مواقع کی تقسیم پر بحث کے سوال کی مثال

امکانات کی تقسیم کے سوالات اور بحث کی مثال

احتمال کی تقسیم شماریات اور امکان کے بنیادی تصورات میں سے ایک ہے۔ اس کا استعمال بے ترتیب تعداد کی مختلف اقدار کے امکان کو سمجھنے کے لیے کیا جاتا ہے۔ تجزیہ کیے جانے والے ڈیٹا کی نوعیت کے لحاظ سے امکانی تقسیم کئی شکلیں لے سکتی ہے۔ امکانی تقسیم کی دو سب سے عام قسمیں مجرد اور مسلسل ہیں۔ اس مضمون میں، ہم اس موضوع کو بہتر طور پر سمجھنے میں ہماری مدد کرنے کے لیے متعدد مثال کے مسائل کا جائزہ لیں گے اور امکانی تقسیم پر تبادلہ خیال کریں گے۔

مجرد تقسیم

ایک مجرد تقسیم ایک تقسیم ہے جو ایک مجرد بے ترتیب متغیر کے امکان کا حساب لگاتی ہے، یعنی ایک متغیر جو صرف مخصوص اقدار کو لے سکتا ہے۔ مجرد تقسیم کی معروف مثالیں بائنومیئل ڈسٹری بیوشن اور پوسن ڈسٹری بیوشن ہیں۔

مثال 1: دو عددی تقسیم
دو نامی تقسیم برنولی ٹرائلز کی ایک سیریز میں کامیابیوں کی تعداد کو بیان کرتی ہے۔ ہر برنولی ٹرائل کے دو نتائج ہوتے ہیں: کامیابی یا ناکامی۔ کامیابی کا امکان پوری آزمائش کے دوران مستقل رہتا ہے۔

سوال:
ایک دوا ساز کمپنی 10 مریضوں پر ایک نئی دوا کا تجربہ کر رہی ہے۔ کسی ایک مریض میں دوا کے کام کرنے کا امکان 0.7 ہے۔ اس امکان کا حساب لگائیں کہ دوا 10 میں سے بالکل 7 مریضوں میں کام کرتی ہے۔

بحث:
بے ترتیب متغیر \(X\) \(n = 10\) اور \(p = 0.7\) کے ساتھ ایک دو نامی تقسیم کی پیروی کرتا ہے۔ binomial probability فعل ہے:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]

کے لیے \(k = 7\):
\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]

binomial coefficient کا حساب لگانا \(\binom{10}{7}\):
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]

امکانی قدروں کا حساب لگانا:
\[ P(X = 7) = 120 \times (0.7)^7 \times (0.3)^3 \]
\[ P(X = 7) \ تقریباً 120 \ اوقات 0.0823543 \ اوقات 0.027 \]
\[ P(X = 7) \ تقریباً 0.231 \]

لہذا، اس بات کا امکان ہے کہ دوا 10 میں سے بالکل 7 مریضوں میں کام کرتی ہے تقریباً 0.231 یا 23.1 فیصد ہے۔

مثال 2: زہر کی تقسیم
Poisson تقسیم کا استعمال ایک مقررہ وقت یا جگہ کے وقفے کے اندر کسی نایاب واقعے کے واقعات کی تعداد کو ماڈل کرنے کے لیے کیا جاتا ہے۔

سوال:
ایک دکان پر فی گھنٹہ اوسطاً 4 گاہک آتے ہیں۔ اس بات کا کیا امکان ہے کہ دکان کو ایک گھنٹے میں بالکل 5 گاہک ملیں گے؟

بحث:
بے ترتیب متغیر \(X\) پیرامیٹر \(\lambda = 4\) کے ساتھ Poisson کی تقسیم کی پیروی کرتا ہے۔ Poisson امکانی ماس فنکشن یہ ہے:
\[ P(X = k) = frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]

کے لیے \(k = 5\):
\[ P(X = 5) = frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]

شمار:
\[ P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[ P(X = 5) \تقریبا \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[ P(X = 5) \ تقریباً 0.156 \]

لہذا، اس بات کا امکان کہ اسٹور کو ایک گھنٹے میں بالکل 5 گاہک موصول ہوتے ہیں تقریباً 0.156، یا 15.6%۔

