پروجیکٹائل حرکت

پروجیکٹائل موشن کے بارے میں مضمون اور حل کے ساتھ نمونے کے مسائل

ابتدائی رفتار (v_o) اور ابتدائی رفتار کا جزو (v_ox اور وی_oy)

ایک ایسی چیز جس کی پیرابولک حرکت ہمیشہ ابتدائی رفتار رکھتی ہے۔ چونکہ پیرابولک حرکت افقی اور عمودی سمتوں میں حرکت کا ایک مجموعہ ہے، ابتدائی رفتار میں افقی اور عمودی اجزاء بھی ہوتے ہیں۔

اگر شے پیرابولی طور پر حرکت کرتی ہے جیسا کہ اعداد و شمار 1 اور 3 میں ہے تو افقی سمت میں ابتدائی رفتار (v _{ox ) اور عمودی سمت (v oy} ) میں ابتدائی رفتار کو مساوات کا استعمال کرتے ہوئے شمار کیا جاتا ہے:

v_ox =v_o کیونکہ θ

v_oy =v_o گناہ θ

اگر شے پیرابولک کو شکل 2 کے طور پر حرکت دیتی ہے تو v_o =v_ox (v_oy = 0)

رفتار (v_x اور وی_y) اور پوزیشن (x اور y)

ایک مخصوص وقت کے وقفے پر افقی اور عمودی سمتوں میں رفتار کا حساب مساوات کا استعمال کرتے ہوئے کیا جاتا ہے:

v_x =v_ox = مسلسل (یکساں لکیری حرکت)

v_y =v_oy + جی ٹی یا وی_y² =v_oy² + 2 GH (فری فال موشن)

ایک مخصوص وقت کے وقفے پر افقی (x) اور عمودی (y) سمتوں میں اشیاء کی پوزیشن کا حساب مساوات کا استعمال کرتے ہوئے کیا جاتا ہے:

x = v_ox t

y = v_oy t + 1⁄2 gt²

رفتار (v) اور پوزیشن (h) کا نتیجہ

ایک مخصوص وقت کے وقفے پر نتیجہ خیز رفتار کا حساب مساوات کا استعمال کرتے ہوئے کیا جاتا ہے:

ایک مخصوص وقت کے وقفے پر اشیاء کی سمت کا حساب مساوات کا استعمال کرتے ہوئے کیا جاتا ہے:

تبصرہ:

1. پیرابولک حرکت کے افقی جزو کو یکساں لکیری حرکت سمجھا جاتا ہے، لہذا vox = vx ہمیشہ مستقل رہتا ہے۔

2. پیرابولک حرکت کے عمودی جزو کو فری فال موشن کے طور پر دیکھا جاتا ہے، لہذا اگر شے پیرابولک حرکت کرتی ہے، جیسے کہ اعداد و شمار 1 اور 3، زیادہ سے زیادہ اونچائی پر آبجیکٹ کی رفتار کا عمودی جزو صفر ہے (v_y = 0)۔ اگر آپ زیادہ سے زیادہ اونچائی پر ماربل کو سیدھا اوپر پھینکتے ہیں، تو چیز ایک لمحے کے لیے آرام کرتی ہے (v_y = 0) نیچے کی طرف مڑنے سے پہلے۔ لہذا، پیرابولک کو زیادہ سے زیادہ اونچائی پر حرکت کرنے والی چیز کی رفتار = v_x =v_ox

3. اگر شے پیرابولک حرکت کرتی ہے جیسا کہ شکل 2 میں دکھایا گیا ہے، پیرابولک حرکت کے عمودی جزو کو فری فال موشن کے طور پر دیکھا جاتا ہے۔ اگر شے پیرابولک طور پر اعداد و شمار 1 اور 3 کے طور پر حرکت کرتی ہے تو پیرابولک حرکت کے عمودی جزو کو اوپر کی عمودی حرکت کے طور پر دیکھا جاتا ہے)۔

نمونے کے مسائل:

1. ایک گولی 20 میٹر فی سیکنڈ کی ابتدائی رفتار کے ساتھ افقی سمت میں چلائی جاتی ہے۔ اگر بندوق زمین سے 5 میٹر اوپر ہے، تو تعین کریں:

(a) ہوا میں وقت

(b) زیادہ سے زیادہ اونچائی

(c) افقی فاصلہ

(d) گولی کی رفتار جب وہ زمین سے ٹکراتی ہے۔

حل:

