Açısal Momentum Problemlerine İlişkin 7 Örnek
Açısal Momentum
1. Bir nesne şunlara sahiptir: eylemsizlik momenti 2 kg m2 ve sabit bir eksen etrafında döner. açısal hız 1 rad/s. Ne kadar? açısal momentum o nesne mi?
Pembahasan
Şunlar bilinmektedir:
Eylemsizlik momenti (I) = 2 kg m2
Açısal hız (ω) = 1 rad/s
Soruldu: Açısal momentum (L)
Cevap :
Açısal momentum formülü:
L = I ω
Açıklama: L = açısal momentum (kg m)2/s), I = eylemsizlik momenti (kg m)2), ω = açısal hız (rad/s)
Açısal momentum:
L = I ω = (2)(1) = 2 kg m2/s
2. Katı bir disk şeklindeki makaranın kütlesi 2 kg ve yarıçapı 0,1 metredir. Makara kendi ekseni etrafında saniyede 2 radyanlık sabit bir açısal hızla dönüyorsa, makaranın açısal momentumu nedir?
Pembahasan
Şunlar bilinmektedir:
Katı disk kasnağının kütlesi (m) = 2 kilogram
Katı disk kasnağının yarıçapı (r) = 0,1 metre
Açısal hız (ω) = 2 radyan/saniye
Soruldu: Kasnağın açısal momentumu
Cevap :
Resimde gösterildiği gibi bir eksen etrafında dönen katı bir diskin eylemsizlik momentinin formülü şöyledir:
Ben = 1/2 mr2
Açıklama: I = eylemsizlik momenti (kg m)2), m = kütle (kg), r = yarıçap (metre)
Katı bir diskin eylemsizlik momenti:
I = 1/2 (2)(0,1)2 = (1)(0,01) = 0,01 kg m2
Açısal momentum:
L = I ω = (0,01)(2) = 0,02 kg m2/s
3. Kütlesi 2 kg ve yarıçapı 0,2 metre olan katı bir küre, kendi ekseni etrafında 4 rad/s açısal hızla dönmektedir. Katı kürenin açısal momentumunu belirleyiniz!
Pembahasan
Şunlar bilinmektedir:
Katı bir topun kütlesi (m) = 2 kilogram
Katı kürenin yarıçapı (r) = 0,2 metre
Açısal hız (ω) = 4 radyan/saniye
Soruldu: Katı bir kürenin açısal momentumu
Cevap :
Resimde gösterildiği gibi bir eksen etrafında dönen katı bir kürenin eylemsizlik momentinin formülü şöyledir:
Ben = (2/5) bay2
Açıklama: I = eylemsizlik momenti (kg m)2), m = kütle (kg), r = yarıçap (metre)
Katı bir kürenin eylemsizlik momenti:
I = (2/5)(2)(0,2)2 = (4/5)(0,04) = 0,032 kg m2
Katı bir kürenin açısal momentumu:
L = I ω = (0,032)(4) = 0,128 kg m2/s
4. Kütlesi 1 kg olan bir cisim, saniyede 2 rad'lık sabit bir açısal hızla dairesel bir yörüngede hareket etmektedir. Cismin yörüngesinin yarıçapı 10 cm ise, açısal momentumunu belirleyiniz.
Pembahasan
Şunlar bilinmektedir:
Cismin kütlesi (m) = 1 kilogram
Katı kürenin yarıçapı (r) = 10 cm = 10/100 = 0,1 metre
Açısal hız (ω) = 2 radyan/saniye
Soruldu: Açısal momentum
Cevap :
Bir parçacığın eylemsizlik momentinin formülü:
Ben = Bay2 = (1)(0,1)2 = (1)(0,01) = 0,01 kg m2
Açısal momentum:
L = I ω = (0,01)(2) = 0,02 kg m2/s
Açısal momentumun korunumu yasası
5. Homojen katı silindirik bir disk başlangıçta kendi ekseni etrafında 5 rad/s açısal hızla dönmektedir. Diskin düzlemi yatay düzleme paraleldir. Diskin kütlesi ve yarıçapı sırasıyla 2 kg ve 0,2 metredir. Eğer 0,1 kg kütleli ve 0,2 metre yarıçaplı bir halka, diskin üzerine, halkanın merkezi diskin merkezinin tam üzerinde olacak şekilde yerleştirilirse, disk ve halka birlikte hangi açısal hızla dönecektir?
