]
\[ E(V) = 150 + 3 \]
\[ E(V) = 153 \]
5-savolga misol:
Tasodifiy o'zgaruvchi \(Q\) o'rtacha \(\mu = 40\) va standart og'ish \(\sigma = 5\) bo'lgan normal taqsimotga amal qiladi. Agar \[U = Q/2\] bo'lsa, \(Q\) ning kutilgan qiymati qanday bo'ladi?
Munozara:
Biz 4-misoldagi kabi bir xil printsipdan, ya'ni kutilgan qiymatning chiziqlilik xususiyatidan foydalanamiz. \(U = Q/2 \) ekanligini hisobga olsak, u holda:
\[ E(U) = E\chap(\frac{Q}{2}\right) \]
Kutilgan qiymatning chiziqlilik xususiyatiga asoslanib:
\[ E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]
Biz bilamizki, \(Q\) ning kutilgan qiymati \(Q\) normal taqsimotning o'rtacha qiymatidir:
\[ E(Q) = \mu = 40 \]
Shunday qilib,
\[ E(U) = \frac{1}{2} \marta 40 \]
\[ E(U) = 20 \]
Xulosa
Normal taqsimotda tasodifiy o'zgaruvchining kutilgan qiymati har doim taqsimotning o'rtacha qiymatiga (µ) teng bo'ladi. Yuqoridagi misol masalalari chiziqlilik xususiyatidan foydalanib kutilgan qiymatni hisoblash uchun turli shartlarni ko'rsatadi. Ushbu asosiy tushunchani tushunish statistika va ehtimollikdagi normal taqsimot muammolarini hal qilishni osonlashtiradi.
Normal taqsimot statistikada juda muhim, chunki u gipotezalarni sinash, parametrlarni baholash va boshqa turli statistik xulosalar kabi keng ko'lamli amaliy qo'llanmalarda qo'llaniladi. Ushbu taqsimotning kutilgan qiymatini yaxshi tushunish ma'lumotlarni tahlil qilishda muhim birinchi qadamdir.
Umid qilamanki, ushbu maqolada normal taqsimotdagi kutilgan qiymatning aniq va foydali tushuntirishi, shuningdek, tegishli misol savollari va muhokamalar keltirilgan.
