Namunaviy savollar va yakka ma'lumotlar kvartillarini muhokama qilish
Statistikadagi kvartillar - bu ma'lumotlar to'plamini to'rt qismga yoki kvartillarga bo'lish uchun ishlatiladigan vosita bo'lib, ularning har biri bir xil miqdordagi ma'lumotlarni o'z ichiga oladi. Kvartillar ko'pincha ma'lumotlar taqsimotini tushunish va kattaroq ma'lumotlar to'plamidagi qiymatlarni taqqoslash uchun ishlatiladi. Ushbu maqolada biz bir nechta misollar yordamida bitta ma'lumotlar to'plami uchun kvartillarni qanday hisoblashni muhokama qilamiz. Birinchi kvartil (Q1), ikkinchi kvartil (Q2, mediana deb ham ataladi) va uchinchi kvartil (Q3) qanday hisoblangani va talqin qilinganini ko'rib chiqamiz.
Kvartilning ta'rifi
Misol masalalariga o'tishdan oldin, ma'lumotlar to'plamidagi uchta kvartilning ta'riflarini tushunish muhimdir:
1. Birinchi chorak (1-chorak): 1-chorakdan pastdagi ma'lumotlar pozitsiyalari umumiy ma'lumotlar to'plamidagi ma'lumotlarning 25% ni qoplaydi.
2. Ikkinchi chorak (2-chorak yoki median): 2-chorakdan pastdagi ma'lumotlar pozitsiyalari umumiy ma'lumotlar to'plamidagi ma'lumotlarning 50% ni qoplaydi.
3. Uchinchi chorak (3-chorak): 3-chorakdan pastdagi ma'lumotlar pozitsiyalari umumiy ma'lumotlar to'plamidagi ma'lumotlarning 75% ni qoplaydi.
Kvartillarni hisoblash bosqichlari
Kvartillarni hisoblash uchun quyidagi bosqichlarni bajarish kerak:
1. Ma'lumotlarni saralash: Ma'lumotlar eng kichikdan eng katta qiymatgacha saralanganligiga ishonch hosil qiling.
2. Kvartil pozitsiyasini aniqlash: Kvartil pozitsiyasini aniqlash uchun formuladan foydalaning.
– Q1 pozitsiyasi = (N+1) / 4
– Q2 pozitsiyasi = (N+1) / 2
– Q3 pozitsiyasi = 3(N+1) / 4
bu yerda N - ma'lumotlarning umumiy soni.
3. Kvartil qiymatlarini olish: Hisoblangan pozitsiyalarga asoslanib, kvartil qiymatlarini oling yoki interpolyatsiya qiling.
Namunaviy savollar va muhokama
1-namuna savol
Aytaylik, quyidagi bitta ma'lumotlar mavjud: 5, 7, 8, 12, 13, 14, 18, 21, 23, 29.
1-qadam: Ma'lumotlarni saralash
Ma'lumotlar saralangan: 5, 7, 8, 12, 13, 14, 18, 21, 23, 29
2-qadam: Kvartillarning joylashishini aniqlang
Ma'lumotlar soni (N) 10 ga teng.
– Q1 pozitsiyasi = (10+1) / 4 = 11 / 4 = 2.75
– Q2 pozitsiyasi = (10+1) / 2 = 11 / 2 = 5.5
– Q3 pozitsiyasi = 3(10+1) / 4 = 33 / 4 = 8.25
3-qadam: Kvartil qiymatlarini olish
– 1-savol: 2.75-pozitsiya 1-savol ketma-ketlikdagi 2- va 3-ma'lumotlar orasida joylashganligini ko'rsatadi. 2-ma'lumot 7 ga, 3-ma'lumot esa 8 ga teng. Shuning uchun, 1-savol = 7 + 0.75(8-7) = 7.75.
– 2-chorak (Mediana): 5.5-pozitsiya 2-chorakning 5 va 6-ma'lumotlar orasida joylashganligini ko'rsatadi. 5-ma'lumot 13 ga, 6-ma'lumot esa 14 ga teng. Shunday qilib, 2-chorak = 13 + 0.5(14-13) = 13.5.
