Enerjinin eşit dağılımı teoremi, Clerk Maxwell tarafından istatistiksel mekanik kullanılarak teorik olarak türetilmiştir. Deneysel bir kanıtı olmadığı için teorem olarak adlandırılır. Enerjinin eşit dağılımı, enerjinin eşit olarak dağıtılması anlamına gelir.
Öteleme kinetik enerjisi, üç hız bileşenine sahip olan öteleme hareketinden türetilir: x ekseni, y ekseni ve z ekseni. Bu üç hız bileşeni, yukarıdaki denklemde 3 sayısının görünmesinin nedenidir. Her hız bileşenine serbestlik derecesi denir. Üç hız bileşeni olduğu için, öteleme kinetik enerjisinin üç serbestlik derecesi vardır.
Enerjinin eşit dağılım teoremi, enerjinin tüm serbestlik dereceleri arasında eşit olarak dağıtılması gerektiğini belirtir. Dolayısıyla, her bir serbestlik derecesi için ortalama enerji 1/2 kT'dir.
Tek atomlu gaz molekülleri
Tek atomlu gaz molekülleri yalnızca öteleme hareketi yaparlar, dolayısıyla tek atomlu gaz moleküllerinin 3 serbestlik derecesi vardır.
Tek atomlu bir gazın her bir molekülünün ortalama kinetik enerjisi şöyledir:
3 (1⁄2 kT) = 3/2 kT = 3/2 nRT.
Tek atomlu gaz moleküllerinin ısı kapasitesi:
C = 3/2 R = 3/2 (8,315 J/mol.K) = 12,47 J/Kg.K
İki atomlu gaz molekülleri
İki atomlu gaz molekülleri, öteleme hareketine ek olarak dönme ve titreşim hareketleri de gerçekleştirir. Öteleme hareketinin serbestlik derecesi sayısı = 3. Dönme ve titreşim hareketlerinin serbestlik derecesi sayısı kaçtır?
Üç dönme ekseni vardır: x, y ve z eksenleri. Molekülü oluşturan iki atom dönme ekseniyle çakıştığı için x ekseni etrafındaki dönme hareketi hesaplamaya dahil edilmemiştir. Atomlar x ekseniyle çakıştığında, her iki atomun eylemsizlik momenti 0 olur. Dolayısıyla, dönme hareketi için serbestlik derecesi sayısı 2'dir.
Her bir iki atomlu gaz molekülünün ortalama enerjisi şöyledir:
3(1⁄2 kT) + 2(1⁄2 kT) = 5/2 kT = 5/2 nRT.
İki atomlu gaz moleküllerinin ısı kapasitesi:
C = 5/2 R = 5/2 (8,315 J/mol.K) = 20,79 J/Kg.K
Teorik olarak elde edilen moleküler ısı kapasitesi, gerçek ısı kapasitesinden biraz daha büyüktür. 
Deneyler yoluyla elde edilen iki atomlu gaz molekülleri.
İki atomlu gaz molekülleri titreştiklerinde iki tür enerjiye sahiptir: kinetik enerji ve elastik potansiyel enerji. Bu nedenle, titreşim hareketinin serbestlik derecesi sayısı 2'dir.
Her bir iki atomlu gaz molekülünün ortalama enerjisi şöyledir:
3(1⁄2 kT) + 2(1⁄2 kT) + 2(1⁄2 kT) = 7/2 kT = 7/2 nRT.
İki atomlu gaz moleküllerinin ısı kapasitesi:
C = 7/2 R = 7/2 (8,315 J/mol.K) = 29,1 J/Kg.K
Lütfen bu sonucu deneysel olarak elde edilen iki atomlu gaz moleküllerinin ısı kapasitesiyle karşılaştırın. Aradaki fark önemli. İki atomlu gaz moleküllerinin 7 serbestlik derecesi vardır (öteleme, dönme ve titreşim hareketi), bu nedenle deneysel olarak elde edilen iki atomlu gaz moleküllerinin ısı kapasitesi yaklaşık 29,1 J/Kg.J olmalıdır.