مسلسل تقسیم

مسلسل تقسیمیں اس وقت استعمال ہوتی ہیں جب ناپا جا رہا بے ترتیب متغیر کسی خاص حد کے اندر کسی بھی قدر کو لے سکتا ہے۔ مسلسل تقسیم کی معروف مثالیں عمومی تقسیم اور کفایتی تقسیم ہیں۔

مثال 3: عام تقسیم
نارمل ڈسٹری بیوشن، جسے اکثر گاوسی ڈسٹری بیوشن بھی کہا جاتا ہے، ایک ایسی تقسیم ہے جو عام طور پر سائنس، انجینئرنگ اور معاشیات سمیت مختلف شعبوں میں استعمال ہوتی ہے۔

سوال:
ایک شہر میں بالغ مردوں کی اونچائیوں کو عام طور پر 170 سینٹی میٹر کے اوسط اور 10 سینٹی میٹر کے معیاری انحراف کے ساتھ تقسیم کیا جاتا ہے۔ اس بات کا کیا امکان ہے کہ تصادفی طور پر منتخب آدمی کا قد 160 سینٹی میٹر اور 180 سینٹی میٹر کے درمیان ہے؟

بحث:
ہمیں 160 سینٹی میٹر اور 180 سینٹی میٹر کے لیے زیڈ سکور کا حساب لگانا ہے۔ زیڈ سکور کی تعریف اس طرح کی گئی ہے:
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]

کے لیے \(X = 160\):
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]

کے لیے \(X = 180\):
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]

اب ہمیں زیڈ ٹیبل میں -1 سے 1 تک امکانات کی قدروں کو دیکھنے کی ضرورت ہے۔ z = -1 سے z = 1 تک کی قدر تقریباً 0.6826 ہے۔

لہٰذا، اس بات کا امکان کہ بے ترتیب طور پر منتخب آدمی کا قد 160 سینٹی میٹر اور 180 سینٹی میٹر کے درمیان ہے تقریباً 0.6826 یا 68.26% ہے۔

مثال 4: کفایتی تقسیم
Exponential Distribution کا استعمال Poisson کے عمل میں ہونے والے واقعات کے درمیان وقت کو ماڈل کرنے کے لیے کیا جاتا ہے۔

سوال:
ایک اسٹور پر دو گاہک کی آمد کے درمیان اوسط وقت 15 منٹ ہے۔ اس بات کا کیا امکان ہے کہ دو گاہک کی آمد کے درمیان وقت 10 منٹ سے کم ہو؟

بحث:
Exponential Distribution میں ایک پیرامیٹر \(\lambda\) ہے جو کہ وسط (\(\mu\)) کا الٹا ہے۔ 15 منٹ کے اوسط کے ساتھ:
\[ \lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]

کفایتی مجموعی تقسیم کا فعل ہے:
\[ P(X \leq x) = 1 – e^{-\lambda x} \]

کے لیے \(x = 10\):
\[ P(X \leq 10) = 1 - e^{-0.0667 \times 10} \]
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[ P(X \leq 10) \ تقریباً 1 - 0.5134 \]
\[ P(X \leq 10) \ تقریباً 0.4866 \]

لہذا، امکان ہے کہ دو گاہک کی آمد کے درمیان وقت 10 منٹ سے کم ہے تقریباً 0.4866 یا 48.66%۔

نتیجہ اخذ کرنا

امکانی تقسیم، مجرد اور مسلسل دونوں، بے ترتیب متغیرات کے طرز عمل کو ماڈلنگ اور سمجھنے کے لیے بہت مفید تصورات ہیں۔ binomial اور Poisson تقسیم اکثر مجرد متغیرات کے لیے استعمال ہوتے ہیں، جب کہ نارمل اور exponential distributions مسلسل تقسیم کی مثالیں ہیں۔

اوپر دی گئی مثالوں کے ذریعے، ہم امید کرتے ہیں کہ آپ نے امکانات کی تقسیم میں امکانات کا حساب لگانے اور ان کی تشریح کرنے کے بارے میں بہتر سمجھ حاصل کر لی ہے۔ مسلسل مشق کے ساتھ، آپ کی امکانات کی تقسیم کو سمجھنے کی صلاحیت بہتر ہو جائے گی اور اس کا اطلاق مختلف شعبوں میں کیا جا سکتا ہے۔