ذرات کے لیے جڑتا کا لمحہ – مسائل اور حل

ذرات کے لیے جڑتا کا لمحہ – مسائل اور حل

1. ایک چھڑی سے جڑی ہوئی دو گیندیں، جیسا کہ نیچے دی گئی تصویر میں دکھایا گیا ہے۔ چھڑی کے بڑے پیمانے پر نظر انداز کریں . گیند P کا ماس 600 گرام اور گیند Q کا ماس 400 گرام ہے۔ AB کے بارے میں نظام کی جڑت کا لمحہ کیا ہے ؟

جانا جاتا ہے:

گردش کا محور AB ہے۔

m _p = 600 گرام = 0.6 kg، m _q = 400 گرام = 0.4 kg

r _p = 20 cm = 0.2 m، r _q = 50 cm = 0.5 m

مطلوب: نظام کی جڑتا کا لمحہ

حل:

I = m _p r _p ² + m _q r _q ²

I = (0.6 کلوگرام)(0.2 میٹر) ² + (0.4 کلوگرام) (0.5 میٹر) ²

I = (0.6 kg)(0.04 m ² ) + (0.4 kg)(0.25 m ² )

I = 0.024 kg m ² + 0.1 kg m ²

I = 0.124 kg m ²

2. AB کی چھڑی 2-kg کے بڑے پیمانے پر پوائنٹ A کے گرد گھومتی ہے، چھڑی کی جڑتا کا لمحہ 8 kg m ² ہے ۔ اگر پوائنٹ O (AO = OB) کے بارے میں گھمایا جائے تو، چھڑی کی جڑتا کا لمحہ کیا ہے۔

جانا جاتا ہے:

چھڑی کا وزن AB (m) = 2 کلوگرام

اگر نقطہ A کے گرد گھمایا جائے تاکہ گردش کا رداس (r) = AB = r کی لمبائی ہو تو جڑتا کا لمحہ (I) = 8 kg m ²

مطلوبہ: اگر نقطہ O کے گرد گھمایا جائے تاکہ گردش کا رداس (r) = AO کی لمبائی = OB کی لمبائی = 1/2 r تو چھڑی کی جڑتا کا لمحہ کیا ہے۔

حل:

میں = مسٹر ²

8 kg m ² = (2 kg) r ²

8 میٹر ² = (2) ر ²

r ² = 8 میٹر ² / 2

r ² = 4 میٹر ²

r = 2 میٹر

اگر نقطہ O کے بارے میں گھمایا جائے تو ½ r = 1 میٹر، تو جڑتا کا لمحہ:

I = mr ² = (2 kg)(1 m ) ² = (2 kg) (1 m ² ) = 2 kg m ²

3. ایک چھڑی سے جڑی ہوئی دو گیندیں جیسا کہ ذیل کی تصویر میں دکھایا گیا ہے۔ چھڑی کے بڑے پیمانے پر نظر انداز کریں۔ نظام کی جڑت کا لمحہ کیا ہے؟

جانا جاتا ہے:

گیند A (m_A) = 200 گرام = 0.2 کلوگرام

گیند کا ماس B (m _B ) = 400 گرام = 0.4 کلوگرام

گیند A اور گردش کے محور کے درمیان فاصلہ (r _A ) = 0

گیند B اور گردش کے محور کے درمیان فاصلہ ( r _B ) = 25 سینٹی میٹر = 0.25 میٹر

مطلوب: نظام کی جڑتا کا لمحہ

حل:

گیند A کی جڑتا کا لمحہ:

I _A = (m _A ) (r _A ² ) = (0.2)(0) ² = 0

گیند B کی جڑتا کا لمحہ:

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 kg m ²

نظام کی جڑت کا لمحہ:

I = I _A + I _B = 0 + 0.025 = 0.025 kg m ² = 25 x 10 ^-3 kg m ²

4. مختلف ماسز کے ساتھ چار ذرات، نیچے کی شکل میں دکھائے گئے ہیں۔ افقی لائن P کے بارے میں نظام کی جڑتا کے لمحے کا تعین کریں۔