İki atomlu gaz moleküllerinin ısı kapasitesi üzerindeki titreşim hareketinin etkisi, sıcaklık aralığına (T) da bağlıdır. Önceki deneyler nispeten dar bir sıcaklık aralığında gerçekleştirilmiştir. Daha geniş bir sıcaklık aralığında yapılan son deneyler, gaz moleküllerinin ısı kapasitesinin sıcaklık aralığına da bağlı olduğunu göstermiştir. Bu konuyu daha iyi anlamak için, hidrojen gazı moleküllerinin farklı sıcaklıklardaki ısı kapasitesindeki değişimi inceleyelim.
Hidrojen gazı moleküllerinin farklı sıcaklıklardaki ısı kapasitesindeki değişim.
Hidrojen (H2(İki atomlu gazlar dahil). Yandaki resim, hidrojen gazı moleküllerinin farklı sıcaklıklardaki ısı kapasitesindeki değişimi göstermektedir. 5/2 R = 20,79 J/Kg.K moleküler ısı kapasitesi değeri yalnızca yaklaşık 250 K ile 750 K arasındaki sıcaklık aralığında geçerlidir. 250 K'nin altında, hidrojen gazının moleküler ısı kapasitesi düzenli olarak azalarak 3/2 R = 12,47 J/Kg.K değerine ulaşır. Tersine, 750 K'nin üzerinde, gazın moleküler ısı kapasitesi düzenli olarak artarak 7/2 R = 29,1 J/Kg.K değerine ulaşır.
Bu gerçeğe dayanarak, düşük sıcaklıklarda gaz moleküllerinin yalnızca öteleme hareketi yaptığını söyleyebiliriz. Sıcaklık arttıkça, gaz molekülleri yalnızca dönme hareketi yapar. Yüksek sıcaklıklarda, gaz molekülleri birbirleriyle çarpışır ve molekülleri oluşturan atomların titreşim hareketi yapmasına neden olur. Dolayısıyla, bu üç hareket türü aşamalar halinde gerçekleşir: önce yalnızca öteleme hareketi (düşük sıcaklıklar), sonra öteleme + dönme (orta sıcaklıklar) ve son olarak öteleme + dönme + titreşim (yüksek sıcaklıklar). Titreşim hareketi yalnızca gaz molekülleri birbirleriyle çarpıştığında meydana gelir.
Bu durum sadece hidrojen gazına özgü değil, diğer gazlar için de geçerlidir. Bilim insanları, gaz moleküllerinin ısı kapasitesinin de sıcaklıkla değişme eğiliminde olduğunu keşfettiler. Değişimler hidrojen gazında görülenlere benzer, ancak her gazın yapısı farklı olduğu için (içerdikleri atom sayısı ve türleri), ısı kapasitesindeki değişiklikler farklı sıcaklık aralıklarında da meydana gelir.
Enerjinin eşit dağılım teoremi, toplam enerjinin her bir serbestlik derecesine eşit olarak dağıtılması gerektiğini belirtir. Gerçekte, gaz moleküllerinin kazandığı ek enerji her bir serbestlik derecesine eşit olarak dağıtılmaz, aksine kademeli olarak dağıtılır. Dahası, gazların kinetik teorisine dayanarak teorik olarak türettiğimiz gazın moleküler ısı kapasitesi denklemi, moleküler ısı kapasitesinin yalnızca R'ye (her bir serbestlik derecesi için 1/2 R) bağlı olduğunu belirtir. Gerçekte, moleküler ısı kapasitesi sıcaklıktan (T) da etkilenir.
Birkaç sonuç çıkarılabilir. Birincisi, enerjinin eşit dağılım teoremi, Newton'un mekanik yasalarına dayanan klasik istatistiksel mekanikten türetilmiştir. İkincisi, gaz moleküllerinin hareketini açıklamak için kullandığımız gazların kinetik teorisi de Newton'un mekanik yasalarına dayanmaktadır. Enerjinin eşit dağılım teoremi ve gazların kinetik teorisi ihlal edildiğinden, Newton'un mekanik yasalarının atomik veya moleküler düzeyde meydana gelen hareketi açıklayamadığı sonucuna varılabilir. Başka bir deyişle, Newton mekaniği veya klasik mekanik, yalnızca büyük ölçeklerdeki madde hareketini açıklayabilir.
