Analitik geometriya bo'yicha muhokama savollarining namunasi
Pendahuluan
Analitik geometriya - bu matematikaning bir sohasi bo'lib, u fazo va shakl bilan bog'liq masalalarni yechish uchun algebra va geometriyani birlashtiradi. Bu bizga tenglamalar va koordinatalar yordamida geometrik masalalarni tahlil qilish imkonini beruvchi kuchli vositadir. Ushbu maqolada analitik geometriya maydoni masalalarining bir nechta misollari muhokama qilinadi va chuqurroq tushunishni osonlashtirish uchun ular batafsil muhokama qilinadi.
1-misol savol: Chiziq tenglamasi
Savol:
A(1, 2) va B(3, 7) nuqtalar berilgan. Ushbu ikki nuqtadan o'tuvchi chiziqning tenglamasini toping.
Munozara:
Ikki nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasini topish uchun biz gradient (qiyalik) formulasidan m dan foydalanishimiz mumkin:
\[ m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \]
A(x1, y1) = (1, 2) va B(x2, y2) = (3, 7) nuqtalari bilan:
\[m = \frac{7 – 2}{3 – 1} = \frac{5}{2} \]
Keyin, chiziq tenglamasi uchun formuladan foydalanamiz:
\[ y – y_1 = m(x – x_1) \]
Bir nuqtali almashtirish, masalan, A(1, 2) nuqtasi:
\[ y – 2 = \frac{5}{2}(x – 1) \]
Ushbu shaklni y uchun aniq tenglamaga aylantiring:
\[ y – 2 = \frac{5}{2}x – \frac{5}{2} \]
y = \frac{5}{2}x – \frac{5}{2} + 2 \]
y = \frac{5}{2}x – \frac{1}{2} \]
Demak, chiziqning tenglamasi quyidagicha:
y = \frac{5}{2}x – \frac{1}{2} \]
2-savolga misol: Aylana
Savol:
C(-2, 3) nuqtada markazlashgan va radiusi 4 ga teng bo'lgan aylananing tenglamasini aniqlang.
Munozara:
Markazi (h, k) nuqtada va radiusi r bo'lgan aylananing umumiy tenglamasi quyidagicha:
\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]
Savoldan kelib chiqqan holda, aylananing markazi (h, k) = (-2, 3) va radiusi r = 4. Demak,
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 4^2 \]
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 16 \]
Demak, aylananing tenglamasi quyidagicha:
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 16 \]
3-savolga misol: Parabola
Savol:
Uchasi (1, -2) nuqtada va fokusi (1, 0) nuqtada bo'lgan vertikal parabola tenglamasini aniqlang.
Munozara:
Uchburchagi (h, k) bo'lgan vertikal parabola uchun umumiy tenglama quyidagicha:
\[ (x – h)^2 = 4p(y – k) \]
(h, k) = (1, -2) choʻqqisi berilgan boʻlsa, p ning qiymatini topishimiz kerak. Parabolaning fokus nuqtasi (h, k + p) ga teng va masaladan fokus (1, 0) ga teng:
\[k + p = 0 – (-2) = 2 \]
Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida:
\[ p = 2 \]
Shunday qilib, umumiy tenglama quyidagicha bo'ladi:
\[ (x – 1)^2 = 4 \cdot 2 (y + 2) \]
\[ (x – 1)^2 = 8(y + 2) \]
Shunday qilib, parabola tenglamasi quyidagicha:
\[ (x – 1)^2 = 8(y + 2) \]
4-savolga misol: Ellips
Savol:
Markazi (0, 0) nuqtada, katta o'q uzunligi 10 va kichik o'q 6 bo'lgan ellips berilgan. Ellips tenglamasini toping.
Munozara:
Ellipsning markazi (h, k) (0, 0) ga teng, katta o'qning uzunligi 2a = 10, ya'ni a = 5 va kichik o'qning uzunligi 2b = 6, ya'ni b = 3. Markazi (0, 0) nuqtada bo'lgan ellips uchun umumiy tenglama quyidagicha:
$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
A va b qiymatlarini almashtiring:
$\frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1 $$
\[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
Demak, ellipsning tenglamasi quyidagicha:
\[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
5-savolga misol: Giperbola
Savol:
Markazi (1, -3) nuqtada bo'lgan giperbola berilgan bo'lsa, ko'ndalang o'qning uzunligi 8 ga va konjugat o'qning uzunligi 6 ga teng. Giperbola tenglamasini aniqlang.
Munozara:
Markazi (h, k) va gorizontal ko'ndalang o'qli giperbola uchun umumiy tenglama quyidagicha:
$\frac{(x – h)^2}{a^2} – \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1 \] $$
Giperbolaning markazi (h, k) (1, -3) ga teng, ko'ndalang o'qning uzunligi 2a = 8 ga teng, ya'ni a = 4, va konjugat o'qning uzunligi 2b = 6 ga teng, ya'ni b = 3. Shuning uchun giperbola tenglamasi quyidagicha:
$\frac{(x – 1)^2}{4^2} – \frac{(y + 3)^2}{3^2} = 1 \] $$
\[ \frac{(x – 1)^2}{16} – \frac{(y + 3)^2}{9} = 1 \]
Shunday qilib, giperbola tenglamasi quyidagicha:
\[ \frac{(x – 1)^2}{16} – \frac{(y + 3)^2}{9} = 1 \]
Xulosa
Analitik geometriya algebraik tenglamalar yordamida geometrik shakllar va tuzilmalarni tahlil qilishning kuchli usuli hisoblanadi. Chiziqlar, doiralar, parabolalar, ellipslar va giperbolalar tenglamalarining asosiy tushunchalarini tushunish orqali biz turli xil geometriya masalalarini osongina yecha olamiz. Ushbu maqolada sizning tushunchangizni chuqurlashtirishga yordam beradigan analitik geometriyadagi muhim masalalarga misollar va muhokamalar keltirilgan. Qo'shimcha amaliy masalalar ushbu materialni tushunishingizni mustahkamlash va kengaytirishga yordam beradi.
