Vektörler sıradan sayılar değildir, bu nedenle sıradan çarpma işlemleri doğrudan onlara uygulanamaz. Vektör çarpımını kullanmalıyız. Vektör çarpımının iki türü vardır: nokta çarpımı ve çapraz çarpım. Nokta çarpımı, skaler bir değer ürettiği için skaler çarpım olarak da adlandırılır. Çapraz çarpım da vektör çarpımı olarak adlandırılır çünkü vektörel bir değer üretir. Örneğin, iki vektör vardır, bunlar şunlardır: A oyleyse BVektörlerin skalar çarpımı A oyleyse B ile ifade edildi AB KArena nokta gösterimi kullandığı için bu çarpma işlemine şu ad verilir: nokta çarpımıVektör çarpımı A oyleyse B ile ifade edildi A x BÇünkü gösterim biçimini kullanıyor. xO halde bu çarpma işlemine çapraz çarpma denir.
Örneğin, vektör verildiğinde A oyleyse B Aşağıdaki resimde gösterildiği gibi. Vektörler arasındaki nokta çarpımı A oyleyse B yazılı olarak AB (A titik B).
Vektörlerin nokta çarpımını tanımlamak için A oyleyse B (AB), tasvir edilen vektör A ve vektörler Tarafındanaçı oluşturan θ. Ardından vektörün izdüşümünü çiziyoruz. B vektörün yönüne doğru ABu izdüşüm, vektörün bir bileşenidir. B vektöre paralel olan Aaynı boyutta olan B araba θ.
Dolayısıyla, tanımlıyoruz. AB büyük bir vektör olarak A vektör bileşenleriyle çarpılır B yang sejajar dengan AMatematiksel olarak bunu şu şekilde yazabiliriz:
AB araba θ Sıradan bir sayıdır (skaler). Bu nedenle, nokta çarpımına skaler çarpım da denir. Peki ya vektörler arasındaki nokta çarpımı A oyleyse B tersine çevrildi BA ? tanımlamadan önce BAÖncelikle vektörün izdüşümünü çiziyoruz. A vektörlere B (aşağıdaki resme bakınız).
Bu görüntüye dayanarak tanımlayabiliriz. BA büyük bir vektör olarak B vektör bileşenleriyle çarpılır A yang sejajar dengan BMatematiksel olarak bunu şu şekilde yazabiliriz:
Nokta çarpım sonucu AB = AB araba θ ve nokta çarpımının sonucu BA = BA araba θ. Çünkü AB araba θ = BA araba θo halde geçerlidir AB = BA
Nokta çarpımı hakkında bilmeniz gereken bazı şeyler:
1. Nokta çarpımı değişme özelliğini sağlar.
AB = BA
2. Nokta çarpımı dağılma yasasını sağlar.
A. (B + C) = AB + AC
3. Eğer A ve B vektörleri birbirine dik ise, AB nokta çarpımı 0'a eşittir.
Vektör A oyleyse B Birbirine dik olan iki doğru parçasının oluşturduğu açı 90 derecedir.o. Cos 90o = 0. Dolayısıyla: AB = AB araba dörtgen = AB çünkü 90o = 0. Öte yandan, BA = BA araba dörtgen = BA çünkü 90o = 0
4. Eğer A vektörü ve B vektörü aynı yöndeyse , o zaman AB = AB cos 0 o = AB
Vektör A oyleyse B Aynı yönde hareket ederlerse, oluşan açı 0 olur.o. Cos 0 = 1. Dolayısıyla, AB = AB araba dörtgen = AB çünkü 0o = ABTam tersine BA = BA araba dörtgen = BA çünkü 0o = BA
(Şununla karıştırılmamalısınız) AB oyleyse BA. Büyük AB = büyük BAÖrneğin, vektörün büyüklüğü A = 2. vektörün büyüklüğü B = 3. o zaman AB = 2.3 = 6; bu, şununla aynıdır: BA = 3.2 = 6.
5. Aynı yönde olan iki vektör için bir diğer koşul, eğer A = B ise AA = A² veya BB = B² elde etmektir.
6. Eğer A ve B vektörleri zıt yönlerdeyse (iki vektör zıt yönlerde olduğunda oluşan açı 180º'dir) , o zaman AB = AB cos 180º = AB (-1) = -AB çarpımının sonucu olur .
Kosinüs 180º = -1.
Örnek problemler:
A vektörünün büyüklüğü 4 birim, B vektörünün büyüklüğü ise 3 birimdir. İki vektörün oluşturduğu açılar sırasıyla 60º, 90º ve 180º ise, bu iki vektörün nokta çarpımını belirleyiniz.
Pembahasan
AB = BA olduğundan , ikisinden birini kullanmayı seçebiliriz. Örneğin, AB'yi kullanırız.
AB = AB cos teta
A'nın boyutu 4 birim, B'nin boyutu ise 3 birimdir.
