Ürün Moment Korelasyonuna İlişkin Örnek Sorular ve Tartışma
Ürün-Moment Korelasyonu, diğer adıyla Pearson Korelasyonu, iki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin gücünü ve yönünü ölçmek için kullanılan istatistiksel bir yöntemdir. Bu yöntem, akademik araştırmalardan işletme analizine ve doğa bilimlerindeki deneylerin değerlendirilmesine kadar çeşitli alanlarda faydalıdır. Bu makalede, Ürün-Moment Korelasyonunu hesaplamak için çeşitli örnek problemler ve çözümleri ele alınacaktır.
giriiş
Örnek sorulara geçmeden önce, Ürün Moment Korelasyonu'nun temel kavramını anlamak faydalı olacaktır. Pearson korelasyon katsayısını (\(r\)) hesaplamak için kullanılan genel formül şöyledir:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
Dimana:
– \( n \) veri çiftlerinin sayısıdır.
– \( \sum{XY} \) ifadesi, \( X \) ve \( Y \)'nin çarpımlarının toplamıdır.
– \( \sum{X} \) değişkenlerin \( X \) toplamıdır.
– \( \sum{Y} \) değişkenlerin \( Y \) toplamıdır.
– \( \sum{X^2} \) değişken \( X \)'in karelerinin toplamıdır.
– \( \sum{Y^2} \) değişkenin \( Y \) karelerinin toplamıdır.
Pearson korelasyon katsayısı (\( r \)) her zaman -1 ile 1 arasındadır. Pozitif korelasyon, her iki değişkenin de aynı yönde hareket ettiğini gösterirken, negatif korelasyon bir değişken artarken diğerinin azaldığını gösterir. Eğer \( r = 0 \) ise, iki değişken arasında doğrusal bir korelasyon yoktur.
Örnek Soru 1
Veri
Aşağıda 5 öğrencinin matematik ve fizik sınav sonuçları yer almaktadır:
| Öğrenci | Matematik (X) | Fizik (Y) |
|——-|——————-|————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Çözüm Adımları
1. Önemli Bileşenlerin Hesaplanması:
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Formüle şunları girin:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Sonuçların Hesaplanması:
– Pay: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– Payda:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \approx \sqrt{976856} \approx 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \approx 0.633 \]
Dolayısıyla, matematik ve fizik test puanları arasındaki Pearson korelasyon katsayısı 0.633'tür; bu da iki değişken arasında orta düzeyde pozitif bir korelasyon olduğunu gösterir.
Örnek Soru 2
Veri
Aşağıda bir şirketin 6 aylık satış değeri ve reklam harcamalarına ilişkin veriler yer almaktadır:
| Ay | Reklam (X) | Satış (Y) |
|——-|————–|——————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Çözüm Adımları
1. Önemli Bileşenlerin Hesaplanması:
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Formüle şunları girin:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Sonuçların Hesaplanması:
– Pay: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– Payda:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \approx \sqrt{9343200000000} \approx 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \approx 0.981 \]
Dolayısıyla, reklam harcamaları ile satış değeri arasındaki Pearson korelasyon katsayısı 0.981'dir; bu da iki değişken arasında çok güçlü bir pozitif korelasyon olduğunu göstermektedir.
Sonuç
Pearson korelasyon katsayısı (\(r\)), iki değişken arasındaki doğrusal ilişkiyi anlamak için çok kullanışlı bir araçtır. Verilen örneklerde, \(r\) değerinin nasıl hesaplanacağını ve yorumlanacağını görüyoruz. Daha yüksek bir korelasyon (1 veya -1'e daha yakın) daha güçlü bir ilişkiyi gösterirken, daha düşük bir korelasyon (0'a daha yakın) daha zayıf bir ilişkiyi gösterir. Korelasyonun nedensellik anlamına gelmediğini, sadece iki değişken arasında bir ilişki olduğunu gösterdiğini belirtmek önemlidir.
