Funksiya hosilalari tushunchasiga oid misol savollar va muhokama
Funksiyaning hosilasi hisoblashda asosiy tushuncha bo'lib, fizika, iqtisodiyot va muhandislik kabi turli fanlarda keng qo'llaniladi. Ushbu maqolada bir nechta misol masalalari ko'rib chiqiladi va ushbu mavzuni chuqurroq tushunish uchun funksiyaning hosilasi tushunchasi muhokama qilinadi.
Hosilalarning asosiy ta'rifi
Misol savollarga o'tishdan oldin, hosilalarning ta'rifi va asoslarini qisqacha ko'rib chiqish yaxshi fikr. \(f(x) \) funksiyaning \(x = a \) nuqtadagi hosilasi quyidagicha:
$ \[ f'(a) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(a+h) – f(a)}{h} \] $$
\(f'(x) \) funksiyasi \(f(x) \) ning hosila funksiyasi deb ataladi.
1-misol savol: Asosiy polinom hosilalari
Savol:
√(f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) funksiyasining birinchi hosilasini toping.
Munozara:
Asosiy hosila qoidasidan foydalaning \( \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \).
1. \(3x^3 \) uchun:
\[ \frac{d}{dx}(3x^3) = 3 \cdot 3x^{3-1} = 9x^2 \]
2. \( -5x^2 \) uchun:
\[ \frac{d}{dx}(-5x^2) = -5 \cdot 2x^{2-1} = -10x \]
3. \(2x \) uchun:
\[ \frac{d}{dx}(2x) = 2 \]
4. \( -7 \) uchun:
\[ \frac{d}{dx}(-7) = 0 \]
Shunday qilib:
\[ f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \]
2-misol savol: Trigonometrik funksiyalarning hosilalari
Savol:
$(g(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) funksiyasining birinchi hosilasini toping.
Munozara:
\( u(x) = \sin(x) \) va \( v(x) = \cos(x) \) bo'lgan holda \( \frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \) ko'paytma qoidasidan foydalaning.
1. \( \sin(x) \) ning hosilasi \( \cos(x) \) ga teng, shuning uchun \( u'(x) = \cos(x) \).
2. \( \cos(x) \) ning hosilasi \( -\sin(x) \) ga teng, shuning uchun \( v'(x) = -\sin(x) \).
\( u'(x) \) va \( v'(x) \ ni almashtirish:
$ \ sin (x) = \ cos (x) + \ sin (x) \ cdot (-\ sin(x)) $
\[ g'(x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \]
Yakuniy natija:
\[ g'(x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \]
3-misol: Eksponensial funksiyaning hosilasi
Savol:
^ {(h(x) = e^{2x}} funksiyasining birinchi hosilasini toping.
Munozara:
\( k = 2 \) bo'lgan eksponensial funksiyaning \( \frac{d}{dx} e^{kx} = ke^{kx} \) hosilasi qoidasidan foydalaning.
$ \[ h'(x) = \frac{d}{dx} e^{2x} \] $$
\[ h'(x) = 2 \cdot e^{2x} \]
Yakuniy natija:
\[ h'(x) = 2e^{2x} \]
4-misol savol: Logarifmik funksiyaning hosilasi
Savol:
\(p(x) = \ln(3x + 1) \) funksiyasining birinchi hosilasini toping.
Munozara:
\( u(x) = 3x + 1 \) bo'lgan logarifmik funksiyaning \( \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot u' \) hosilasi qoidasidan foydalaning.
1. Ichki hosilani toping \(u(x) = 3x + 1 \):
\[ u'(x) = 3 \]
2. Logarifmik hosila qoidasidan foydalaning:
$ \[ p'(x) = \frac{1}{3x + 1} \cdot 3 \] $$
Yakuniy natija:
$\frac{3}{3x+1} $$ ga teng bo'lgan $\frac{3}{3x+1} $$ ga teng.
5-savolga misol: Hosilalarni qo'llash - Maksimal va Minimal
Savol:
q(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x – 5) funksiyasining q(x) oralig'idagi maksimal va minimal qiymatlarini toping.
Munozara:
1. \(q(x) \) ning birinchi hosilasini toping:
\[q'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3 + 3x^2 + 12x – 5) \]
\[ q'(x) = -6x^2 + 6x + 12 \]
2. q'(x) = 0 ni yechib, statsionar nuqtalarni toping:
\[ -6x^2 + 6x + 12 = 0 \]
\[ -6(x^2 – x – 2) = 0 \]
\[x^2 – x – 2 = 0 \]
\[ (x-2)(x+1) = 0 \]
Statsionar nuqtalar \(x = 2 \) va \(x = -1 \).
3. Kritik nuqtalarda va oraliq chegaralarida \(q(x) \) ni baholang:
\[ q(-2) = -2(-2)^3 + 3(-2)^2 + 12(-2) – 5 \]
\[ = 16 + 12 – 24 – 5 \]
\[ = -1 \]
\[ q(2) = -2(2)^3 + 3(2)^2 + 12(2) – 5 \]
\[ = -16 + 12 + 24 – 5 \]
\[ = 15 \]
\[ q(-1) = -2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 12(-1) – 5 \]
\[ = 2 + 3 – 12 – 5 \]
\[ = -12 \]
4. Natijalarni baholash:
– Maksimal qiymat \(x = 2 \) da \(q(2) = 15 \) bo'lganda sodir bo'ladi.
– Minimal qiymat \(x = -1 \) da \(q(-1) = -12 \) bo'lganda sodir bo'ladi.
Yopish
Funksiya hosilasi tushunchasini chuqur tushunish fanning turli sohalarida juda muhimdir. Umid qilamizki, yuqoridagi misol masalalar va muhokamalar tushunchani chuqurroq tushunishingizga yordam beradi. Amalda, biz ko'pincha murakkabroq masalalarni yechish uchun turli qoidalar va teoremalarni birlashtirishimiz kerak bo'ladi. O'qishdan zavqlaning!
