Arifmetik ketma-ketliklarni muhokama qilish bo'yicha namunaviy savollar
Arifmetik ketma-ketliklar matematikaning asosiy tushunchasi bo'lib, u turli imtihonlarda va real hayotdagi qo'llanmalarda tez-tez uchraydi. Arifmetik ketma-ketlik - bu ketma-ket keladigan har ikki had orasida doimiy farqga ega bo'lgan sonlar ketma-ketligi. Ushbu maqolada biz arifmetik ketma-ketliklar tushunchasini bir nechta misol masalalar va batafsil tushuntirishlar orqali chuqurroq o'rganamiz.
Ta'riflar va eslatmalar
Misol masalalariga kirishdan oldin, arifmetik ketma-ketliklarda tez-tez ishlatiladigan yozuvlarni tushunish muhimdir. Agar \(a\) birinchi had va \(d\) umumiy ayirma (doimiy ayirma) bo'lsa, unda arifmetik ketma-ketlikni quyidagicha yozish mumkin:
\[ a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots, a+(n-1)d \]
Bu ketma-ketlikning n-chi hadi (Un) quyidagicha ifodalanishi mumkin:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Quyida arifmetik ketma-ketliklarni tushunishni osonlashtirish uchun bir nechta misol savollar va ularning muhokamalari keltirilgan.
1-namuna savol
Savol:
Birinchi hadi \(a = 5\) va umumiy ayirmasi \(d = 3\) bo'lgan arifmetik ketma-ketlik berilgan. Ketma-ketlikning 10-hadini aniqlang.
Munozara:
N-chi had uchun umumiy formuladan foydalanib, ya'ni \( U_n = a + (n-1)d \):
\[ U_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 9 \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Demak, ketma-ketlikning 10-hadi 32 ga teng.
2-namuna savol
Savol:
Beshinchi hadi 20 va sakkizinchi hadi 35 bo'lgan arifmetik ketma-ketlik berilgan. Ketma-ketlikning birinchi hadi \(a\) va umumiy ayirmasi \(d\) ni aniqlang.
Munozara:
Savoldan biz quyidagilarni bilamiz:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_8 = a + 7d = 35 \]
\(a\) ni yo'qotish uchun ikkala tenglamani ham ayiring:
\[ (a + 7d) – (a + 4d) = 35 – 20 \]
\[ 3d = 15 \]
\[ d = 5 \]
Endi \(d = 5\) ni \(a\) ni topish uchun almashtiramiz:
\[a + 4 \cdot 5 = 20 \]
\[a + 20 = 20 \]
\[ a = 0 \]
Demak, ketma-ketlikning birinchi hadi 0 ga, farqi esa 5 ga teng.
3-namuna savol
Savol:
Birinchi hadi \(a = 2\) va umumiy ayirmasi \(d = 4\) bo'lgan arifmetik ketma-ketlikning dastlabki 20 ta hadining yig'indisi nima?
Munozara:
Arifmetik ketma-ketlikning birinchi n ta hadining yig'indisini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:
$ S_n = \frac{n}{2} \chap(2a + (n-1)d \o'ng) \] $$
Ushbu qator uchun:
\[ S_{20} = \frac{20}{2} \chap( 2 \cdot 2 + (20-1) \cdot 4 \o'ng) \]
\[ S_{20} = 10 \chap( 4 + 76 \o'ng) \]
\[ S_{20} = 10 \cdot 80 \]
\[ S_{20} = 800 \]
Demak, ketma-ketlikning dastlabki 20 ta hadining yig'indisi 800 ga teng.
4-namuna savol
Savol:
Arifmetik ketma-ketlikning uchinchi hadi 15 ga, yettinchi hadi esa 27 ga teng. Ketma-ketlikning 12-hadini toping.
Munozara:
Birinchidan, biz \(a\) va \(d\) qiymatlarini topishimiz kerak. Savoldan biz quyidagilarni bilamiz:
\[ U_3 = a + 2d = 15 \]
\[ U_7 = a + 6d = 27 \]
\(a\) ni yo'qotish uchun ikkala tenglamani ham ayiring:
\[ (a + 6d) – (a + 2d) = 27 – 15 \]
\[ 4d = 12 \]
\[ d = 3 \]
Endi \(d = 3\) ni \(a\) ni topish uchun almashtiramiz:
\[a + 2 \cdot 3 = 15 \]
\[a + 6 = 15 \]
\[ a = 9 \]
12-hadni topish uchun n-chi had formulasidan foydalaning:
\[ U_{12} = a + 11 kun \]
\[ U_{12} = 9 + 11 \cdot 3 \]
\[ U_{12} = 9 + 33 \]
\[ U_{12} = 42 \]
Demak, ketma-ketlikning 12-hadi 42 ga teng.
5-namuna savol
Savol:
Birinchi had \(a\) va umumiy ayirmasi \(d\) bo'lgan arifmetik ketma-ketlik dastlabki 10 hadning yig'indisiga, ya'ni 55 ga teng. Agar \(d = 1\) bo'lsa, birinchi had \(a\) ni aniqlang.
Munozara:
\(d = 1\) va \(S_{10} = 55\ berilgan. Birinchi hadlar yig'indisi formulasidan foydalaning:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
n = 10 uchun:
\[ S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9 \cdot 1) = 55 \]
\[ 5 (2a + 9) = 55 \]
\[2a + 9 = 11 \]
\[ 2a = 2 \]
\[ a = 1 \]
Demak, ketma-ketlikning birinchi hadi 1 ga teng.
Xulosa
Arifmetik ketma-ketliklar matematikada turli sohalarda juda foydali bo'lgan asosiy tushunchadir. Ushbu maqolada biz arifmetik ketma-ketliklarning bir nechta misollarini va ularning yechimlarini muhokama qildik. Arifmetik ketma-ketliklarning formulalari va asosiy xususiyatlarini yaxshi tushunish ushbu mavzu bilan bog'liq turli xil muammolarni hal qilishda juda foydali bo'ladi.
Yuqoridagi kabi misollarni mashq qilish orqali siz arifmetik ketma-ketliklar bilan bog'liq masalalarni yechishda yanada mohirroq va tezroq bo'lishingizga umid qilamiz.