– 3-savol: 8.25-pozitsiya 3-savol 8 va 9-ma'lumotlar orasida joylashganligini ko'rsatadi. 8-ma'lumot 21 ga, 9-ma'lumot esa 23 ga teng. Shunday qilib, 3-savol = 21 + 0.25(23-21) = 21.5.
2-namuna savol
Quyidagi ma'lumotlar berilgan: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22.
1-qadam: Ma'lumotlarni saralash
Ma'lumotlar saralangan: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22
2-qadam: Kvartillarning joylashishini aniqlang
Ma'lumotlar soni (N) 11 ga teng.
– Q1 pozitsiyasi = (11+1) / 4 = 12 / 4 = 3
– Q2 pozitsiyasi = (11+1) / 2 = 12 / 2 = 6
– Q3 pozitsiyasi = 3(11+1) / 4 = 36 / 4 = 9
3-qadam: Kvartil qiymatlarini olish
– 1-savol: 3-pozitsiya 1-savol 3-ma'lumot ekanligini anglatadi. Demak, 1-savol = 6.
– 2-chorak (Mediana): 6-pozitsiya 2-chorak 6-ma'lumot ekanligini anglatadi. Demak, 2-chorak = 12.
– 3-savol: 9-pozitsiya 3-savol 9-ma'lumot ekanligini anglatadi. Demak, 3-savol = 18.
Kvartillarni talqin qilish
Q1, Q2 va Q3 qiymatlari olingandan so'ng, biz ulardan ma'lumotlarni tahlil qilish uchun foydalanishimiz mumkin. Masalan:
1. Kvartillararo diapazon (IQR): 3-chorak va 1-chorak o'rtasidagi farq. IQR = 3-chorak – 1-chorak. IQR ma'lumotlar taqsimotini aniqlash va chetga chiqishlarni aniqlash uchun ishlatiladi.
2. Chetga chiqishlar: Boshqa ma'lumotlardan uzoq bo'lgan ma'lumotlarni pastki va yuqori chegaralar yordamida aniqlash mumkin.
– Quyi chegara = Q1 – 1.5 IQR
– Yuqori chegara = Q3 + 1.5 IQR
Ushbu chegaralardan tashqariga chiqadigan ma'lumotlar tashqi ma'lumotlar deb hisoblanadi.
1-misol savolda IQR ning qo'llanilishi
– IQR = Q3 – Q1 = 21.5 – 7.75 = 13.75
– Pastki chegara = 7.75 – 1.5(13.75) = 7.75 – 20.625 = -12.875
– Yuqori chegara = 21.5 + 1.5(13.75) = 21.5 + 20.625 = 42.125
1-misol savolida -12.875 dan 42.125 gacha bo'lgan ma'lumotlar autsayderlarsiz normal taqsimotdir.
2-misol savolda IQR ning qo'llanilishi
– IQR = Q3 – Q1 = 18 – 6 = 12
– Pastki chegara = 6 – 1.5(12) = 6 – 18 = -12
– Yuqori chegara = 18 + 1.5(12) = 18 + 18 = 36
2-misol savolida -12 dan 36 gacha bo'lgan ma'lumotlar autsayderlarsiz normal taqsimotdir.
Xulosa
Kvartillarni tushunish va hisoblash ma'lumotlar taqsimotini aniqlashga va ma'lumotlar taqsimotining turli jihatlarini tahlil qilishga yordam beradi. Ushbu maqolada biz bir nechta misol masalalar va ularni muhokama qilish orqali bitta ma'lumotlar to'plami uchun kvartillarni hisoblash bosqichlarini ko'rib chiqamiz. Bu bosqichlar ma'lumotlarni saralash, kvartillarning joylashishini aniqlash va tegishli kvartil qiymatlarini hisoblashni o'z ichiga oladi. To'g'ri qo'llanilganda, kvartillar ma'lumotlar to'plamini chuqurroq tushunish uchun statistikada muhim analitik vositaga aylanadi.
