Ikkita eksklyuziv A va B hodisalarini qo'shish qoidasini muhokama qilish bo'yicha namunaviy savollar
Ehtimollar nazariyasida ikkita hodisaning yig'indisi qoidasi bir nechta hodisalarning ehtimolligini hisoblash uchun ishlatiladigan asosiy tamoyillardan biridir. Ushbu tushuncha ko'pincha turli vaziyatlarda ma'lum hodisalarning mumkin bo'lgan natijalarini tushunish uchun qo'llaniladi. Ushbu maqolada biz ikkita o'zaro bog'liq bo'lmagan hodisalarning yig'indisi qoidasini muhokama qilamiz va bu tushunchani aniqlashtirish uchun misollar keltiramiz.
Ikkita o'zaro istisno qiluvchi hodisalarni qo'shish qoidasi
Avvalo, o'zaro istisno qiluvchi hodisalar nimani anglatishini tushunish muhimdir. Agar ikkita hodisa bir vaqtning o'zida sodir bo'la olmasa, ular ajratilgan yoki o'zaro istisno qiluvchi deyiladi. Boshqacha qilib aytganda, bir hodisa to'plamidagi hech bir element boshqa hodisa to'plamidagi element ham emas.
Ehtimollikdagi qo'shish qoidasi shuni ko'rsatadiki, agar ikkita \(A\) va \(B\) hodisalar bir-birini istisno qilsa, u holda \(A\) yoki \(B\) hodisalarining ehtimolligi ikki hodisaning ehtimolliklari yig'indisiga teng. Matematik jihatdan bu qoida quyidagicha ifodalanishi mumkin:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]
bu yerda \(P(A \cup B)\) \(A\) yoki \(B\) ehtimoli, \(P(A)\) \(A\) hodisasining ehtimoli va \(P(B)\) \(B\) hodisasining ehtimoli.
Namunaviy muhokama savollari
Keling, ikkita oʻzaro istisno qiluvchi hodisani qoʻshish qoidasini qoʻllashni aniqlashtirish uchun baʼzi misollarni koʻrib chiqaylik.
1-namuna savol
Savol:
Olti tomonlama zar bir marta otilgan. Olingan sonning 2 yoki 4 bo'lish ehtimolini toping.
Munozara:
Biz \(A\) hodisani 2 qiymatining sodir bo'lishi sifatida, \(B\) hodisani esa 4 qiymatining sodir bo'lishi sifatida aniqlashimiz mumkin. Shunday qilib:
– \(P(A)\) 2 qiymatining paydo bo'lish ehtimoli.
– \(P(B)\) 4 qiymatining paydo bo'lish ehtimoli.
Zarbning oltita teng ehtimollikdagi tomoni bo'lgani uchun, ma'lum bir qiymatning tashlanish ehtimoli \( \frac{1}{6} \) ga teng. Shunday qilib:
\[ P(A) = \frac{1}{6} \]
\[ P(B) = \frac{1}{6} \]
\(A\) va \(B\) hodisalari bir-birini istisno qiladi, chunki 2 va 4 qiymatlari zarbning bitta rulosida bir vaqtning o'zida paydo bo'la olmaydi. Shuning uchun, ikkita o'zaro istisno hodisa uchun qo'shish qoidasidan foydalaniladi:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
Demak, paydo bo'lgan qiymatning 2 yoki 4 bo'lish ehtimoli \( \frac{1}{3} \) yoki taxminan 33.33% ni tashkil qiladi.
2-namuna savol
Savol:
Bir xaltada 4 ta qizil va 6 ta ko'k shardan iborat 10 ta shar bor. Agar tasodifiy bitta sharni tanlasak, olingan sharning qizil yoki ko'k bo'lish ehtimoli qanday?
Munozara:
Biz \(A\) hodisasini qizil sharni olish deb, \(B\) hodisasini esa ko'k sharni olish deb ta'riflashimiz mumkin. Shunday qilib:
– \(P(A)\) qizil sharni olish ehtimoli.
– \(P(B)\) ko'k sharni olish ehtimoli.
Har bir hodisaning ehtimolini quyidagicha hisoblash mumkin:
\[ P(A) = \frac{\text{Qizil sharlar soni}}{\text{Sharlarning umumiy soni}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
\[ P(B) = \frac{\text{Moviy sharlar soni}}{\text{Sharlarning umumiy soni}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
\(A\) va \(B\) hodisalari bir-birini istisno qiladi, chunki shar ham qizil, ham ko'k bo'la olmaydi. Shuning uchun, ikkita o'zaro istisno hodisa uchun qo'shish qoidasidan foydalanamiz:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1 \]
Demak, olingan sharning qizil yoki ko'k bo'lish ehtimoli 1 yoki 100% ga teng. Bu mantiqan to'g'ri, chunki xaltadagi barcha sharlar qizil yoki ko'k rangda.
3-namuna savol
Savol:
20 o'quvchidan iborat sinfda, ulardan 7 tasi matematika, 5 tasi fanni yoqtiradi va ikkalasini ham yoqtiradigan hech kim yo'q. Agar bitta o'quvchi tasodifiy tanlansa, o'quvchining matematika yoki fanni yoqtirishi ehtimolini toping.
Munozara:
Biz \(A\) hodisani matematikani yoqtirish, \(B\) hodisani esa fanni yoqtirish deb ta'riflashimiz mumkin. Shunday qilib:
– \(P(A)\) talabaning matematikani yoqtirish ehtimoli.
– \(P(B)\) talabaning fanni yoqtirish ehtimoli.
Har bir hodisaning ehtimolini quyidagicha hisoblash mumkin:
\[ P(A) = \frac{\text{Matematikani yoqtiradigan talabalar soni}}{\text{Talabalarning umumiy soni}} = \frac{7}{20} \]
\[ P(B) = \frac{\text{Fanni yoqtiradigan talabalar soni}}{\text{Talabalarning umumiy soni}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]
\(A\) va \(B\) hodisalari bir-birini istisno qiladi, chunki hech bir talaba ikkalasini ham yoqtirmaydi. Shuning uchun, ikkita o'zaro istisno hodisa uchun qo'shish qoidasidan foydalaning:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{7}{20} + \frac{5}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \]
Demak, tasodifiy tanlangan talabaning matematika yoki fanni yoqtirish ehtimoli \( \frac{3}{5} \) yoki 60% ga teng.
Xulosa
Ikkita o'zaro istisno qiluvchi hodisa uchun qo'shish qoidasi ehtimollik nazariyasidagi asosiy tushuncha bo'lib, u qo'shma hodisa ehtimolini hisoblashni osonlashtiradi. Yuqoridagi misollarda biz ushbu tamoyilni zarlarni tashlash, sumkadan koptoklarni olish yoki sinfdan o'quvchilarni tanlash kabi real vaziyatlarga qo'llash mumkinligini ko'rdik. Ushbu tushunchani tushunish va o'zlashtirish orqali biz kundalik hayotdagi turli o'zaro istisno qiluvchi hodisalarning ehtimolliklarini samaraliroq hisoblashimiz mumkin.
