Normal taqsimot bo'yicha muhokama savoliga misol
Normal taqsimot, shuningdek, Gauss taqsimoti deb ham ataladi, statistikada eng ko'p ishlatiladigan ehtimollik taqsimoti hisoblanadi. Bu taqsimot simmetrik qo'ng'iroq shakliga ega, bu ma'lumotlar o'rtacha qiymat atrofida joylashtirilganligini va ekstremal qiymatlar (o'rtacha qiymatdan uzoq qiymatlar) ehtimoli pastligini ko'rsatadi.
Ushbu maqolada biz normal taqsimot bilan bog'liq turli xil misol masalalarni va ularni qanday yechish kerakligini muhokama qilamiz. Avvaliga ba'zi asosiy tushunchalarni kiritamiz va keyin murakkabroq misollarga o'tamiz.
Normal taqsimot asoslari
Normal taqsimot - bu ikkita parametrga ega bo'lgan uzluksiz taqsimot: o'rtacha qiymat va standart og'ish (SD). O'rtacha qiymat taqsimot markazini, standart og'ish esa taqsimot kengligini belgilaydi.
Normal taqsimotning muhim xususiyatlari:
1. Simmetriya: Normal taqsimot o'rtacha qiymatga nisbatan simmetrikdir.
2. Empirik qoida (Empirik qoida):
– Ma'lumotlarning taxminan 68% o'rtacha qiymatdan bitta standart og'ish doirasida joylashgan.
– Ma'lumotlarning taxminan 95% o'rtacha qiymatdan ikki standart og'ish doirasida joylashgan.
– Maʼlumotlarning taxminan 99.7% oʻrtacha qiymatdan uch standart ogʻish doirasida joylashgan.
Namunaviy savollar va muhokama
1-misol savol: Z-ballni hisoblash
Savol: Imtihonning o'rtacha ball 70, standart og'ish esa 10 ga teng. Talaba 80 ball oladi. Talabaning Z-balli qancha?
Yechim:
Z-ball - bu qiymatning o'rtacha qiymatdan qancha standart og'ish ekanligini o'lchovidir.
Z-ball formulasi:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Qayerda:
– \( X \) kuzatilgan qiymatdir.
– \( \mu \) o'rtacha qiymatdir.
– \( \sigma \) standart og'ishdir.
Bu aniq:
– \( X = 80 \)
– \( \mu = 70 \)
– \( \sigma = 10 \)
Formulaning qo'llanilishi:
\[ Z = \frac{80 – 70}{10} = 1 \]
Demak, talabaning Z-balli 1 ga teng, ya'ni 80 ball o'rtacha qiymatdan bitta standart og'ish yuqori ekanligini anglatadi.
2-misol savol: Muayyan qiymatning ehtimolligi
Savol: O'rtacha qiymati 100 va standart og'ish 15 bo'lgan normal taqsimotda, 85 dan past qiymatni topish ehtimoli qanday?
Yechim:
Bosqichlar:
1. \(X = 85 \) qiymati uchun Z-ballni hisoblang:
\[ Z = \frac{85 – 100}{15} = \frac{-15}{15} = -1 \]
2. Z-ballining -1 ga mos keladigan ehtimollikni topish uchun Z-jadval yoki statistik kalkulyatordan foydalaning. Z-jadvalda Z-ballining -1 ehtimoli taxminan 0.1587 ga teng.
Demak, 85 dan past qiymatni topish ehtimoli 0.1587 yoki 15.87% ni tashkil qiladi.
3-misol savol: Empirik qoidalardan foydalanish
Savol: Maktablarda matematika test ballarining taqsimlanishi o'rtacha 75 va standart og'ish 8 bo'lgan normal taqsimotga amal qilishi ma'lum. O'quvchilarning qancha qismi 67 va 83 ball oralig'ida ball to'plagan?
Yechim:
Langkah-langkah:
1. 67 va 83 qiymatlari uchun Z-ballni hisoblang:
\[ Z_{67} = \frac{67 – 75}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]
\[ Z_{83} = \frac{83 – 75}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]
2. Empirik qoidalarga ko'ra, o'rtacha qiymatdan -1 SD va +1 SD orasidagi qiymatlar aholining taxminan 68% ni qamrab oladi.
Shunday qilib, 67 dan 83 gacha ball to'plagan talabalarning ulushi taxminan 68% ni tashkil etdi.
4-misol savol: Foizlardan qiymatlarni hisoblash
Savol: Agar biror mamlakatda kattalar erkaklarining o'rtacha bo'yi 175 sm bo'lsa va standart og'ish 7 sm bo'lsa, 90-persentilda qanday bo'y bo'ladi?
Yechim:
Langkah-langkah:
1. 90-persentilga mos keladigan Z-ballni toping. Z-jadvaliga asoslanib, 0.9000 ga eng yaqin Z-ball taxminan 1.28 ga teng.
2. \(X\) qiymatini hisoblash uchun formuladan foydalaning:
\[X = \mu + Z \marta \sigma \]
\[X = 175 + 1.28 \7 marta \]
\[X = 175 + 8.96 \]
X = 183.96
Demak, 90-persentildagi bo'y taxminan 183.96 sm.
5-savolga misol: Muayyan oraliqning ehtimolligi
Savol: Yangi tug'ilgan chaqaloqlarning vazn taqsimoti o'rtacha 3.5 kg va standart og'ish 0.5 kg bo'lgan normal taqsimotga amal qilishini hisobga olsak, chaqaloqning vazni 3 kg dan 4 kg gacha bo'lishi ehtimoli qanday?
Yechim:
Langkah-langkah:
1. 3 kg va 4 kg qiymatlari uchun Z-ballni hisoblang:
\[ Z_{3} = \frac{3 – 3.5}{0.5} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 \]
\[ Z_{4} = \frac{4 – 3.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 \]
2. Z jadvaliga asoslangan holda -1 va 1 oralig'idagi Z-ball ehtimoli taxminan 0.6826 yoki 68.26% ni tashkil qiladi.
Shunday qilib, 3 kg dan 4 kg gacha vaznga ega chaqaloqning tug'ilish ehtimoli taxminan 68.26% ni tashkil qiladi.
Xulosa
Normal taqsimot statistikada juda muhim bo'lgan va ko'plab real hayotda qo'llaniladigan asosiy tushunchadir. Ushbu maqolada biz normal taqsimotning asosiy tushunchalarini tushuntirdik va tushunchamizni chuqurlashtirish uchun bir nechta misollarni yechdik.
Normal taqsimotni tushunish nafaqat statistika uchun, balki psixologiya, iqtisodiyot va boshqa ijtimoiy fanlar kabi turli amaliy sohalar uchun ham muhimdir. Yetarlicha amaliyot bilan normal taqsimot muammolarini yechish yanada intuitiv bo'lib, ma'lumotlarga asoslangan qarorlar qabul qilishga yordam beradi.