حل

گردش کا محور افقی لائن P ہے۔

جانا جاتا ہے:

ذرہ کی کمیت A (m _A ) = m

ذرہ B کی کمیت (m _B ) = 2m

ذرہ کی کمیت C (m _C ) = 3m

ذرات کا گزر D (m _D ) = 4m

ذرہ A اور گردش کے محور کے درمیان فاصلہ (r _A ) = b

ذرہ B اور گردش کے محور کے درمیان فاصلہ (r _B ) = b

ذرہ C اور گردش کے محور کے درمیان فاصلہ (r _C ) = 2b

ذرہ D اور گردش کے محور کے درمیان فاصلہ (r _D ) = 2b

مطلوب: افقی لائن P کے بارے میں نظام کی جڑتا کا لمحہ

حل:

I = m _A r _A ² + m _B r _B ² + m _C r _C ² + m _D r _D ²

I = (m)(b) ² + (2m)(b) ² + (3m)(2b) ² + (4m)(2b) ²

I = mb ² + 2 mb ² + (3m)(4b ² ) + (4m)(4b ² )

I = ایم بی ² + 2 ایم بی ² + 12 ایم بی ² + 16 ایم بی ²

I = 31 ایم بی ²

5. ایک چھڑی سے جڑے چار ذرات۔ چھڑی کے بڑے پیمانے پر نظر انداز کریں. ذرات m ₁ اور m ₂ کے ذریعے گردش کے محور کے بارے میں جڑتا کے لمحے کا تعین کریں ، جیسا کہ ذیل کی تصویر میں دکھایا گیا ہے۔

معلوم ہوا

ذرہ کا ماس 1 (m₁) = 1/4 کلوگرام

ذرہ کا حجم 2 (m ₂ ) = 1/2 کلوگرام

ذرہ کا حجم 3 (m ₃ ) = 1/4 کلوگرام

ذرہ کا حجم 4 (m ₄ ) = 1/4 کلوگرام

ذرہ 1 اور گردش کے محور کے درمیان فاصلہ (r ₁ ) = 0

ذرہ 2 اور گردش کے محور کے درمیان فاصلہ (r ₂ ) = 0

ذرہ 3 اور گردش کے محور کے درمیان فاصلہ (r ₃ ) = 10 سینٹی میٹر = 10/100 m = 1/10 m

ذرہ 4 اور گردش کے محور کے درمیان فاصلہ (r ₄ ) = 10 سینٹی میٹر = 10/100 m = 1/10 m

مطلوب: جڑتا کا لمحہ

حل:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ² + m ₃ r ₃ ² + m ₄ r ₄ ²

I = (1/4)(0) ² + (1/2)(0) ² + (1/4)(1/10) ² + (1/4)(1/10) ²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

