Arşimet Yasası Materyali
Hiç gemi gördünüz mü? Eğer şahsen görmediyseniz, umarım televizyonda veya internette görmüşsünüzdür. Çok büyük kütleli bir gemi batmazken, küçük ve hafif bir kaya batabilir. Bunun sebebi nedir? Eğer kaldırma kuvveti ve Arşimet prensibi kavramlarını anlıyorsanız, cevap oldukça basittir.
Günlük hayatta, bir sıvının içine konulan nesnelerin, örneğin bir taşın, sıvının dışında olduklarından daha az ağırlığa sahip olduğunu görürüz. Bir taşı yerden kaldırmakta zorlanabilirsiniz, ancak aynı taş havuzun dibinden kolayca kaldırılabilir. Bunun nedeni kaldırma kuvvetidir. Kaldırma kuvveti, farklı derinliklerdeki sıvı basıncı farkından kaynaklanır. Sıvı basıncı derinlikle artar; sıvı ne kadar derindeyse, sıvı basıncı da o kadar yüksek olur. Bir nesne bir sıvının içine konulduğunda, nesnenin üzerindeki sıvı ile altındaki sıvı arasında bir basınç farkı olacaktır. Nesnenin altındaki sıvının basıncı, nesnenin üstündeki sıvının basıncından daha yüksektir.
Yüzdürme
Resimde, suda yüzen bir cisim görülmektedir. Cismin altındaki sıvının basıncı, cismin üstündeki sıvının basıncından daha yüksektir. Bunun nedeni, cismin altındaki sıvının derinliğinin, cismin üstündeki sıvının derinliğinden daha fazla olmasıdır (h).2 > h1).
F 2 = sıvının cismin alt kısmına uyguladığı kuvvet, F 1 = sıvının cismin üst kısmına uyguladığı kuvvet, A = cismin yüzey alanı
F2 ve F1 arasındaki fark , sıvının cisim üzerine uyguladığı toplam kuvvettir ve biz buna kaldırma kuvveti diyoruz. Kaldırma kuvvetinin büyüklüğü şöyledir:
F kaldırma kuvveti = F 2 − F 1
F kaldırma kuvveti = (ρ gh 2 A ) − (ρ gh 1 A)
F float = ρ g A ( h 2 − h 1 )
F kaldırma kuvveti = ρ g A h
F kaldırma kuvveti = ρ g V
Bilgi:
ρ = akışkan yoğunluğu
g = yerçekimi ivmesi
V = cismin sıvı içindeki hacmi
Böylece, yukarıda verilen kaldırma kuvvetinin (F kaldırma kuvveti) büyüklüğünü ifade eden denklem şu şekilde yazılabilir:
F float = ρ F g V → m = ρ V
F kaldırma kuvveti = m F g
F kaldırma kuvveti = w F
m F g = w F = batırılan cismin hacmiyle aynı hacme sahip sıvının ağırlığı.
Arşimet Prensibi
Yukarıdaki denkleme dayanarak, kaldırma kuvvetinin yer değiştiren sıvının ağırlığına, yer değiştiren sıvının hacminin ise sıvıya batırılan cismin hacmine eşit olduğunu söyleyebiliriz.
Bir cisim bir sıvıya batırıldığında ve cismin sadece bir kısmı suya batmış halde yüzüyorsa, yer değiştiren sıvının hacmi, cismin sıvıya batmış kısmının hacmine eşittir. Cismin şekli veya boyutu ne olursa olsun, aynı şey tüm cisimler için geçerlidir. Bu, Arşimet'in (MÖ 287-212) çalışmasıdır ve günümüzde Arşimet Prensibi olarak bilinmektedir.
Arşimet ilkesi şunu belirtir:
Bir cisim tamamen veya kısmen bir sıvıya batırıldığında, sıvı cisme yukarı doğru bir kuvvet (kaldırma kuvveti) uygular; bu yukarı doğru kuvvetin (kaldırma kuvvetinin) büyüklüğü, yer değiştiren sıvının ağırlığına eşittir.
Arşimet'in Hikayesi
MÖ 287 ile 212 yılları arasında yaşamış olan Arşimet, Kral II. Hieron tarafından kral için yaptırılan tacın saf altından olup olmadığını araştırmakla görevlendirilmişti. Arşimet başlangıçta tacın saf altından mı yoksa başka metaller mi içerdiğinden emin değildi. Sorun, tacın düzensiz bir şekle sahip olması ve saf altından olup olmadığını belirlemek için yok edilememesiydi.
Bir kralın tacının saf altından yapılıp yapılmadığını belirlemenin ardındaki fikir, öncelikle tacın özgül ağırlığını belirlemek ve ardından bunu altının özgül ağırlığıyla karşılaştırmaktır. Eğer taç saf altından yapılmışsa, tacın özgül ağırlığı = altının özgül ağırlığıdır.
Bir cismin özgül ağırlığı, cismin havadaki ağırlığının, cisimle aynı hacme sahip sudaki ağırlığına oranıdır. Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:
Hacmi bir cismin hacmiyle aynı olan suyun ağırlığı nasıl belirlenir?
Arşimet'e göre, cismin hacmiyle aynı hacme sahip suyun ağırlığı, cismin batması (cismin tamamının suya batırılması) sırasında oluşan kaldırma kuvvetinin büyüklüğüne eşittir. Bu, cismin suda tartıldığında kaybettiği ağırlıkla aynıdır. Dolayısıyla:
Tacın özgül ağırlığını belirlemek için, taç önce havada tartılır (Tacın Havadaki Ağırlığı). Ardından taç suya konulur ve kayıp tacın ağırlığını elde etmek için tekrar tartılır. Yani:
Tacın özgül ağırlığı elde edildikten sonra, altının özgül ağırlığı ile karşılaştırılır. Altının özgül ağırlığı 19,3'tür. Eğer tacın özgül ağırlığı altının özgül ağırlığına eşitse, taç saf altından yapılmıştır. Ancak, taç saf altından yapılmamışsa, tacın özgül ağırlığı altının özgül ağırlığı ile aynı olmayacaktır.
