Doğrusal hareketin grafikleri – problemler ve çözümler
1. Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, mesafeyi (dikey) zamana (yatay) karşı grafiğe dökün. Şekilde numara ile gösterilen hareketsiz bir cisim…
Çözüm :
Düz bir çizgiyle gösterilen 3 numara.
2. Sabit ivmeyle hareket eden bir cismin hızını (dikey) zamana (yatay) karşı grafiğe çizin . Grafiğe göre ivmenin büyüklüğü nedir?
Çözüm :
3. Bir kişi, aşağıdaki grafikte gösterildiği gibi, A kasabasından B kasabasına arabayla seyahat etti. Dikey çizgi hızı, yatay çizgi ise zaman aralığını göstermektedir. Arabanın 30 dakika ile 60 dakika arasında kat ettiği mesafe nedir?
Bilinenler:
Hız (v) = 40 km/sa
Zaman aralığı (t) = 60 – 30 = 30 dakika = 0.5 saat
Aranan: Mesafe
Çözüm :
Mesafe = hız x zaman aralığı
Mesafe = (40 km/saat)(0.5 saat)
Mesafe = 20 km
4. Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, bir aracın duruştan başlayıp 8 saniye boyunca durana kadar olan hareketini gösteren hız (dikey çizgi) ile zaman aralığı (yatay çizgi) grafiği .
Araç 5 saniyeden 8 saniyeye kadar ne kadar mesafe kat etmiştir?
Çözüm :
Alan 1 = CD üçgeninin alanı = ½ (6-5)(40-20) = ½ (1)(20) = 10
Alan 2 = DE üçgeninin alanı = ½ (8-6)(20-0) = ½ (2)(20) = 20
Alan 3 = Karenin Alanı = (6-5)(20-0) = (1)(20) = 20
Aracın 5 saniyeden 8 saniyeye kadar kat ettiği mesafe = 10 + 20 + 20 = 50 metre.
5. Aşağıdaki grafiğe göre son 5 saniyedeki mesafe ...
Çözüm :
Alan 1 = üçgenin alanı = ½ (6-5)(40-20) = ½ (1)(20) = 10
Alan 2 = dikdörtgenin alanı = (9-5)(20-0) = (4)(20) = 80
Alan 3 = üçgenin alanı = ½ (10-9)(20-0) = ½ (1)(20) = 10
Son 5 saniyenin mesafesi :
10 + 80 + 10 = 100 metre
6. Bir otomobilin düzgün olmayan doğrusal hareketinin hız-zaman grafiğini çizin.
Aynı ivme şu noktalarda da meydana gelir…
Çözüm :
v t = v o + at
v t – v o = at
a = v t – v o / t
a = ivme, v t = son hız, v o = ilk hız, t = zaman aralığı.
AB ivmesi = (25 – 20) / (20 – 0) = 5 / 20 = 1/4 = 0.25 m/ s²
BC ivmesi = (45 – 25) / (40 – 20) = 20 / 20 = 1 m/ s²
İvme CD = (35 – 45) / (50 – 40) = 10 / 10 = 1 m/ s²
İvme DE = (25 – 35) / (70 – 50) = 10 / 20 = 1/2 = 0.5 m/ s²
İvme EF = (0 – 25) / (90 – 70) = 25 / 20 = 5/4 = 1.25 m/ s²
7. 10 saniyede kat edilen mesafe nedir?
Bilinenler:
Başlangıç hızı (vo) = 0
Son hız (v t ) = 20 m/s
Zaman aralığı (t) = 4 saniye
Aranan:
10 saniyede kat edilen mesafe
Çözüm :
Sabit ivmeyle hareketin üç denklemi:
v t = v o + at
d = v o t + ½ at 2
v t 2 = v o 2 + 2 ad
v t = son hız, v o = ilk hız, a = ivme, t = zaman aralığı, d = mesafe
İvme (a):
v t = v o + at
20 = 0 + a (4)
20 = 4 a
bir = 20 / 4
a = 5 m/ s²
10 saniyede kat edilen mesafe:
d = v o t + ½ at 2
d = (0)(10) + ½ (5)(10) 2
d = ½ (5)(100)
d = (5)(50)
d = 250 metre
8. Bir cisim yeryüzünün yüzeyinden yukarı doğru dikey olarak fırlatılırsa, cismin maruz kaldığı ivmenin grafiği hangisidir?