افقی سمت میں حرکت کا تجزیہ یکساں لکیری حرکت کی طرح کیا جاتا ہے، جبکہ عمودی سمت میں حرکت کا تجزیہ فری فال موشن کی طرح کیا جاتا ہے۔

معروف:

v_ox = 20 m/s، v_oy = 0 m/s، h = 5 m، g = 9.8 m/s²

a) ہوا میں وقت

حل یہ ہے کہ فری فال موشن میں ٹائم وقفہ (t) کا تعین کرنا۔

معروف: v_oy = 0 m/s، h = 5 m، g = 9.8 m/s²

مطلوب: t

ب) زیادہ سے زیادہ اونچائی

زیادہ سے زیادہ اونچائی = h = 5 میٹر۔

c) افقی فاصلہ (d)

حل یکساں لکیری حرکت پر فاصلے کا تعین کرنے جیسا ہے۔

معروف: v_ox = 20 m/s، t = 1 دوسری

مطلوب: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) جب گولی زمین سے ٹکراتی ہے تو رفتار

v_tx =v_ox = 20 میٹر فی سیکنڈ

v_ty =؟

سب سے پہلے، ہم عمودی سمت (vty) میں حتمی رفتار کا حساب لگاتے ہیں۔ حل فری فال موشن کی حتمی رفتار کا تعین کرنے جیسا ہے۔

معروف: v_oy = 0، g = 9.8 m/s², t = 1 s

مطلوب: v_ty

v_t =v_o + gt —> vo = 0

v_t = جی ٹی

v_t = (9.8 میٹر فی سیکنڈ²)(1 سیکنڈ)

v_t = 9.8 میٹر فی سیکنڈ

زمین سے ٹکرانے پر گولی کی رفتار:

گولی کی سمت:

کیونکہ v_tx مثبت x-axis (دائیں طرف) اور v کی سمت میں ہے۔_ty منفی y محور (نیچے کی طرف) کی سمت میں ہے،

جب گولی زمین سے ٹکراتی ہے تو اس کی سمت -26.1 ہوتی ہے۔^o مثبت ایکس محور تک (ذیل کی تصویر دیکھیں)۔

2. توپ نے 30 پر ایک گولی چلائی^o 60 میٹر فی سیکنڈ کی رفتار کے ساتھ افقی تک۔ تعین کریں:

(a) زیادہ سے زیادہ اونچائی

(b) زیادہ سے زیادہ اونچائی پر گولی کی رفتار

(c) ہوا میں وقت

(d) افقی فاصلہ

(e) گولی کی رفتار جب وہ زمین سے ٹکراتی ہے۔ فرض کریں کہ زمین ہموار ہے۔ 🙂

حل:

افقی سمت میں حرکت کا تجزیہ یکساں لکیری حرکت کی طرح کیا جاتا ہے، عمودی سمت میں حرکت کا تجزیہ اوپر کی طرف عمودی حرکت کی طرح کیا جاتا ہے۔

معروف: v_o = 60 m/s، تھیٹا = 30^o.

معلوم ڈیٹا کی بنیاد پر، ہم پہلے عمودی (v_oy) اور افقی (v_oxابتدائی رفتار کے اجزاء (v_o).

a) زیادہ سے زیادہ اونچائی (h)

اس کا حل اوپر کی طرف عمودی حرکت پر زیادہ سے زیادہ اونچائی کا تعین کرنے جیسا ہے۔

معروف:

v_ox =v_o کیونکہ θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v_oy =v_o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

a) زیادہ سے زیادہ اونچائی (h)

حل عمودی اوپر کی حرکت پر زیادہ سے زیادہ اونچائی کا تعین کرنے جیسا ہے۔

معروف:

v_oy = 30 m/s (یہ گولی کی ابتدائی رفتار ہے)

v_ty = 0 m/s (زیادہ سے زیادہ اونچائی پر، گولی کی عمودی رفتار = 0 m/s۔ یہ حتمی رفتار ہے۔)

