شماریات میں مان وٹنی ٹیسٹ

شماریات میں مان-وٹنی ٹیسٹ

شماریات ریاضی کی ایک شاخ ہے جس کا تعلق ڈیٹا کو جمع کرنے، تجزیہ کرنے، تشریح کرنے اور پیش کرنے سے ہے۔ اعداد و شمار کو مختلف شعبوں میں ڈیٹا پر مبنی فیصلے کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ شماریات میں ایک کثرت سے استعمال ہونے والی تکنیک مان-وٹنی ٹیسٹ ہے (جسے مان-وٹنی یو ٹیسٹ یا ولکوکسن رینک سم ٹیسٹ بھی کہا جاتا ہے)۔ یہ ایک نان پیرامیٹرک طریقہ ہے جس کا استعمال اس بات کا تعین کرنے کے لیے کیا جاتا ہے کہ آیا دو غیر جوڑ گروپوں کے درمیان کوئی خاص فرق ہے۔

مان-وٹنی ٹیسٹ کا تعارف

Mann-Whitney ٹیسٹ کو ہنری مان اور ڈونلڈ وٹنی نے 1947 میں t-ٹیسٹ کے نان پیرامیٹرک متبادل کے طور پر متعارف کرایا تھا۔ یہ طریقہ معمول کے مفروضے کی ضرورت نہیں ہے۔ لہذا، یہ خاص طور پر مفید ہے جب ڈیٹا عام تقسیم کی پیروی نہیں کرتا ہے یا جب نمونہ کا سائز معمول کے مفروضے کی توثیق کرنے کے لیے بہت چھوٹا ہے۔

مان-وٹنی ٹیسٹ کے بنیادی اصول

Mann-Whitney ٹیسٹ دو گروپوں کے میڈین کا موازنہ کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ بنیادی اصول یہ ہے:

1. درجہ بندی کا مشاہدہ: دونوں گروپوں کے تمام ڈیٹا کو ملا کر سب سے چھوٹے سے بڑے تک درجہ بندی کیا جاتا ہے۔ اگر ایک جیسی قدریں ہیں، تو ہر مشاہدے کو اس کے مناسب درجہ کی اوسط سے درجہ بندی کیا جاتا ہے۔

2. شماریاتی ٹیسٹ کیلکولیشن: شماریاتی ٹیسٹ ویلیو (U) کا حساب ہر گروپ کے رینک کے مجموعے کی بنیاد پر کیا جاتا ہے۔ حساب کرنے کے دو طریقے ہیں: ایک جو پہلے گروپ سے شروع ہوتا ہے اور دوسرا دوسرے گروپ سے۔

- U کے لیے عمومی فارمولا ہے:
\[
U_1 = n_1 \times n_2 + \frac{n_1 \times (n_1 + 1)}{2} – R_1
\]
یا
\[
U_2 = n_1 \times n_2 + \frac{n_2 \times (n_2 + 1)}{2} – R_2
\]
کہاں:
- \(n_1\) اور \(n_2\) ہر گروپ میں مشاہدات کی تعداد ہیں،
- \(R_1\) اور \(R_2\) ہر گروپ میں رینک کی تعداد ہیں۔

3. اہمیت کا ٹیسٹ: اہمیت کا ٹیسٹ p-value کا تعین کرنے کے لیے کیا جاتا ہے۔ بڑے نمونے کے سائز کے حالات میں، U کی تقسیم کو ایک عام تقسیم کے ذریعے لگایا جا سکتا ہے۔

مان-وٹنی ٹیسٹ میں مفروضے۔

اگرچہ Mann-Whitney ٹیسٹ ایک نان پیرامیٹرک ٹیسٹ ہے اور اس کے لیے عام تقسیم کے مفروضے کی ضرورت نہیں ہے، لیکن نتائج کی درستگی کے لیے متعدد متعلقہ مفروضات کو پورا کرنا ضروری ہے:

1. آزادی: دونوں گروہوں میں ہر مشاہدہ ایک دوسرے سے آزاد ہونا چاہیے۔
2. آرڈینل یا وقفہ پیمانہ: ڈیٹا کو ایک آرڈینل یا وقفہ پیمانے پر ہونا چاہیے۔ اس کا مطلب ہے کہ ڈیٹا کو ترتیب دیا جا سکتا ہے اور اس میں درجہ بندی کی معلومات شامل ہیں۔
3. تقسیم کی حد: دونوں گروہوں کی تقسیم میں ایک ہی شکل ہونی چاہیے (حالانکہ میڈین مختلف ہو سکتا ہے)۔

مان-وٹنی ٹیسٹ کو انجام دینے کے اقدامات

مین وٹنی ٹیسٹ کرنے کے لیے عام طور پر مندرجہ ذیل اقدامات کیے جاتے ہیں:

1. ڈیٹا کو یکجا اور ترتیب دیں: دونوں گروپوں کے ڈیٹا کو یکجا کریں اور انہیں مجموعی طور پر ترتیب دیں۔ درجہ بندی ترتیب کے مطابق تفویض کی جاتی ہے جس میں اوسط قدر سے منسلک درجہ بندی کی ایڈجسٹمنٹ ہوتی ہے۔

