پروجیکٹائل حرکت

پروجیکٹائل موشن کے بارے میں مضمون اور حل کے ساتھ نمونے کے مسائل

ابتدائی رفتار (v_o) اور ابتدائی رفتار کا جزو (v_ox اور وی_oy)

ایک ایسی چیز جس کی پیرابولک حرکت ہمیشہ ابتدائی رفتار رکھتی ہے۔ چونکہ پیرابولک حرکت افقی اور عمودی سمتوں میں حرکت کا ایک مجموعہ ہے، ابتدائی رفتار میں افقی اور عمودی اجزاء بھی ہوتے ہیں۔

اگر شے پیرابولی طور پر حرکت کرتی ہے جیسا کہ اعداد و شمار 1 اور 3 میں ہے تو افقی سمت میں ابتدائی رفتار (v _{ox ) اور عمودی سمت (v oy} ) میں ابتدائی رفتار کو مساوات کا استعمال کرتے ہوئے شمار کیا جاتا ہے:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o گناہ θ

اگر شے پیرابولک حرکت پذیر شکل 2 کے طور پر ہے تو v _o = v _ox (v _oy = 0)

رفتار (v_x اور وی_y) اور پوزیشن (x اور y)

ایک مخصوص وقت کے وقفے پر افقی اور عمودی سمتوں میں رفتار کا حساب مساوات کا استعمال کرتے ہوئے کیا جاتا ہے:

v _x = v _آکس = مستقل ( یکساں لکیری حرکت )

v _y = v _oy + gt یا v _y ² = v _oy ² + 2 gh (فری فال موشن)

ایک مخصوص وقت کے وقفے پر افقی (x) اور عمودی (y) سمتوں میں اشیاء کی پوزیشن کا حساب مساوات کا استعمال کرتے ہوئے کیا جاتا ہے:

x = v _بیل ٹی

y = v _oy t + 1⁄2 gt ²

رفتار (v) اور پوزیشن (h) کا نتیجہ

ایک مخصوص وقت کے وقفے پر نتیجہ خیز رفتار کا حساب مساوات کا استعمال کرتے ہوئے کیا جاتا ہے:

ایک مخصوص وقت کے وقفے پر اشیاء کی سمت کا حساب مساوات کا استعمال کرتے ہوئے کیا جاتا ہے:

تبصرہ:

1. پیرابولک حرکت کے افقی جزو کو یکساں لکیری حرکت سمجھا جاتا ہے، لہذا vox = vx ہمیشہ مستقل رہتا ہے۔

2. پیرابولک حرکت کے عمودی جزو کو فری فال موشن کے طور پر دیکھا جاتا ہے، لہذا اگر شے پیرابولک حرکت کرتی ہے، جیسے کہ اعداد و شمار 1 اور 3، زیادہ سے زیادہ اونچائی پر آبجیکٹ کی رفتار کا عمودی جزو صفر ہے (v _y = 0)۔ اگر آپ ماربل کو زیادہ سے زیادہ اونچائی پر سیدھا اوپر کی طرف پھینکتے ہیں، تو نیچے کی طرف مڑنے سے پہلے چیز ایک لمحے (v _y = 0) کے لیے آرام کرتی ہے۔ لہذا، زیادہ سے زیادہ اونچائی پر پیرابولک کو حرکت دینے والی شے کی رفتار = v _x = v _آکس

3. اگر شے پیرابولک حرکت کرتی ہے جیسا کہ شکل 2 میں دکھایا گیا ہے، پیرابولک حرکت کے عمودی جزو کو فری فال موشن کے طور پر دیکھا جاتا ہے۔ اگر شے پیرابولک طور پر اعداد و شمار 1 اور 3 کے طور پر حرکت کرتی ہے تو پیرابولک حرکت کے عمودی جزو کو اوپر کی عمودی حرکت کے طور پر دیکھا جاتا ہے)۔

نمونے کے مسائل:

1. ایک گولی 20 میٹر فی سیکنڈ کی ابتدائی رفتار کے ساتھ افقی سمت میں چلائی جاتی ہے۔ اگر بندوق زمین سے 5 میٹر اوپر ہے، تو تعین کریں:

