Guruhlangan ma'lumotlarning kvartillarini muhokama qilish uchun namunaviy savollar
Pendahuluan
Statistikadagi kvartillar ma'lumotlarni to'rtta teng qismga ajratadigan markaziy tendentsiya o'lchovidir. Kvartillar birinchi kvartildan (Q1), ikkinchi kvartildan (Q2) va uchinchi kvartildan (Q3) iborat. Ko'pgina hollarda, tahlil qilinayotgan ma'lumotlar guruhlanishi mumkin. Ushbu maqolada guruhlangan ma'lumotlar uchun kvartillar misollari va muhokamasi muhokama qilinadi.
Guruh ma'lumotlarida kvartillarni tushunish
Kvartillar - bu uyushgan ma'lumotlarni to'rtta teng qismga ajratuvchi qiymatlar. Birinchi kvartil (Q1) 25-persentil, ikkinchi kvartil (Q2) mediana yoki 50-persentil va uchinchi kvartil (Q3) 75-persentil deb nomlanadi.
Guruhlangan ma'lumotlar uchun kvartillarni hisoblash yakka ma'lumotlarga qaraganda biroz murakkabroq. Guruhlangan ma'lumotlar odatda chastota taqsimoti jadvalida keltirilgan, shuning uchun kvartillarni topish uchun ma'lum bir formuladan foydalanishimiz kerak.
Guruhlangan ma'lumotlar uchun kvartil formulasi
Guruhlangan ma'lumotlarda kvartillarni topish uchun biz quyidagi formuladan foydalanamiz:
– Birinchi chorak (1-chorak):
\[
Q1 = L_{Q1} + \chap( \frac{\frac{N}{4} – F_{Q1}}{f_{Q1}} \o'ng) \marta c
\]
– Ikkinchi chorak (2-chorak):
\[
Q2 = L_{Q2} + \chap( \frac{\frac{N}{2} – F_{Q2}}{f_{Q2}} \o'ng) \marta c
\]
– Uchinchi chorak (3-chorak):
\[
Q3 = L_{Q3} + \chap( \frac{\frac{3N}{4} – F_{Q3}}{f_{Q3}} \o'ng) \marta c
\]
Qayerda:
– \( L_{Q1}, L_{Q2}, L_{Q3} \) = Q1, Q2, Q3 sinflarining pastki chegarasi
– \( N \) = ma'lumotlar soni
– \( F_{Q1}, F_{Q2}, F_{Q3} \) = Q1, Q2, Q3 sinflaridan oldingi kümülatif chastota
– \( f_{Q1}, f_{Q2}, f_{Q3} \) = Q1, Q2, Q3 sinf chastotalari
– \( c \) = sinf uzunligi
Muammolar namunasi
Quyida kvartillarni hisoblash uchun ishlatiladigan guruh ma'lumotlari muammosiga misol keltirilgan:
| Qiymat | Chastota |
|————|———–|
| 10 – 19 | 5 |
| 20 – 29 | 8 |
| 30 – 39 | 12 |
| 40 – 49 | 15 |
| 50 – 59 | 6 |
| 60 – 69 | 4 |
1-qadam: Kümülatif chastotani aniqlang
Avvalo, har bir sinf uchun kümülatif chastotani aniqlashimiz kerak:
| Qiymat | Chastota | Kümülatif chastota |
|————|————–|————————|
| 10 – 19 | 5 | 5 |
| 20 – 29 | 8 | 13 |
| 30 – 39 | 12 | 25 |
| 40 – 49 | 15 | 40 |
| 50 – 59 | 6 | 46 |
| 60 – 69 | 4 | 50 |
Ma'lumotlar soni (N) = 50
2-bosqich: Birinchi chorakni aniqlash (1-chorak)
– \( \frac{N}{4} = \frac{50}{4} = 12.5 \)
Biz kümülatif chastota dastlab 12.5 dan oshadigan sinfni, ya'ni 20-29 sinflarni qidiramiz.
– L (Q1 sinfining pastki chegarasi) = 20
– F (Q1 sinfidan oldingi kümülatif chastota) = 5
– f (Q1 sinfining chastotasi) = 8
– c (sinf uzunligi) = 10
Q1 formulasidan foydalanish:
\[
Q1 = 20 + \left( \frac{12.5 – 5}{8} \right) \times 10 = 20 + \left( \frac{7.5}{8} \right) \times 10 = 20 + 9.375 = 29.375
\]
3-qadam: Ikkinchi chorakni aniqlash (2-chorak)
– \( \frac{N}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)
Biz kümülatif chastota dastlab 25 dan oshadigan sinfni, ya'ni 30-39 sinflarni qidiramiz.
– L = 30
– F = 13
– f = 12
– c = 10
Q2 formulasidan foydalanish:
\[
Q2 = 30 + \left( \frac{25 – 13}{12} \right) \times 10 = 30 + \left( \frac{12}{12} \right) \times 10 = 30 + 10 = 40
\]
4-qadam: Uchinchi chorakni aniqlang (3-chorak)
– \( \frac{3N}{4} = \frac{3 \marta 50}{4} = 37.5 \)
Biz kümülatif chastota dastlab 37.5 dan oshadigan sinfni, ya'ni 40-49 sinflarni qidiramiz.
– L = 40
– F = 25
– f = 15
– c = 10
Q3 formulasidan foydalanish:
\[
Q3 = 40 + \left( \frac{37.5 – 25}{15} \right) \times 10 = 40 + \left( \frac{12.5}{15} \right) \times 10 = 40 + 8.333 \taxminan 48.333
\]
Xulosa
Yuqoridagi hisob-kitoblardan biz guruh ma'lumotlari uchun kvartil qiymatlarini quyidagicha olamiz:
– Birinchi chorak (1-chorak) = 29.375
– Ikkinchi chorak (2-chorak) = 40
– Uchinchi chorak (3-chorak) = 48.333
Bu qiymatlar bizga ma'lumotlar guruh ichida qanday taqsimlanganligini tushunishga imkon beradi. Masalan, ma'lumotlarning 25% 29 375 dan (1-chorak) past, ma'lumotlarning 50% 40 dan (mediana yoki 2-chorak) past va ma'lumotlarning 75% 48 333 dan (3-chorak) past.
Kvartil hisob-kitoblari turli vaziyatlarda ma'lumotlar taqsimotini chuqurroq tushunish uchun foydalidir. Ushbu usulni tushunish bizga guruhlangan ma'lumotlarni aniqroq va samaraliroq tahlil qilish imkonini beradi.
