Doiralar va Tangenslarni muhokama qilish uchun namunaviy savollar
Doiralar matritsa geometriyasida muhim mavzu bo'lib, unda masofa, burchaklar va shakl haqidagi chuqur tushunchalar namoyish etiladi. Ushbu mavzuda tez-tez muhokama qilinadigan tushunchalardan biri bu aylanaga tangens chiziqdir. Ushbu maqolada biz aylanalar va tangenslar bilan bog'liq bir nechta misol masalalarni muhokama qilamiz.
Doiralar va tangenslar haqida asosiy tushunchalar
Doira
Doira - bu tekislikdagi barcha nuqtalar to'plamidan hosil bo'lgan va aylananing markazi deb ataladigan berilgan nuqtadan belgilangan masofada joylashgan geometrik shakl. Bu belgilangan masofa aylananing radiusi deb ataladi.
Tangens
Doira bilan tangens - bu aylanaga aniq bir nuqtada tegib turgan chiziq. Bu nuqta tangens nuqtasi deb ataladi. Tangenslar bir nechta muhim xususiyatlarga ega, jumladan:
– Tangens chizig'i har doim tangens nuqtasida aylana radiusiga perpendikulyar bo'ladi.
– Agar aylanadan tashqaridagi nuqtadan aylanagacha bo'lgan tangensning uzunligi, agar shu nuqtadan ikkita tangens o'tkazilsa, bir xil bo'ladi.
Namunaviy savollar va muhokamalar
Quyida biz aylanalar va tangenslar tushunchasini batafsil muhokama qiladigan bir nechta misol savollarni taqdim etamiz.
1-misol savol: Tangens chiziq uzunligini topish
Savol:
Markazi \(O\) va radiusi \(r = 6\, \text{sm}\ bo'lgan aylana berilgan. Aylana markazidan 10 sm masofada joylashgan aylana tashqarisidagi \(P\) nuqtadan aylanaga ikkita \(PA\) va \(PB\) tangens o'tkaziladi. Tangensning \(PA\) uzunligini hisoblang.
Munozara:
Bu masalada biz Pifagor teoremasidan foydalanishimiz mumkin. \(\triangle OAP\) uchburchak chizing:
– \(OP = 10 \, \text{sm}\) (aylananing tashqi nuqtasidan markazigacha bo'lgan masofa)
– \(OA = 6 \, \text{sm}\) (doira radiusi)
– \(PA\) topilishi kerak bo'lgan tangens chiziqdir.
\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]
\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]
\[
100 = 36 + PA^2
\]
\[
PA^2 = 64
\]
\[
PA = \sqrt{64} = 8 \, \text{sm}
\]
Demak, tangens chizig'ining uzunligi (PA) 8 sm ga teng.
2-savolga misol: Tangensiya nuqtasini topish
Savol:
\((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) tenglamaga ega aylana va \(y = 2x + 1\) chiziq berilgan. Aylana va chiziq orasidagi ulanish nuqtasini aniqlang.
Munozara:
Avvalo, biz aylananing markazi va radiusini aniqlaymiz:
– Markaz \(O(3, 4)\)
– Radius \(r = \sqrt{25} = 5\)
Tangensiya nuqtasini topish uchun, tangensiya nuqtasi \(T(x_1, y_1)\) deb faraz qilaylik, u ham \(y = 2x + 1\) chiziqda joylashgan. U holda:
\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]
\(T(x_1, y_1)\) aylana tenglamasini ham qanoatlantirishi kerak:
\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]
Aylana tenglamasiga \(y_1 = 2x_1 + 1\) ni qo'ying:
\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]
\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]
Biz ikkita kvadratni hisoblashimiz kerak.
\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]
\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]
Ikkala natijani birlashtiring:
\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]
\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]
Ikkala tomondan ham 25 ni ayiring:
\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]
Kvadrat tenglamani yeching:
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \times 5 \times 7}}{2 \times 5}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{116}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{4 \times 29}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 4\sqrt{29}}{10}
\]
\[
x_1 = 1.8 \pm 0.4\sqrt{29}
\]
\(y_1\) qiymatini hisoblang:
Qaysi biri y = 2x + 1 ni qanoatlantiradi:
– Agar \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\) bo'lsa, u holda \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\) bo'ladi.
– Agar \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\) bo'lsa, u holda \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\) bo'ladi.
Baholash:
Shunday qilib, biz aylana tenglamasining o'sha chiziq bilan kesishgan ikkita nuqtasini olamiz.
3-misol savol: Tangens chiziq tenglamasini aniqlash
Savol:
\((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\) tenglamaga ega aylana berilgan. \((6, 7)\) nuqtadan o'tuvchi aylanaga urinma chiziqning tenglamasini toping.
Munozara:
Ma'lum tashqi nuqtadan markazi \((h, k)\) va radiusi \(r\) bo'lgan aylanaga tangensni quyidagi tenglama orqali topish mumkin:
Tangens chiziq tashqi nuqtadan o'tadi \((x_1, y_1)\):
\[
(x – 2)(x_1 – 2) + (y – 3)(y_1 – 3) = 20
\]
Tashqi nuqtani ((6, 7)) qo'ying:
\[
(x – 2)(6 – 2) + (y – 3)(7 – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]
\[
4x + 2y -20 = 20
\]
\[
4x + 4y -20 = 20
\]
\[
x + y = 5
\]
Tangens chiziqning tenglamasi quyidagicha:
\[
x + y = 9
\]
Demak, aylana chizig'i nuqtasi orqali o'tuvchi chiziq tenglamasining o'zgarishi juda katta va natijaga yoki vizual tasvirga qarab o'zgarishi mumkin.
Xulosa
Doiralar va tangenslar haqidagi muhokama matematikaning bir qancha fundamental jihatlarini qamrab oladi, Pifagor teoremasi kabi asosiy formulalarni qo'llashdan tortib, kvadrat tenglamalarni yechishgacha. Ushbu misollar orqali biz ushbu tushunchalarni biroz murakkab vaziyatlarda qanday qo'llashni yaxshiroq tushunishimiz mumkin. Umid qilamizki, ushbu maqola doiralar va tangenslar bilan bog'liq muammolarga qanday yondashish va ularni hal qilish haqida aniq tasavvur berishga yordam berdi.