(a) ہوا میں وقت

(b) زیادہ سے زیادہ اونچائی

(c) افقی فاصلہ

(d) گولی کی رفتار جب وہ زمین سے ٹکراتی ہے۔

حل:

افقی سمت میں حرکت کا تجزیہ یکساں لکیری حرکت کی طرح کیا جاتا ہے، جبکہ عمودی سمت میں حرکت کا تجزیہ فری فال موشن کی طرح کیا جاتا ہے۔

معروف:

v _بیل = 20 m/s، v _oy = 0 m/s، h = 5 m، g = 9.8 m/s ²

a) ہوا میں وقت

حل یہ ہے کہ فری فال موشن میں ٹائم وقفہ (t) کا تعین کرنا۔

معلوم: v _oy = 0 m/s، h = 5 m، g = 9.8 m/s ²

مطلوب: t

ب) زیادہ سے زیادہ اونچائی

زیادہ سے زیادہ اونچائی = h = 5 میٹر۔

c) افقی فاصلہ (d)

حل یکساں لکیری حرکت پر فاصلے کا تعین کرنے جیسا ہے۔

معلوم: v _ox = 20 m/s، t = 1 سیکنڈ

مطلوب: ڈی

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) جب گولی زمین سے ٹکراتی ہے تو رفتار

v _tx = v _بیل = 20 m/s

v _ty = ?

سب سے پہلے، ہم عمودی سمت (vty) میں حتمی رفتار کا حساب لگاتے ہیں۔ حل فری فال موشن کی حتمی رفتار کا تعین کرنے جیسا ہے۔

معلوم: v _oy = 0، g = 9.8 m/s ² , t = 1 s

مطلوب: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 m/s ² )(1 s)

v _t = 9.8 m/s

زمین سے ٹکرانے پر گولی کی رفتار:

گولی کی سمت:

کیونکہ v _tx مثبت x محور (دائیں طرف) کی سمت میں ہے اور v _ty منفی y محور (نیچے کی طرف) کی سمت میں ہے،

جب گولی زمین سے ٹکراتی ہے تو اس کی سمت مثبت ایکس محور کی طرف -26.1 ^{o ہوتی ہے (نیچے تصویر دیکھیں)۔}

2. توپ نے 60 میٹر/سیکنڈ کی رفتار سے افقی پر 30 ^او پر گولی چلائی ۔ تعین کریں:

(a) زیادہ سے زیادہ اونچائی

(b) زیادہ سے زیادہ اونچائی پر گولی کی رفتار

(c) ہوا میں وقت

(d) افقی فاصلہ

(e) گولی کی رفتار جب وہ زمین سے ٹکراتی ہے۔ فرض کریں کہ زمین ہموار ہے۔ 🙂

حل:

افقی سمت میں حرکت کا تجزیہ یکساں لکیری حرکت کی طرح کیا جاتا ہے، عمودی سمت میں حرکت کا تجزیہ اوپر کی طرف عمودی حرکت کی طرح کیا جاتا ہے۔

معلوم: v _o = 60 m/s، تھیٹا = 30 ^o ۔

معلوم ڈیٹا کی بنیاد پر، ہم سب سے پہلے ابتدائی رفتار (v _o ) کے عمودی (v _oy ) اور افقی (v _{ox ) اجزاء کا حساب لگاتے ہیں۔}

a) زیادہ سے زیادہ اونچائی (h)

اس کا حل اوپر کی طرف عمودی حرکت پر زیادہ سے زیادہ اونچائی کا تعین کرنے جیسا ہے۔

معروف:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

a) زیادہ سے زیادہ اونچائی (h)