2. رینکنگ کی تعداد کا حساب لگائیں: ہر گروپ کے لیے رینک کی تعداد کا حساب لگائیں۔

3. اعداد و شمار کی U- قدر کا تعین: دونوں گروہوں کے لیے U- قدر کا حساب لگانے کے لیے پہلے بیان کردہ فارمولے کا استعمال کریں۔

4. تنقیدی قدر یا پی-ویلیو کا تعین: حاصل کردہ U-قدر کا موازنہ U-ڈسٹری بیوشن ٹیبل (یا p-value کا حساب لگائیں) سے کریٹیکل ویلیو سے کریں تاکہ یہ معلوم کیا جا سکے کہ آیا گروپوں کے درمیان فرق شماریاتی لحاظ سے اہم ہے۔

مثال کے طور پر، فرض کریں کہ ہمارے پاس ڈیٹا A اور B کے دو سیٹ ہیں۔ یہ ڈیٹا کسی خاص بیماری کے لیے دو مختلف علاج کی نمائندگی کر سکتا ہے، اور ہم یہ جاننا چاہتے ہیں کہ آیا ایک تھراپی دوسری سے زیادہ موثر ہے۔

عملی مثال

ہم کہتے ہیں کہ ہمارے پاس دو تھراپی گروپ ہیں:

– تھراپی A: [85, 90, 88, 75, 91]
- تھراپی بی: [80، 78، 95، 87، 92]

1. ڈیٹا کو ملانا اور چھانٹنا:
- جامع: [85، 90، 88، 75، 91، 80، 78، 95، 87، 92]
- ترتیب اور درجہ بندی: [75(1), 78(2), 80(3), 85(4), 87(5), 88(6), 90(7), 91(8), 92(9), 95(10)]

2. رینک کی تعداد کا حساب لگانا:
- تھراپی A کی درجہ بندی کی تعداد: 4 + 7 + 6 + 1 + 8 = 26
- تھراپی بی کی درجہ بندی کی تعداد: 3 + 2 + 10 + 5 + 9 = 29

3. یو ویلیو کا حساب لگانا:
\[
U_A = n_1 \times n_2 + \frac{n_1 \times (n_1 + 1)}{2} – R_A = 5 \times 5 + \frac{5 \times (5 + 1)}{2} – 26 = 25 + 15 – 26 = 14
\]
\[
U_B = n_1 \times n_2 + \frac{n_2 \times (n_2 + 1)}{2} – R_B = 5 \times 5 + \frac{5 \times (5 + 1)}{2} – 29 = 25 + 15 – 29 = 11
\]
ایک چھوٹی U قدر کا انتخاب کریں، یعنی U = 11۔

4. اہمیت کا تعین:
Mann-Whitney ڈسٹری بیوشن ٹیبل سے حاصل کردہ U-value کا موازنہ U-value سے کریں یا p-value کا حساب لگائیں۔ اگر U تنقیدی قدر سے کم ہے یا p- قدر الفا سے کم ہے (مثال کے طور پر، 0,05)، تو ہم کالعدم مفروضے کو مسترد کرتے ہیں اور یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ دونوں گروہوں کے درمیان ایک اہم فرق ہے۔

مان-وٹنی ٹیسٹ کے فوائد اور حدود

برتری:

1. غیر پیرامیٹرک: عام تقسیم کے مفروضے کی ضرورت نہیں ہے۔
2. لچک: اس وقت استعمال کیا جا سکتا ہے جب ڈیٹا آرڈینل پیمانے پر ہو یا اس میں آؤٹ لئیر ہوں۔
3. سادہ اور مؤثر: حساب لگانے اور تشریح کرنے میں آسان۔

کیٹرباٹاسن:

1. کارکردگی کا نقصان: عام تقسیم میں، t-ٹیسٹ زیادہ موثر ہوتا ہے۔
2. ایک ہی ڈسٹری بیوشن فارم کا مفروضہ: یہ ٹیسٹ دو گروپوں کے درمیان تقسیم کی ایک ہی شکل کو فرض کرتا ہے۔
3. چھوٹے نمونوں کے سائز پر پابند: بہت چھوٹے نمونوں پر غیر علامتی تقسیم کم درست ہو سکتی ہے۔

نتیجہ اخذ کرنا

Mann-Whitney ٹیسٹ ایک طاقتور اور لچکدار نان پیرامیٹرک ٹول ہے جو دو غیر جوڑی والے گروپوں کے درمیان فرق کی نشاندہی کرتا ہے۔ اس کے بنیادی اصولوں اور نفاذ کے مراحل کو سمجھ کر، ہم اس ٹیسٹ کو مختلف تحقیقی شعبوں میں مختلف ایپلی کیشنز میں استعمال کر سکتے ہیں۔ اگرچہ اس کی کچھ حدود ہیں، لیکن بعض حالات میں اس کے فوائد اسے شماریات میں ایک بہت ہی قیمتی طریقہ بناتے ہیں۔