Çözüm
Bir cisim dikey olarak yukarı doğru hareket ettiğinde, cismin maruz kaldığı ivme yerçekimi ivmesidir. Yerçekimi ivmesinin büyüklüğü 9.8 m/s²'dir ve yerçekimi ivmesinin yönü Dünya'nın merkezine doğrudur.
Sabit ivme, t eksenine paralel ve a eksenine dik olan düz bir çizgi ile karakterize edilir.
Doğru cevap D'dir.
9. Aşağıdaki grafiğe dayanarak, cismin 20 saniyede kat ettiği mesafeyi belirleyin.
600 m
B.500 m
C 200 m
D.100 m
Çözüm
0-10 saniye arasında kat edilen mesafe = karenin alanı + üçgenin alanı
Karenin alanı = (20-0)(10-0) = (20)(10) = 200 metrekare
Üçgenin alanı = (1/2)(10-0)(40-20) = (1/2)(10)(20) = (5)(20) = 100 metre
0-10 saniye arasında kat edilen mesafe = 200 metre + 100 metre = 300 metre
10-20 saniye boyunca kat edilen mesafe = üçgenin alanı
Üçgenin alanı = (1/2)(20-10)(40-0) = (1/2)(10)(40) = (5)(40) = 200 metre
0-20 saniye arasında kat edilen mesafe:
300 metre + 200 metre = 500 metre
Doğru cevap B'dir.
10. Aşağıdaki grafiklerde her biri gösterilen üç cismin hareketi.
Üç cismin de hareketini ifade eden doğru ifadeyi belirleyin.
Çözüm :
Nesne 1'in grafiği = İvme (a) ve zaman aralığı (t) grafiği
Grafiğe göre, cisim sabit bir ivmeyle hareket etmektedir. Sabit ivme, ivme eksenine dik olan düz bir çizgiyle (a) gösterilmiştir.
Nesne 2'nin grafiği = Hız (v) ve zaman aralığı (a) grafiği
Grafiğe göre, cisim sabit bir hızla hareket etmektedir. Sabit hız, hız eksenine (v) dik olan düz bir çizgi ile gösterilir.
3. nesnenin grafiği = Yer değiştirme (x) ve zaman (a) grafiği
Grafiğe göre, yer değiştirme sabit veya cisim hareketsiz.
Doğru cevap A.
11. X ekseni boyunca hareket eden bir cismin konumu aşağıdaki grafikte gösterilmiştir.
Grafik, cismin belirtilen zaman aralığında sabit bir hızla hareket ettiğini göstermektedir.
A. 5-15 saniye ve 25-35 saniye
B. 0-5 saniye ve 35-40 saniye
Yaklaşık 15-25 saniye
D. 0-5 saniye, 15-25 saniye ve 35-40 saniye
Çözüm :
5-15 saniye ve 25-35 saniye = Nesnenin yer değiştirmesi her zaman sabit veya nesne hareketsiz.
0-5 saniye, 15-25 saniye ve 35-40 saniye = cisim sabit hızla hareket eder.
Doğru cevap D'dir.
12. Aşağıdaki grafik, aynı başlangıç konumundan düz bir şekilde hareket eden iki cismin zamana bağlı hız fonksiyonunu göstermektedir. t saniye hareket ettikten sonra her iki cismin de konum değişimi aynıdır. Zaman aralığını ve cismin yer değiştirmesini belirleyin.
A. 5 saniye ve 50 metre
B. 5 saniye ve 100 metre
C. 10 saniye ve 50 metre
D. 10 saniye ve 100 metre
Çözüm :
Grafik 1 = sabit ivme
Zaman aralığı = 10 saniye
Mesafe = üçgenin alanı = ½ (v)(t) = ½ (10-0)(20-0) = ½ (10)(20) = (5)(20) = 100 metre
Grafik 2 = sabit hız
Zaman aralığı = 10 saniye
Mesafe = karenin alanı = (v)(t) = (10-0)(10-0) = (10)(10) = 100 metre
Doğru cevap D'dir.
13. Aşağıdaki grafiğe göre, cismin sabit ivmeyle hareket ettiği zaman aralığı ve cismin en büyük ivmeyi yaşadığı zaman aralığı kaçtır?