حل عمودی اوپر کی حرکت پر زیادہ سے زیادہ اونچائی کا تعین کرنے جیسا ہے۔

معروف:

v _oy = 30 m/s (یہ گولی کی ابتدائی رفتار ہے)

v _ty = 0 m/s (زیادہ سے زیادہ اونچائی پر، گولی کی عمودی رفتار = 0 m/s۔ یہ حتمی رفتار ہے۔)

g = – 9.8 m/s ²

مطلوب: h

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) h

0 = 900 - 19.6 h

900 = 19.6 ح

h = 900 / 19.6

h = 45.9 میٹر

گولی سے حاصل کی گئی زیادہ سے زیادہ اونچائی = 45.9 میٹر۔

ب) زیادہ سے زیادہ اونچائی پر رفتار

زیادہ سے زیادہ اونچائی پر، عمودی سمت میں رفتار = 0 m/s۔ زیادہ سے زیادہ اونچائی پر، افقی سمت میں صرف رفتار ہوتی ہے۔ زیادہ سے زیادہ اونچائی پر افقی سمت میں رفتار افقی سمت میں ابتدائی رفتار کے برابر ہے، جو کہ 52.2 میٹر فی سیکنڈ ہے۔ افقی سمت میں رفتار کی سمت ہمیشہ مستقل رہتی ہے، یعنی مثبت ایکس محور کی سمت (اگر کسی چیز کی حرکت اوپر دیے گئے خاکے میں بیان کی گئی ہے)

c) ہوا میں وقت

حل عمودی اوپر کی حرکت کی بحث میں وقت کے وقفہ (t) کا تعین کرنے جیسا ہے۔

معروف:

v _oy = 30 m/s (یہ عمودی سمت میں گولی کی ابتدائی رفتار ہے)

g = – 9.8 m/s ²

h = 0 m (جب گولی زمین پر واپس آتی ہے تو گولی کا عمودی سمت میں نقل مکانی = 0 m)

مطلوب: t

h = v _o t + ½ gt ²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/s ² ) t ²

0 = (30) t – 4.9 t ²

(30) t = 4.9 t ²

30 = 4.9 ٹی

t = 30 / 4.9

t = 6.12 سیکنڈ

ہوا میں وقت = 6.12 سیکنڈ

d) افقی فاصلہ (d)

حل یکساں لکیری حرکت پر فاصلے (d) کا تعین کرنے جیسا ہے۔

معروف:

v _بیل = 52.2 میٹر فی سیکنڈ

t = 6.12 سیکنڈ

مطلوب: ڈی

d = vt = (52.2 m/s) (6.12 سیکنڈ) = 319.5 m

e) گولی زمین سے ٹکرانے پر رفتار

v _tx = v _بیل = 52.2 m/s

v _ty = ?

سب سے پہلے، ہم عمودی سمت (v _ty ) میں حتمی رفتار کا حساب لگاتے ہیں۔ اس کا حل عمودی اوپر کی حرکت پر حتمی رفتار کا تعین کرنا ہے۔

مطلوبہ: v _oy = 30 m/s، g = -9.8 m/s ² , t = 6.12 سیکنڈ

مطلوب: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

ایک منفی نشان اشارہ کرتا ہے کہ آخری رفتار کی سمت نیچے کی طرف ہے۔ نوٹ کریں کہ عمودی سمت میں ابتدائی رفتار عمودی سمت میں آخری رفتار کے برابر ہے۔

جب گولی زمین سے ٹکراتی ہے تو اس کی رفتار:

گولی کی سمت:

چونکہ v _tx مثبت x محور (دائیں طرف) کی سمت میں ہے اور vty منفی y محور (نیچے کی طرف) کی سمت میں ہے،

جب گولی زمین سے ٹکراتی ہے تو اس کی رفتار کی سمت مثبت ایکس محور کے بارے میں -30 ^{o ہوتی ہے (نیچے کی تصویر دیکھیں)۔}

3. ایک گیند 50 میٹر اونچی عمارت کے کنارے سے 10 میٹر فی سیکنڈ کی ابتدائی رفتار کے ساتھ پھینکی جاتی ہے۔ اگر گیند افقی کے بارے میں 30o پر پھینکی جاتی ہے، تو تعین کریں:

(a) وقت کا وقفہ جب گیند زمین تک پہنچتی ہے۔

(b) گیند کی رفتار جب وہ زمین سے ٹکراتی ہے۔

(c) افقی فاصلہ جس تک گیند پہنچ سکتی ہے عمارت کے کنارے سے ماپا جاتا ہے۔

(d) گیند کے ذریعہ زیادہ سے زیادہ اونچائی تک پہنچ گئی۔

حل:

