İstatistikte Kruskal Wallis Testi
Kruskal-Wallis testi, üç veya daha fazla grup arasındaki farklılıkları karşılaştırmak için kullanılan parametrik olmayan bir istatistiksel yöntemdir. Birçok çalışmada, araştırmacılar genellikle birkaç grubun belirli bir değişken için anlamlı derecede farklı değerlere sahip olup olmadığını belirlemek isterler. Veriler normallik ve varyans homojenliği varsayımlarını karşılıyorsa, tek yönlü ANOVA testi genellikle ilk tercihtir. Bununla birlikte, bu varsayımlar karşılanmadığında—örneğin, veriler normal dağılıma sahip değilse, aşırı uç değerler varsa veya ölçüm ölçeği sıralı ise—Kruskal-Wallis testi güçlü ve yaygın olarak kullanılan bir alternatiftir.
Pengertian ve Konsep Dasar
Kruskal-Wallis testi (genellikle Kruskal-Wallis H testi olarak yazılır), Mann-Whitney U testinin ikiden fazla gruba genişletilmiş bir versiyonudur. Temel prensibi, verilerin gerçek değerlerini değil, "sıralamalarını" karşılaştırmaktır. Sıralamaya dayalı olduğu için, bu test normal dağılım gerektirmez ve aykırı değerlerin etkisine karşı nispeten dirençlidir.
Sezgisel olarak, eğer birkaç grup aynı dağılıma sahipse, gruplar arasındaki veri sıralamaları rastgele karışacaktır. Tersine, eğer bazı gruplar daha yüksek veya daha düşük değerlere sahip olma eğilimindeyse, sıralamalar kümelenecek ve daha büyük bir test istatistiği üretecektir.
Kruskal Wallis testi ne zaman kullanılır?
Kruskal Wallis testi şu durumlarda kullanılır:
1. Grup sayısı ≥ 3'tür ve araştırmacı gruplar arasındaki merkezi konum (genellikle medyan) farklılıklarını karşılaştırmak istemektedir.
2. Veriler, özellikle artıkların normalliği olmak üzere, ANOVA varsayımlarını karşılamamaktadır.
3. Sıralı veri ölçekleri (örneğin, memnuniyet puanları: çok memnuniyetsizden çok memnuna) veya normal dağılıma uymayan aralık/oran verileri.
4. Bağımsız örnekler; yani bir grubun üyeleri diğer gruplarla eşleştirilmemiş veya birbirleriyle ilişkili değildir.
Örnek olarak: Bir araştırmacı, 1-5 arası Likert ölçeği kullanarak üç farklı hastanedeki hizmetlerden duyulan hasta memnuniyet düzeylerini karşılaştırmak istiyor. Veriler sıralı (ordinal) olduğundan, Kruskal Wallis testi uygun bir seçimdir.
Kruskal Wallis Testi Varsayımları
Parametrik olmamasına rağmen, Kruskal-Wallis testi yine de birkaç önemli varsayıma sahiptir:
1. Gözlemlerin bağımsızlığı: Her gruptaki veriler farklı bireylerden gelmelidir.
2. Yanıt değişkeni en az sıralı (ordinal) olmalıdır: veriler sıralanabilir olmalıdır.
3. Gruplar arasındaki dağılım şekilleri benzer olmalıdır: Dağılım şekilleri çok farklıysa, farklılıkların yorumlanması daha karmaşık olabilir. Bu test genellikle medyanlardaki bir fark olarak yorumlanır, ancak dağılım şekilleri benzer olduğunda medyan yorumu en uygunudur.
Kruskal Wallis Testinde Hipotez
Kruskal-Wallis testinde test edilen hipotez şudur:
– H0 (sıfır hipotezi): Tüm grupların dağılımı (veya medyanı) aynıdır.
– H1 (alternatif hipotez): Dağılımı (veya medyanı) farklı olan en az bir grup vardır.
Şunu belirtmek gerekir ki, H0 hipotezi reddedildiğinde Kruskal-Wallis testi sadece "bir fark var" der, ancak hangi grupların farklı olduğunu belirtmez. Bu, daha fazla test (sonradan yapılan test) gerektirir.