g = – 9.8 m/s²

مطلوب: h

v_t² =v_o² + 2 جی ایچ

0² 30 =² + 2 (-9.8) h

0 = 900 - 19.6 گھنٹے

900 = 19.6 ح

h = 900 / 19.6

h = 45.9 میٹر

گولی سے حاصل کی گئی زیادہ سے زیادہ اونچائی = 45.9 میٹر۔

ب) زیادہ سے زیادہ اونچائی پر رفتار

زیادہ سے زیادہ اونچائی پر، عمودی سمت میں رفتار = 0 m/s۔ زیادہ سے زیادہ اونچائی پر، افقی سمت میں صرف رفتار ہوتی ہے۔ زیادہ سے زیادہ اونچائی پر افقی سمت میں رفتار افقی سمت میں ابتدائی رفتار کے برابر ہے، جو کہ 52.2 میٹر فی سیکنڈ ہے۔ افقی سمت میں رفتار کی سمت ہمیشہ مستقل رہتی ہے، یعنی مثبت ایکس محور کی سمت (اگر کسی چیز کی حرکت اوپر دیے گئے خاکے میں بیان کی گئی ہے)

c) ہوا میں وقت

حل عمودی اوپر کی حرکت کی بحث میں وقت کے وقفہ (t) کا تعین کرنے جیسا ہے۔

معروف:

v_oy = 30 m/s (یہ عمودی سمت میں گولی کی ابتدائی رفتار ہے)

g = – 9.8 m/s²

h = 0 m (جب گولی زمین پر واپس آتی ہے تو گولی کا عمودی سمت میں نقل مکانی = 0 m)

مطلوب: t

h = v _o t + ½ gt ²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/s²) ٹی²

0 = (30) t – 4.9 t²

(30) t = 4.9 t²

30 = 4.9 ٹی

t = 30 / 4.9

t = 6.12 سیکنڈ

ہوا میں وقت = 6.12 سیکنڈ

d) افقی فاصلہ (d)

حل یکساں لکیری حرکت پر فاصلے (d) کا تعین کرنے جیسا ہے۔

معروف:

v_ox = 52.2 میٹر فی سیکنڈ

t = 6.12 سیکنڈ

مطلوب: d

d = vt = (52.2 m/s) (6.12 سیکنڈ) = 319.5 m

e) گولی زمین سے ٹکرانے پر رفتار

v_tx =v_ox = 52.2 میٹر فی سیکنڈ

v_ty =؟

سب سے پہلے، ہم عمودی سمت میں حتمی رفتار کا حساب لگاتے ہیں (v_ty)۔ اس کا حل عمودی اوپر کی حرکت پر حتمی رفتار کا تعین کرنا ہے۔

مطلوب: v_oy = 30 m/s، g = -9.8 m/s²، t = 6.12 سیکنڈ

مطلوب: v_ty

v _ty = v _oy + gt

v_ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v_ty = (30) - (60)

v_ty = -30 m/s

ایک منفی نشان اشارہ کرتا ہے کہ آخری رفتار کی سمت نیچے کی طرف ہے۔ نوٹ کریں کہ عمودی سمت میں ابتدائی رفتار عمودی سمت میں آخری رفتار کے برابر ہے۔

جب گولی زمین سے ٹکراتی ہے تو اس کی رفتار:

گولی کی سمت:

چونکہ وی_tx مثبت x-محور (دائیں طرف) کی سمت میں ہے اور vty منفی y-محور (نیچے کی طرف) کی سمت میں ہے،

جب گولی زمین سے ٹکراتی ہے تو اس کی رفتار کی سمت -30 ہوتی ہے۔^o مثبت ایکس محور کے بارے میں (ذیل میں تصویر دیکھیں)۔

3. ایک گیند 50 میٹر اونچی عمارت کے کنارے سے 10 میٹر فی سیکنڈ کی ابتدائی رفتار کے ساتھ پھینکی جاتی ہے۔ اگر گیند افقی کے بارے میں 30o پر پھینکی جاتی ہے، تو تعین کریں:

(a) وقت کا وقفہ جب گیند زمین تک پہنچتی ہے۔

(b) گیند کی رفتار جب وہ زمین سے ٹکراتی ہے۔

(c) افقی فاصلہ جس تک گیند پہنچ سکتی ہے عمارت کے کنارے سے ماپا جاتا ہے۔

(d) گیند کے ذریعہ زیادہ سے زیادہ اونچائی تک پہنچ گئی۔

حل:

سب سے پہلے، ہم عمودی جزو کا حساب لگاتے ہیں (v_oy) اور افقی جزو (v_oxابتدائی رفتار (v_o).