A. 0 ile t arasında1ve t arasında1 ve t2
B. t1 ile t2 arasında ve t2 ile t3 arasında
C. t 2 ile t 3 arasında ve t 1 ile t 2 arasında
D. 0 ile t1 arasında ve t2 ile t3 arasında
Çözüm :
Grafik düz bir çizgi ise hız sabittir, grafik eğik çizgi ise ivme sabittir. Çizgi eğikleşiyorsa, ivme büyüyor demektir.
0 – t 1 = sabit ivme
t 1 – t 2 = sabit hız
t 2 – t 3 = sabit ivme
Doğru cevap B'dir.
1. Soru: Konum-zaman grafiğinin eğimi neyi temsil eder? Cevap: Konum-zaman grafiğinin eğimi cismin hızını temsil eder. Daha dik bir eğim daha yüksek bir hızı gösterirken, düz (yatay) bir çizgi cismin hareketsiz olduğunu gösterir.
2. Soru: Hız-zaman grafiğinde bir cismin yer değiştirmesini nasıl belirlersiniz? Cevap: Bir cismin yer değiştirmesi, hız-zaman grafiğinde eğrinin altındaki alanı (veya eğri ile x ekseni arasındaki alanı) hesaplayarak bulunur.
3. Soru: Konum-zaman grafiğinde düzgün ve düzgün olmayan hareketi nasıl ayırt edebilirsiniz? Cevap: Konum-zaman grafiğinde, düzgün hareket düz bir çizgi (sabit eğim) ile gösterilirken, düzgün olmayan hareket, hızın zamanla değiştiğini gösteren eğri bir çizgi ile gösterilir.
4. Soru: Hız-zaman grafiğinde yatay bir çizgi neyi gösterir? Cevap: Hız-zaman grafiğinde yatay bir çizgi, cismin sabit bir hızla hareket ettiğini, yani ivmelenmediğini veya yavaşlamadığını gösterir.
5. Soru: Hız-zaman grafiği zaman ekseninin altında ise (negatif hız), bu ne anlama gelir? Cevap: Hız-zaman grafiği zaman ekseninin altında ise, cismin referans yönünün (genellikle pozitif olarak kabul edilir) ters yönünde hareket ettiğini gösterir.
6. Soru: Hız-zaman grafiğinde ivme nasıl gösterilir? Cevap: Hız-zaman grafiğinde ivme, grafiğin eğimi ile gösterilir. Pozitif eğim pozitif ivmeyi, negatif eğim negatif ivmeyi (veya yavaşlamayı) gösterir ve düz çizgi ivme olmadığını gösterir.
7. Soru: Konum-zaman grafiğindeki parabolik bir eğri neyi gösterir? Cevap: Konum-zaman grafiğindeki parabolik bir eğri cismin sabit ivme altında olduğunu gösterir. Eğrinin şekli, kinematik denklem ile uyumlu olarak ikinci derecedendir.
8. Soru: Konum-zaman grafiğinde, bir cismin başlangıç noktasına göre ileri mi yoksa geri mi hareket ettiğini nasıl belirleyebilirsiniz? Cevap: Konum-zaman grafiğindeki eğri veya çizgi yükseliyorsa (yukarı doğru hareket ediyorsa), cismin ileri (veya pozitif yönde) hareket ettiğini gösterir. Eğri veya çizgi alçalıyorsa (aşağı doğru hareket ediyorsa), cismin başlangıç konumuna göre geriye (veya negatif yönde) hareket ettiğini gösterir.
9. Soru: Serbest düşen bir cisim hız-zaman grafiğinde nasıl görünür? Cevap: Serbest düşen bir cisim için (hava direncini ihmal edersek), yerçekimi ivmesinin sabit olması nedeniyle hız-zaman grafiği pozitif eğimli düz bir çizgi olur (durağan halden başlarsa). Eğim Dünya'da yaklaşık olan ivme değerini temsil eder.
10. Soru: Bir cisim hareketsiz haldeyse, ivme-zaman grafiği nasıl görünür? Cevap: Hareketsiz bir cisim için ivme-zaman grafiği, zaman ekseninde yatay bir çizgi olur ve bu da ivmenin tüm süre boyunca sıfır olduğunu gösterir.