Gemiler neden batmaz?
Bir cismin yoğunluğu suyun yoğunluğundan küçükse, cisim yüzer. Tersine, bir cismin yoğunluğu suyun yoğunluğundan büyükse, cisim batar. Çoğu gemi demir ve çelikten yapılmıştır. Demir ve çeliğin yoğunluğu = 7,8 x 10³ kg /m³ iken suyun yoğunluğu = 1,00 x 10³ kg /m³'tür . Demir ve çeliğin yoğunluğunun suyun yoğunluğundan büyük olduğu görülmektedir. Bu durumda, demir ve çeliğin özgül ağırlığı = 7,8'dir. Demir ve çelikten yapılmış gemiler batmalıdır. Peki gemiler neden batmaz? Geminin toplam yoğunluğu, suyun veya deniz suyunun yoğunluğundan daha küçüktür.
Arşimet yasası ile ilgili örnek sorular
Örnek soru 1:
Havuzun dibinde 40 kg ağırlığında bir kaya bulunmaktadır. Kayanın hacmi 0,2 m³ ise , kayayı kaldırmak için gereken minimum kuvvet nedir ?
Pembahasan
Şunlar bilinmektedir:
Taşın kütlesi (m) = 40 kg
Taşın hacmi (V) = 0,02 m³
Suyun yoğunluğu = 1000 kg/ m³
Yerçekimi ivmesi (g) = 10 m/ s²
Sorulan soru: F minimum
Cevap :
F kaldırma kuvveti = w F
F kaldırma kuvveti = m F g → m = pV
F kaldırma kuvveti = ρ F g V
Kaldırma kuvveti F = (1000 kg/m³ ) (10 m/s² ) (0,02 m³ )
Kaldırma kuvveti F = 200 kg m/ s²
Kaldırma kuvveti F = 200 N
Taşın ağırlığı (w) = mg
Taşın ağırlığı = (40 kg)(10 m/ s² )
Taşın ağırlığı = 400 kg m/ s²
Taşın ağırlığı = 400 N
Bir taşı kaldırmak için gereken minimum kuvvet:
Taşın ağırlığı – Kaldırma kuvveti = 400 N – 200 N = 200 Newton.
Örnek soru 2:
Bir cismin havadaki ağırlığı 5000 kg m/s² ve sudaki ağırlığı 4000 kg m/s²'dir . Cismin yoğunluğu 2000 kg/m³ ise , cismin kütlesi ve hacmi nedir? g = 10 m/ s²
Pembahasan
Yerçekimi ivmesi (g) = 10 m/ s²
Nesnenin yoğunluğu = 2000 kg/ m³
Suyun yoğunluğu = 1000 kg/ m³
Cismin havadaki ağırlığı = 5000 kg m/ s²
Suyun içindeki cismin ağırlığı = 4000 kg m/ s²
Kaldırma kuvveti (Fbuoyant) = Cismin havadaki ağırlığı – Cismin sudaki ağırlığı
Kaldırma kuvveti F = 5000 kg m/s² – 4000 kg m/ s²
Kaldırma kuvveti F = 1000 kg m/ s²
Kaldırma kuvveti F = Yer değiştiren suyun ağırlığı
Kaldırma kuvveti F = (suyun kütlesi)(g)
Kaldırma kuvveti F = (yer değiştiren suyun hacmi)(suyun yoğunluğu)(g)
Yer değiştiren suyun hacmi = Suya batırılan cismin hacmi 😉
Dolayısıyla cismin hacmi = 0,1 m³
Nesnenin kütlesi = ?
ρ = m / V
m = ρ V
m = ( 2000 kg / m3 ) ( 0,1 m3 )
m = 200 Kg
Cismin kütlesi = 200 kg
Örnek soru 3:
Bir balonun 500 kg yükü kaldırması için ne kadar helyum gerekir?
Pembahasan
Helyum yoğunluğu = 0,1786 kg/ m³
Hava yoğunluğu = 1,293 kg/ m³
Kaldırma kuvveti = Yer değiştiren havanın ağırlığı = Yükün ağırlığı + Helyumun ağırlığı
Kaldırma kuvveti = Yükün ağırlığı + helyumun ağırlığı
Kaldırma kuvveti = (yükün kütlesi)(g) + (helyumun kütlesi)(g)
Kaldırma kuvveti = (yükün kütlesi + helyumun kütlesi)g —- denklem 1
Kaldırma kuvveti = Yer değiştiren havanın ağırlığı
Kaldırma kuvveti = (yer değiştiren havanın kütlesi)(g) —- denklem 2
1. ve 2. denklemleri birleştiriyoruz:
(Yükün kütlesi + Helyumun kütlesi)(g) = (Yer değiştiren havanın kütlesi)(g)
Yükün kütlesi + helyumun kütlesi = yer değiştiren havanın kütlesi
500 kg + (ρ helyum)(V helyum) = (ρ hava)( V hava)
500 kg = (ρ hava)(V hava) – (ρ helyum)( V helyum)
Yer değiştiren havanın hacmi (V hava) = Balonu dolduran helyumun hacmi (V helyum)
500 kg = (ρ hava – ρ helyum)(V)
Bu, Dünya yüzeyinde bir ağırlığı kaldırmak için gereken minimum helyum hacmidir. Balonun daha yükseğe çıkabilmesi için helyum hacminin artırılması gerekir. Çünkü hava yoğunluğu yükseklik arttıkça azalır.