v_ox =v_o کیونکہ 30^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v_oy =v_o گناہ 30^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) وقت کا وقفہ جب گیند زمین تک پہنچتی ہے۔

حل عمودی اوپر کی حرکت میں وقت کے وقفہ (t) کا تعین کرنے جیسا ہے۔ جس ویکٹر کی سمت اوپر کی طرف ہے اس کی شدت کو مثبت ہونے کے لیے منتخب کیا جاتا ہے، جس ویکٹر کی سمت نیچے کی طرف ہے اس کی شدت کو منفی ہونے کے لیے منتخب کیا جاتا ہے۔ گیند کی پوزیشن جہاں اسے پھینکا جاتا ہے اسے ایک حوالہ نقطہ کے طور پر منتخب کیا جاتا ہے۔ h منفی ہے کیونکہ زمینی سطح حوالہ نقطہ سے نیچے ہے، g منفی ہے کیونکہ کشش ثقل کی سرعت کی سمت نیچے کی طرف ہے۔

معروف:

v_oy = 5 m/s، h = – 5 m، g = – 9.8 m/s²

مطلوب: t

h = v _o t + ½ gt ²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) t²

-5 = 5 t – 4.9 t ²

-4.9 t ² + 5 t + 5 = 0

چوکور فارمولہ استعمال کریں:

ہوا میں وقت = وقت کا وقفہ جب سے گیند کو زمین تک پہنچنے کے لیے پھینکا گیا تھا = 1.64 سیکنڈ۔

b) گیند کی رفتار جب وہ زمین کی سطح سے ٹکراتی ہے۔

v_tx =v_ox =v_x = 8.7 میٹر فی سیکنڈ

v_ty =؟

سب سے پہلے، ہم عمودی سمت میں حتمی رفتار کا حساب لگاتے ہیں (v_ty)۔ حل عمودی اوپر کی حرکت پر حتمی رفتار کا تعین کرنے جیسا ہے۔

معروف: v_oy = 5 m/s، g = -9.8 m/s²، t = 1.64 سیکنڈ

مطلوب: v_ty

v _ty = v _oy + gt

v_ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v_ty = 5 - 16

v_ty = -11 m/s

منفی نشان اشارہ کرتا ہے کہ آخری رفتار کی سمت نیچے کی طرف ہے۔

جب گولی زمین سے ٹکراتی ہے تو اس کی رفتار:

گولی کی رفتار کی سمت = گولی کی حرکت کی سمت جب وہ زمین سے ٹکراتی ہے:

جب گولی زمین سے ٹکراتی ہے تو اس کی رفتار:

کیونکہ vtx مثبت x-axis (دائیں طرف) کی سمت میں ہے اور vty منفی y-محور (نیچے کی طرف) کی سمت میں ہے،

جب گولی زمین سے ٹکراتی ہے تو اس کی سمت مثبت x-axis کے بارے میں -52o ہوتی ہے (نیچے کی تصویر دیکھیں)۔

c) افقی فاصلہ جس تک گیند پہنچ سکتی ہے عمارت کے کنارے سے ماپا جاتا ہے۔

حل یکساں لکیری حرکت پر طے شدہ فاصلہ (d) کا تعین کرنے جیسا ہے۔

معروف: t = 1.64 سیکنڈ، v_x = 8.7 میٹر فی سیکنڈ

مطلوب: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) گیند کی زیادہ سے زیادہ اونچائی

معروف: v_oy = 5 m/s، v_ty = 0 m/s (زیادہ سے زیادہ اونچائی پر رفتار کا عمودی جزو = 0 m/s)، g = -9.8 m/s².

مطلوب: h

v_ty² =v_oy² + 2 جی ایچ

0 m/s = (5 m/s)² + 2 (-9.8 میٹر فی سیکنڈ²)(h)

0 m/s = 25 (m/s)² + (-19.6 m/s²)(h)

25 (m/s)² = -19.6 m/s 2 (h)

h = 25 (m/s)² : -19.6 میٹر فی سیکنڈ² = 1.3 میٹر

گیند کے ذریعے پہنچنے والی زیادہ سے زیادہ اونچائی = عمارت کی چوٹی سے 1.3 میٹر = 1.3 میٹر + 50 میٹر = 51.3 میٹر زمین کی سطح سے اوپر۔