Ehtimollik taqsimotiga oid misol savollar va muhokama
Ehtimollik taqsimoti statistika va ehtimollikdagi asosiy tushunchalardan biridir. U tasodifiy sonning turli qiymatlarining yuzaga kelish ehtimolini tushunish uchun ishlatiladi. Ehtimollik taqsimoti tahlil qilinayotgan ma'lumotlarning xususiyatiga qarab turli shakllarga ega bo'lishi mumkin. Ehtimollik taqsimotining eng keng tarqalgan ikkita turi diskret va uzluksizdir. Ushbu maqolada biz bir nechta misol masalalarini ko'rib chiqamiz va ushbu mavzuni yaxshiroq tushunishimizga yordam berish uchun ehtimollik taqsimotlarini muhokama qilamiz.
Diskret taqsimot
Diskret taqsimot - bu diskret tasodifiy o'zgaruvchining, ya'ni faqat ma'lum qiymatlarni qabul qila oladigan o'zgaruvchining ehtimolligini hisoblaydigan taqsimot. Diskret taqsimotlarning taniqli misollari binomial taqsimot va Puasson taqsimoti hisoblanadi.
1-misol: Binomial taqsimot
Binomial taqsimot Bernoulli sinovlari seriyasidagi muvaffaqiyatlar sonini tavsiflaydi. Har bir Bernoulli sinovining ikkita natijasi bor: muvaffaqiyat yoki muvaffaqiyatsizlik. Muvaffaqiyat ehtimoli sinov davomida o'zgarmas bo'lib qoladi.
Savol:
Farmatsevtika kompaniyasi 10 bemorda yangi dori vositasini sinovdan o'tkazmoqda. Preparatning har qanday bitta bemorda ish berish ehtimoli 0.7 ga teng. Preparatning 10 bemordan 7 tasida ish berish ehtimolini hisoblang.
Munozara:
Tasodifiy o'zgaruvchi \(X\) \(n = 10\) va \(p = 0.7\) bo'lgan binomial taqsimotga amal qiladi. Binomial ehtimollik funksiyasi quyidagicha:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
\(k = 7\) uchun:
\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
Binomial koeffitsientni hisoblash \(\binom{10}{7}\):
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
Ehtimollik qiymatlarini hisoblash:
\[ P(X = 7) = 120 \marta (0.7)^7 \marta (0.3)^3 \]
\[ P(X = 7) \taxminan 120 \marta 0.0823543 \marta 0.027 \]
\[ P(X = 7) \taxminan 0.231 \]
Demak, preparatning 10 bemordan 7 tasida ish berish ehtimoli taxminan 0.231 yoki 23.1% ni tashkil qiladi.
2-misol: Puasson taqsimoti
Puasson taqsimoti ma'lum bir vaqt yoki fazo oralig'ida noyob hodisaning paydo bo'lish sonini modellashtirish uchun ishlatiladi.
Savol:
Do'konga soatiga o'rtacha 4 ta mijoz keladi. Do'konga bir soat ichida aynan 5 ta mijoz kelishi ehtimoli qanday?
Munozara:
Tasodifiy o'zgaruvchi \(X\) parametri \(\lambda = 4\) bo'lgan Puasson taqsimotiga amal qiladi. Puasson ehtimollik massasi funksiyasi quyidagicha:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]
\(k = 5\) uchun:
\[ P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]
Hisoblash:
\[ P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[ P(X = 5) \approx \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[ P(X = 5) \taxminan 0.156 \]
Demak, do'konning bir soat ichida aynan 5 ta mijozni qabul qilish ehtimoli taxminan 0.156 yoki 15.6% ni tashkil qiladi.
Uzluksiz taqsimot
Uzluksiz taqsimotlar o'lchanayotgan tasodifiy o'zgaruvchi ma'lum bir diapazon ichida istalgan qiymatni qabul qila olganda qo'llaniladi. Uzluksiz taqsimotlarning taniqli misollari Normal taqsimot va Eksponensial taqsimotdir.
3-misol: Normal taqsimot
Normal taqsimot, ko'pincha Gauss taqsimoti deb ataladi, bu fan, muhandislik va iqtisodiyot kabi turli sohalarda keng qo'llaniladigan taqsimotdir.
Savol:
Shahardagi kattalar erkaklarining bo'yi odatda o'rtacha 170 sm va standart og'ish 10 sm bilan taqsimlanadi. Tasodifiy tanlangan erkakning bo'yi 160 sm dan 180 sm gacha bo'lishi ehtimoli qanday?
Munozara:
Biz 160 sm va 180 sm uchun z-ballni hisoblashimiz kerak. Z-ball quyidagicha aniqlanadi:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
\(X = 160\) uchun:
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]
\(X = 180\) uchun:
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]
Endi z jadvalidagi -1 dan 1 gacha bo'lgan ehtimollik qiymatlarini ko'rib chiqishimiz kerak. z = -1 dan z = 1 gacha bo'lgan qiymat taxminan 0.6826 ga teng.
Demak, tasodifiy tanlangan erkakning bo'yi 160 sm dan 180 sm gacha bo'lishi ehtimoli taxminan 0.6826 yoki 68.26% ni tashkil qiladi.
4-misol: Eksponensial taqsimot
Eksponensial taqsimot Puasson jarayonidagi hodisalar orasidagi vaqtni modellashtirish uchun ishlatiladi.
Savol:
Do'konga ikkita mijoz kelishi orasidagi o'rtacha vaqt 15 daqiqa. Ikki mijoz kelishi orasidagi vaqt 10 daqiqadan kam bo'lishi ehtimoli qanday?
Munozara:
Eksponensial taqsimot o'rtacha qiymatning (\(\mu\) teskarisi bo'lgan \(\lambda\) parametriga ega. O'rtacha qiymati 15 daqiqa bo'lganda:
\[ \lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]
Eksponensial kümülatif taqsimot funktsiyasi quyidagicha:
\[ P(X \leq x) = 1 – e^{-\lambda x} \]
\(x = 10\) uchun:
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.0667 \times 10} \]
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[ P(X \leq 10) \taxminan 1 – 0.5134 \]
\[ P(X \leq 10) \taxminan 0.4866 \]
Demak, ikkita mijozning kelishi orasidagi vaqt 10 daqiqadan kam bo'lishi ehtimoli taxminan 0.4866 yoki 48.66% ni tashkil qiladi.
Xulosa
Diskret va uzluksiz ehtimollik taqsimotlari tasodifiy o'zgaruvchilarning xatti-harakatlarini modellashtirish va tushunish uchun juda foydali tushunchalardir. Binomial va Puasson taqsimotlari ko'pincha diskret o'zgaruvchilar uchun ishlatiladi, normal va eksponensial taqsimotlar esa uzluksiz taqsimotlarga misol bo'la oladi.
Yuqoridagi misollar orqali siz ehtimollik taqsimotlarida ehtimolliklarni qanday hisoblash va talqin qilishni yaxshiroq tushunganingizga umid qilamiz. Doimiy mashq qilish bilan ehtimollik taqsimotlarini tushunish qobiliyatingiz yaxshilanadi va turli fanlarda qo'llanilishi mumkin.