I = 1/400 + 1/400

I = 2/400

I = 1/200 kg.m ²

1. ایک ذرہ کے لئے جڑتا کا لمحہ کیا ہے؟
   • کا جواب: ماس کے ایک ذرہ کے لیے $m$ ایک فاصلے پر $r$ گردش کے محور سے، اس کی جڑت کا لمحہ $I$ کی طرف سے دیا جاتا ہے I=m×r².
2. جڑتا کے لمحے کو اکثر بڑے پیمانے پر "گھومنے والا اینالاگ" کیوں کہا جاتا ہے؟
   • کا جواب: جس طرح ماس کسی چیز کی اس کی ٹرانسلشنل حرکت میں تبدیلیوں کے خلاف مزاحمت کا ایک پیمانہ ہے (نیوٹن کے دوسرے قانون کی وجہ سے)، جڑتا کا لمحہ اس کی گردشی حرکت میں تبدیلیوں کے خلاف کسی چیز کی مزاحمت کا پیمانہ ہے۔
3. ایک ذرہ کی گردش کے محور سے فاصلے کو تبدیل کرنا اس کی جڑتا کے لمحے کو کیسے متاثر کرتا ہے؟
   • کا جواب: جڑتا کا لمحہ گردش کے محور سے فاصلے کے مربع کے متناسب ہے۔ اگر آپ فاصلے کو دوگنا کرتے ہیں تو، جڑتا کا لمحہ چار کے عنصر سے بڑھ جائے گا۔
4. فاصلے کا مربع کیوں ہے (r²) فارمولے میں محض فاصلے کے بجائے جڑتا کے لمحے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے؟
   • کا جواب: گردش میں حرکی توانائی کے کام کرنے کے طریقے کی وجہ سے فاصلے کا مربع استعمال ہوتا ہے۔ گردشی حرکت میں، کسی شے کا ہر ذرہ اس کی کمیت اور محور کے مربع سے فاصلہ دونوں کی بنیاد پر گردشی حرکی توانائی میں حصہ ڈالتا ہے۔
5. اگر محور سے فاصلہ مستقل رکھتے ہوئے اس کی کمیت تین گنا بڑھ جائے تو کسی ذرے کی جڑت کا لمحہ کیسے بدلتا ہے؟
   • کا جواب: اگر کمیت کو تین گنا کر دیا جائے اور فاصلہ مستقل رکھا جائے تو جڑت کا لمحہ بھی تین گنا ہو جائے گا کیونکہ یہ کمیت کے براہ راست متناسب ہے۔
6. کیا ایک ذرہ صفر کا ایک لمحہ جڑ سکتا ہے؟ اگر ہے تو کس حالت میں؟
   • کا جواب: جی ہاں، ایک ذرہ میں صفر کی جڑت کا ایک لمحہ ہوگا اگر یہ براہ راست گردش کے محور پر واقع ہے، اس کا فاصلہ بناتا ہے۔ $r$ صفر کے برابر محور سے۔
7. ایک ہی کمیت اور جسامت والی مختلف اشیاء مختلف محوروں کے گرد گھومتے وقت جڑت کے مختلف لمحات کیوں رکھتی ہیں؟
   • کا جواب: گردش کے محور کے بارے میں کمیت کی تقسیم جڑتا کے لمحے کا تعین کرتی ہے۔ یہاں تک کہ اگر دو اشیاء کا کمیت اور سائز ایک ہی ہے، تو گردش کے محور کے حوالے سے ان کی بڑے پیمانے پر تقسیم مختلف ہو سکتی ہے، جس کی وجہ سے جڑت کے مختلف لمحات ہوتے ہیں۔
8. کیا جڑتا کا لمحہ اسکیلر یا ویکٹر کی مقدار ہے؟
   • کا جواب: جڑتا کا لمحہ ایک اسکیلر مقدار ہے۔ تاہم، پیچیدہ شکلوں اور گردش کے متعدد محوروں والے سخت جسموں کے لیے، اس کی نمائندگی ٹینسر سے کی جاتی ہے۔
9. اگر دو ذرات، ہر ایک بڑے پیمانے پر $m$، فاصلے پر واقع ہیں۔ r_1​ اور r₂​ گردش کے محور سے، جڑتا کا مشترکہ لمحہ کیا ہے؟
   • کا جواب: جڑتا کا لمحہ الگ الگ ذرات کے لیے اضافی ہے۔ اس طرح، جڑتا کا مشترکہ لمحہ I=m×r₁^{2 ​}+ m×r₂^2​.

10. جڑتا کا لمحہ کونیی رفتار کے تحفظ سے کیسے متعلق ہے؟

    • کا جواب: کونیی رفتار $L$ جڑتا کے لمحے کی پیداوار ہے۔ $I$ اور کونیی رفتار $\omega$، مساوات کی طرف سے نمائندگی $L=I\times \omega$. اگر کسی نظام پر کوئی بیرونی ٹارک کام نہیں کرتا ہے، تو کونیی رفتار مستقل رہے گی۔ اس کا مطلب ہے کہ اگر جڑتا کا لمحہ بدل جاتا ہے (جیسا کہ ایک فگر اسکیٹر اپنے بازوؤں میں کھینچتا ہے)، کونیی رفتار کو پروڈکٹ کو مستقل رکھنے کے لیے ایڈجسٹ کرنا چاہیے۔