Grup Verilerinin Varyansı ve Standart Sapması Hakkında Örnek Sorular
giriiş
İstatistik biliminde varyans ve standart sapma, verilerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını veya dağıldığını anlamak için çok önemli iki istatistiksel ölçüdür. Varyans, verilerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını ölçerken, standart sapma varyansın kareköküdür ve orijinal verilerle aynı birimlerde bir ölçü sağlar.
tanım
– Varyans (σ² veya S²): Her bir veri değeri ile verilerin ortalaması arasındaki farkların karelerinin ortalamasıdır.
– Standart Sapma (σ veya S): Varyansın kareköküdür.
Grup Verilerinin Varyansı ve Standart Sapması için Formül
Grup verileri için, her sınıftaki verilerin sıklığını kullanırız. İşte formül:
Varian
\[ S^2 = \frac{ \sum f_i \left( x_i – \bar{x} \right)^2 }{ N-1 } \]
Standart Sapma
\[ S = \sqrt{S^2} \]
Nerede:
– \( f_i \) = her sınıfın frekansı.
– \( x_i \) = her sınıfın orta noktası.
– \( \bar{x} \) = grup verilerinin ortalaması.
– \( N \) = toplam veri sayısı.
Contoh Soal ve Pembahasan
Varsayalım ki, sınıflara ayrılmış bir grup insanın ağırlık verilerine sahibiz.
| Ağırlık Aralığı (kg) | Frekans (frekans) |
|———————|————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |
İlk adım, her sınıfın orta noktasını ( \( x_i \) ) belirlemek ve ardından ortalamayı (\( \bar{x} \)) hesaplamaktır.
1. Orta Noktanın ( \( x_i \) ) Hesaplanması
\[ \text{Orta nokta} = \frac{\text{Alt sınır} + \text{Üst sınır}}{2} \]
| Ağırlık Aralığı (kg) | Frekans (f) | Orta Nokta ( \( x_i \) ) |
|——————|————–|————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |
2. Ortalamanın Hesaplanması ( \( \bar{x} \) )
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{ N } \]
Toplam veri sayısı \( N \):
\[ N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
\[ \sum f_i x_i = (2 \times 52) + (5 \times 57) + (8 \times 62) + (7 \times 67) + (3 \times 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
Dolayısıyla, ortalama (\( \bar{x} \)):
\[ \bar{x} = \frac{ 1570 }{ 25 } = 62.8 \]
3. Varyansın Hesaplanması ( \( S^2 \) )
\( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \) ifadesini hesaplamamız gerekiyor:
\[
\begin{align }
(x_i – \bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{align}
\]
Frekansla çarpma:
\[
\begin{align }
f_i (x_i – \bar{x})^2: & 2 \times 118.84 = 237.68 \\
& 5 × 33.64 = 168.2
& 8 × 0.64 = 5.12
& 7 × 17.64 = 123.48
& 3 × 84.64 = 253.92
\end{align}
\]
\[
\sum f_i (x_i – \bar{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
Şimdi varyansı (\( S^2 \)) hesaplayabiliriz:
\[ S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } \approx 32.85 \]
4. Standart Sapmanın Hesaplanması ( \( S \) )
Standart sapma ( \( S \)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
\[ S = \sqrt{ 32.85 } \approx 5.73 \]
Sonuç
Yukarıdaki örnek verilerden şunları elde ediyoruz:
– Ortalama vücut ağırlığının hesaplanması: 62.8 kg
– Varyans hesaplaması: 32.85 kg²
– Standart sapmanın hesaplanması: 5.73 kg
Standart sapmanın yorumu, ağırlık verilerinin ortalamadan ortalama sapmasının yaklaşık 5.73 kg olduğudur. Bu, verilerin ortalamaya göre yayılımını gösterir ve verilerimizin ne kadar değişken olduğunu anlamamıza yardımcı olabilir.
Varyans ve standart sapmanın kapsamlı bir şekilde anlaşılması, özellikle istatistik, araştırma ve test alanlarında çalışanlar için çok önemlidir; çünkü bu kişiler verileri gruplar veya dağılımlar şeklinde anlamaya çalışırlar. Bu iki ölçüyü hesaplamayı ve yorumlamayı bilmek, eldeki verilere dayanarak daha iyi karar vermeye yardımcı olabilir.
