لکیری مساوات اور عدم مساوات کے نظام پر بحث کرنے والے سوالات کی مثال
لکیری مساوات اور عدم مساوات کے نظام ریاضی کا ایک اہم موضوع ہے جس کا مختلف شعبوں جیسے معاشیات، سائنس اور انجینئرنگ میں وسیع پیمانے پر اطلاق ہوتا ہے۔ اس مضمون میں، ہم لکیری مساوات اور عدم مساوات کے نظام میں شامل مسائل اور ان کو تفصیل سے حل کرنے کے طریقے پر بحث کریں گے۔
لکیری مساوات کے نظام کی تعریف
لکیری مساوات کا نظام دو یا زیادہ لکیری مساواتوں پر مشتمل ہوتا ہے جو ایک دوسرے سے متعلق ہوتے ہیں۔ مثالیں ہیں:
\[
\شروع{کیسز}
2x + 3y = 5 \\
4x – y = 1
\end{کیسز}
\]
اس نظام کو حل کرنے کا مقصد \(x\) اور \(y\) کی قدروں کو تلاش کرنا ہے جو بیک وقت دونوں مساوات کو پورا کرتے ہیں۔
لکیری مساوات کے نظام کو حل کرنے کے طریقے
لکیری مساوات کے نظام کو حل کرنے کے کئی طریقے ہیں، بشمول:
1. متبادل طریقہ
2. خاتمے کا طریقہ
3. میٹرکس کا طریقہ (الٹا یا گاس جورڈن)
مثال سوال 1: متبادل طریقہ
آئیے متبادل طریقہ استعمال کرتے ہوئے درج ذیل نظام کو حل کریں:
\[
\شروع{کیسز}
x + 2y = 10 \\
3x – y = 5
\end{کیسز}
\]
Langkah-langkah:
1. کسی ایک مساوات میں متغیرات میں سے ایک کو الگ کریں۔
پہلی مساوات سے، ہم الگ کرتے ہیں \(x\):
\[
x = 10 – 2y
\]
2۔ پائے جانے والے اظہار کو دوسری مساوات میں بدل دیں۔
دوسری مساوات میں \(x = 10 – 2y\) کو تبدیل کریں:
\[
3(10 – 2y) – y = 5
\]
کے لیے حل کریں \(y\):
\[
30 – 6y – y = 5
\]
\[
30 – 7y = 5
\]
\[
-7y = -25
\]
\[
y = frac{25}{7}
\]
3. دیگر متغیرات کو تلاش کرنے کے لیے پائی گئی قدروں کا استعمال کریں۔
\(x\) کے لیے اظہار میں واپس \(y = \frac{25}{7}\) کو تبدیل کریں:
\[
x = 10 – 2\left(\frac{25}{7}\ right)
\]
\[
x = 10 – frac{50}{7}
\]
\[
x = frac{70}{7} – frac{50}{7}
\]
\[
x = frac{20}{7}
\]
لہذا، سسٹم کے حل ہیں \( x = \frac{20}{7} \) اور \( y = \frac{25}{7} \)۔
مثال سوال 2: خاتمے کا طریقہ
اگلا، آئیے درج ذیل نظام کو حل کرنے کے لیے خاتمے کا طریقہ استعمال کریں:
\[
\شروع{کیسز}
2x + 3y = 12 \\
4x + 6y = 24
\end{کیسز}
\]
اس صورت میں، ہم دیکھتے ہیں کہ دوسری مساوات پہلی مساوات کا ایک کثیر ہے۔ نظام کو کم کرنے کے لیے، ہم پہلی مساوات کو 2 سے ضرب دے سکتے ہیں اور پھر اسے دوسری مساوات سے گھٹا سکتے ہیں:
1. پہلی مساوات کو 2 سے ضرب دیں:
\[
2(2x + 3y) = 2 \cdot 12
\]
\[
4x + 6y = 24
\]
2. ضرب شدہ پہلی مساوات کو دوسری مساوات سے گھٹائیں:
\[
(4x + 6y) – (4x + 6y) = 24 – 24
\]
\[
0 0 =
\]
یہ \(0 = 0\) دیتا ہے، جو اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ نظام میں لامحدود حل ہیں اور یہ مساواتیں منحصر ہیں۔
مثال سوال 3: لکیری عدم مساوات
لکیری عدم مساوات لکیری مساوات سے ملتے جلتے اصولوں کی پیروی کرتی ہیں، لیکن عدم مساوات کے نشانات جیسے \(<, \leq, >, \geq\) شامل ہیں۔ آئیے ایک سادہ مثال دیکھیں:
\[
\شروع{کیسز}
3x – y <7 \\ 2x + y \geq 4 \end{cases} \] مراحل: 1. ہم اس نظام کے حل کے علاقے کا تعین کرنے کے لیے گرافیکل طریقہ استعمال کرتے ہیں۔ ہر عدم مساوات کا گراف بنائیں۔ 2. باؤنڈری لائن کا تعین کرنے کے لیے عدم مساوات کو مساوات میں تبدیل کریں: \(3x - y <7\) کے لیے، باؤنڈری لائن \(3x - y = 7\) ہے