Pembahasan
Şunlar bilinmektedir:
Katı silindirin kütlesi (m)1) = 2 kilogram
Katı bir silindirin yarıçapı (r1) = 0,2 metre
Katı bir silindirin açısal hızı (ω1) = 5 rad/s
Halka kütlesi (m)2) = 0,1 kilogram
Halka yarıçapı (r)2) = 0,2 metre
Soruldu: Silindirlerin ve halkaların açısal hızı
Cevap :
Katı silindirin eylemsizlik momenti: I = 1⁄2 m1 r12 = 1⁄2 (2)(0,2)2 = (1)(0,04) = 0,04 kg m2
Halkanın eylemsizlik momenti: I = mr2 = (0,1)(0,2)2 = (0,1)(0,04) = 0,004 kg m2
Katı silindir ve halkanın eylemsizlik momenti (I) = 0,04 + 0,004 = 0,044 kg m2
Başlangıç açısal momentumu (L1) = Son açısal momentum (L2)
I1 ω1 = Ben2 ω2
(0,04)(5) = (0,044)(ω2)
(0,2) = (0,044)(ω2)
ω2 = 0,2: 0,044
ω2 = 4,5 rad / s
6. Bir bale dansçısı kollarını 150 cm uzunluğunda ve saniyede 10 radyanlık açısal hızla açıyor. Ardından dansçı kollarını dirseklerinden 75 cm uzunluğa kadar katlıyor. Son açısal hız nedir?
Pembahasan
Şunlar bilinmektedir:
Yarıçap 1 (r1) = 150 cm = 1,5 metre
Yarıçap 2 (r2) = 75 cm = 0,75 metre
Açısal hız 1 (ω1) = 10 rad/s
Soruldu: Açısal hız 2 (ω2)
Cevap :
İlk eylemsizlik momenti: I1 = Bay12 = (m)(1,5)2 = 2,25 m
Son eylemsizlik momenti: I2 = Bay22 = (m)(0,75)2 = 0,5625 m
Başlangıç açısal momentumu (L1) = Son açısal momentum (L2)
I1 ω1 = Ben2 ω2
(2,25 m)(10) = (0,5625 m)(ω2)
22,5 m = (0,5625 m)(ω2)
22,5 = (0,5625)(ω2)
ω2 = 22,5/0,5625
ω2 = 40 rad / s
7. Homojen katı silindirik bir disk başlangıçta kendi ekseni etrafında 4 rad/s açısal hızla dönmektedir.-1Diskin kütlesi ve yarıçapı sırasıyla 1 kg ve 0,5 m'dir. Eğer kütlesi ve yarıçapı sırasıyla 0,2 kg ve 0,1 m olan bir halka diskin üzerine yerleştirilirse ve halkanın merkezi tam olarak katı silindirik diskin merkezinin üzerinde bulunursa, katı silindirik disk ve halka birlikte açısal bir hızla dönecektir...
A. 1 rad/s
B. 2 rad/s
C. 3 rad/s
D. 4 rad/s
E. 5 rad/s
Pembahasan :
Eylemsizlik Momenti Katı silindir: I = ½ mr2 = ½ (1 kg)(0,5 m)2 = (0,5)(0,25) = 0,125 kg m2
Halkanın eylemsizlik momenti: I = mr2 = (0,2 kg)(0,1 m)2 = (0,2)(0,01) = 0,002 kg m2
Başlangıç Açısal Momentum (L1) = Son Açısal Momentum (L2)
I1 ω1 = Ben2 ω2
(0,125 kg m2)(4 rad/s) = (0,125 kg m2 + 0,002 kg m2)(ω2)
(0,5) = (0,127)(ω2)
ω2 = 0,5: 0,127
ω2 = 4 rad / s
Doğru cevap D şıkkıdır.