Hesaplama Adımları
Özetle, Kruskal Wallis testinin adımları şunlardır:
1. Tüm gruplardaki verileri birleştirin.
2. Değerleri en küçükten en büyüğe doğru sıralayın. Eşitlik durumunda ortalama sıralamayı kullanın.
3. Her gruptaki sıralamaları toplayın.
4. H test istatistiğini hesaplayın.
Genel H istatistik formülü şöyledir:
\[
H = \frac{12}{N(N+1)} \sum_{i=1}^{k} \frac{R_i^2}{n_i} – 3(N+1)
\]
Açıklamalar:
– \(N\) = tüm gözlemlerin toplamı
– \(k\) = grup sayısı
– \(n_i\) = i-inci gruptaki gözlem sayısı
– \(R_i\) = i. gruptaki sıra sayısı
H değeri daha sonra k-1 serbestlik derecesine sahip ki-kare dağılımı (\(\chi^2\)) ile karşılaştırılır. Eğer p değeri anlamlılık düzeyinden (örneğin, 0,05) küçükse, H0 reddedilir.
Örnek Açıklama
Bir öğretim görevlisinin, üç farklı öğrenme yöntemi (A, B ve C) arasında istatistiksel test puanlarında bir fark olup olmadığını öğrenmek istediğini varsayalım. Verileri topladıktan sonra, puanların normal dağılıma uymadığı, çünkü birkaç uç değerin bulunduğu ortaya çıkıyor. Öğretim görevlisi daha sonra Kruskal-Wallis testini kullanıyor.
Test sonuçları 0,01'lik (0,05'ten küçük) bir p değeri gösteriyorsa, en az iki öğrenme yöntemi arasında anlamlı bir fark olduğu sonucuna varılır. Ancak, öğretim görevlisi henüz A yönteminin B veya C yönteminden daha iyi olup olmadığını bilmiyor. İşte bu noktada sonradan yapılan analiz (post-hoc analysis) gereklidir.
Kruskal Wallis Sonrası Sonradan Yapılan Test
Kruskal-Wallis testi anlamlı ise, bir sonraki adım ikili karşılaştırmalar yapmaktır. Bazı yaygın yöntemler şunlardır:
1. Dunn testi: Çoğunlukla Kruskal-Wallis sonrası testlerinde kullanılır.
2. Tekrarlanan testlerden kaynaklanan hataları kontrol etmek için düzeltme (Bonferroni, Holm veya Benjamini-Hochberg) ile ikili Mann-Whitney testi.
Bu düzeltmenin amacı, çok sayıda karşılaştırma yapılması nedeniyle tip I hata (fark olmadığı halde fark olduğunu belirtme) olasılığının artmasını önlemektir.
Etki Büyüklüğü
Anlamlılığın yanı sıra, birçok modern çalışma, okuyucuların farkın büyüklüğünü anlamalarına yardımcı olmak için etki büyüklüklerini vurgulamaktadır. Kruskal-Wallis modeliyle sıklıkla ilişkilendirilen bazı etki büyüklükleri şunlardır:
– H tabanlı Eta-kare (η²):
\[
\eta^2 = \frac{H – k + 1}{N – k}
\]
– Daha muhafazakar bir alternatif olarak epsilon karesi (ε²).
Etki büyüklükleri, farkın sadece "anlamlı olup olmadığını" değil, küçük, orta veya büyük olup olmadığını yorumlamaya yardımcı olur.
Avantajlar ve Sınırlamalar
Aşırı
1. Normallik varsayımını gerektirmez.
2. Sıralı veriler için uygundur.
3. Aykırı değerlere karşı parametrik yöntemlerden daha dayanıklıdır.
Sınırlamalar
1. Sonradan yapılan analizler olmadan hangi grupların farklı olduğunu göstermez.
2. Medyanlar arasındaki farkın yorumlanması, grupların dağılım şekilleri benzer olduğunda en geçerli olanıdır.
3. Gerçek veriler normal ve homojen ise, ANOVA daha güçlü (daha yüksek güç) olabilir.
Kapanış
Kruskal-Wallis testi, özellikle araştırmacıların parametrik yöntemlerin varsayımlarını karşılamayan verilerle uğraştığı durumlarda, çıkarımsal istatistikte önemli bir araçtır. Sıralamaya dayalı yaklaşımıyla bu test, özellikle sıralı veya normal olmayan veriler için üç veya daha fazla grubun daha esnek karşılaştırmalarına olanak tanır. Bununla birlikte, kullanımı yine de varsayımların anlaşılmasını, sonuçların yorumlanmasını ve gerçekten farklı grup çiftlerini belirlemek için sonradan analiz ihtiyacını gerektirir. Kruskal-Wallis testi, p-değerlerini, etki büyüklüklerini ve uygun ek analizleri birleştirerek, sağlık ve eğitimden işletme ve sosyal bilimlere kadar çeşitli araştırma alanlarında sağlam ve ilgili sonuçlar sağlayabilir.
