Arifmetik qatorlarni muhokama qilish uchun namunaviy savollar
Arifmetik ketma-ketliklar matematikaning asosiy tushunchasi bo'lib, u o'rta maktab va oliy ta'limda turli masalalarda tez-tez uchraydi. Bu tushuncha sonlar ketma-ketligini o'z ichiga oladi, bunda har bir had oldingi haddan doimiy sonni qo'shish yoki ayirish natijasidir. Ushbu maqolada biz arifmetik ketma-ketliklar tushunchasini yanada chuqurroq tushunish uchun bir nechta misol masalalar va ularning yechimlarini muhokama qilamiz.
Arifmetik qatorlarni tushunish
Arifmetik qator - bu ketma-ket ikkita had orasida doimiy farq (ayrim) bo'lgan qator. Masalan, agar arifmetik qatorda birinchi had \(a\) va farq \(d\) bo'lsa, unda hadlarni quyidagicha yozish mumkin:
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots \]
Agar biz ushbu qatorning n-chi hadini topmoqchi bo'lsak, n-chi had (\(U_n\)) uchun formula quyidagicha bo'ladi:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Shu bilan birga, arifmetik qatorning birinchi n hadlarining yig'indisini (\(S_n\)) quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Namunaviy savollar va muhokama
1-namuna savol
Savol: Birinchi hadi \(a = 5\) va umumiy ayirmasi \(d = 3\) bo'lgan arifmetik qator berilgan. Qatorning 10-hadini toping.
Munozara:
10-chi hadni (\(U_{10}\)) topish uchun n-chi had formulasidan foydalanishimiz mumkin:
\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Demak, seriyaning 10-hadi 32 ga teng.
2-namuna savol
Savol: Birinchi hadi \(a = 4\) va umumiy ayirmasi \(d = 7\) bo'lgan arifmetik qatorning dastlabki 15 hadining yig'indisini toping.
Munozara:
Dastlabki 15 ta hadning yig'indisini (\(S_{15}\)) topish uchun birinchi n ta hadning yig'indisi formulasidan foydalanishimiz mumkin:
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[ S_{15} = 15 \cdot 53 \]
\[ S_{15} = 795 \]
Demak, qatorning dastlabki 15 ta hadining yig'indisi 795 ga teng.
3-namuna savol
Savol: Ma'lumki, arifmetik qatorning 5-hadi 20 ga, 12-hadi esa 48 ga teng. Qatorning birinchi hadini (\(a\)) va umumiy ayirmasini (\(d\)) toping.
Munozara:
Berilgan shartlardan:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
Bizda yechishimiz mumkin bo'lgan ikkita o'zgaruvchiga ega ikkita chiziqli tenglama mavjud:
1. \( a + 4d = 20 \)
2. \( a + 11d = 48 \)
1-tenglamadan \(a\) ni \(d\) orqali ifodalashimiz mumkin:
\[a = 20 – 4 kun \]
Endi biz 2-tenglamaga \(a\) ni almashtiramiz:
\[20 – 4 kun + 11 kun = 48 \]
\[20 + 7d = 48 \]
\[ 7d = 28 \]
\[ d = 4 \]
Endi biz \(d\) qiymatini \(a = 20 – 4d\) tenglamaga almashtiramiz:
\[a = 20 – 4 \cdot 4 \]
\[a = 20 – 16 \]
\[ a = 4 \]
Demak, qatorning birinchi hadi 4 ga, umumiy ayirmasi esa 4 ga teng.
4-namuna savol
Savol: Birinchi hadi \(a = 2\) va umumiy ayirmasi \(d = 5\) bo'lgan arifmetik qator uchun nechta had kerak?
Munozara:
Bu holda, biz 200 ga teng bo'lgan birinchi n ta had (\(S_n\)) yig'indisini topishimiz kerak. Birinchi n ta had yig'indisi formulasidan foydalaning:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]
\(a\) va \(d\) qiymatlarini almashtiring:
\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[ n (5n – 1) = 400 \]
Bu kvadrat tenglama. Uni yechish uchun uning shaklini o'zgartiramiz:
\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]
\(ax^2 + bx + c = 0\) kvadrat formulasidan foydalaning:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
Bu holda \(a = 5\), \(b = -1\) va \(c = -400\):
\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]
\(\sqrt{8001}\) qiymati 89.42 ga yaqin bo'lsa, u holda:
\[ n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
Biz ijobiy qiymatlarni olamiz:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \approx \frac{90.42}{10} \]
\[ n \taxminan 9.042 \]
Demak, talab qilinadigan atamalar soni 9 ta atama (agar yaxlitlangan bo'lsa).
Xulosa
Arifmetik ketma-ketliklar matematikada juda muhim mavzu hisoblanadi. Birinchi had, umumiy ayirma, n-chi had va birinchi n-chi hadlarning yig'indisini chuqur tushunish turli xil masalalarni yechish uchun bebahodir. Yuqoridagi misollar va muhokamalardan foydalanib, o'quvchilar arifmetik ketma-ketliklarning asosiy tushunchalarini yaxshiroq tushunishlariga umid qilamiz.