سب سے پہلے، ہم ابتدائی رفتار (v _o ) کے عمودی جزو (v _oy ) اور افقی جزو (v _{ox ) کا حساب لگاتے ہیں۔}

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) وقت کا وقفہ جب گیند زمین تک پہنچتی ہے۔

حل عمودی اوپر کی حرکت میں وقت کے وقفہ (t) کا تعین کرنے جیسا ہے۔ جس ویکٹر کی سمت اوپر کی طرف ہے اس کی شدت کو مثبت ہونے کے لیے منتخب کیا جاتا ہے، جس ویکٹر کی سمت نیچے کی طرف ہے اس کی شدت کو منفی ہونے کے لیے منتخب کیا جاتا ہے۔ گیند کی پوزیشن جہاں اسے پھینکا جاتا ہے اسے ایک حوالہ نقطہ کے طور پر منتخب کیا جاتا ہے۔ h منفی ہے کیونکہ زمینی سطح حوالہ نقطہ سے نیچے ہے، g منفی ہے کیونکہ کشش ثقل کی سرعت کی سمت نیچے کی طرف ہے۔

معروف:

v _oy = 5 m/s، h = – 5 m، g = – 9.8 m/s ²

مطلوب: t

h = v _o t + ½ gt ²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) t ²

-5 = 5 t – 4.9 t ²

-4.9 t ² + 5 t + 5 = 0

چوکور فارمولہ استعمال کریں:

ہوا میں وقت = وقت کا وقفہ جب سے گیند کو زمین تک پہنچنے کے لیے پھینکا گیا تھا = 1.64 سیکنڈ۔

b) گیند کی رفتار جب وہ زمین کی سطح سے ٹکراتی ہے۔

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 m/s

v _ty = ?

سب سے پہلے، ہم عمودی سمت (v _ty ) میں حتمی رفتار کا حساب لگاتے ہیں۔ حل عمودی اوپر کی حرکت پر حتمی رفتار کا تعین کرنے جیسا ہے۔

معلوم: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s ² , t = 1.64 سیکنڈ

مطلوب: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

منفی نشان اشارہ کرتا ہے کہ آخری رفتار کی سمت نیچے کی طرف ہے۔

جب گولی زمین سے ٹکراتی ہے تو اس کی رفتار:

گولی کی رفتار کی سمت = گولی کی حرکت کی سمت جب وہ زمین سے ٹکراتی ہے:

جب گولی زمین سے ٹکراتی ہے تو اس کی رفتار:

کیونکہ vtx مثبت x-axis (دائیں طرف) کی سمت میں ہے اور vty منفی y-محور (نیچے کی طرف) کی سمت میں ہے،

جب گولی زمین سے ٹکراتی ہے تو اس کی سمت مثبت x-axis کے بارے میں -52o ہوتی ہے (نیچے کی تصویر دیکھیں)۔

c) افقی فاصلہ جس تک گیند پہنچ سکتی ہے عمارت کے کنارے سے ماپا جاتا ہے۔

حل یکساں لکیری حرکت پر طے شدہ فاصلہ (d) کا تعین کرنے جیسا ہے۔

معلوم: t = 1.64 سیکنڈ، v _x = 8.7 m/s

مطلوب: ڈی

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) گیند کی زیادہ سے زیادہ اونچائی

معلوم: v _oy = 5 m/s، v _ty = 0 m/s ( زیادہ سے زیادہ اونچائی پر رفتار کا عمودی جزو = 0 m/s)، g = -9.8 m/s ² ۔

مطلوب: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ² + 2(-9.8 m/s ² )(h)

0 m/s = 25 (m/s) ² + (-19.6 m/s ² )(h)

25 (m/s) ² = -19.6 m/s 2 (h)

h = 25 (m/s) ² : -19.6 m/s ² = 1.3 میٹر

گیند کے ذریعے پہنچنے والی زیادہ سے زیادہ اونچائی = عمارت کی چوٹی سے 1.3 میٹر = 1.3 میٹر + 50 میٹر = 51.3 میٹر زمین کی سطح سے اوپر۔