การประยุกต์ใช้หลักการของเบอร์นูลลีและสมการของเบอร์นูลลี

บทความเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้หลักการของเบอร์นูลลีและสมการของเบอร์นูลลี

ทฤษฎีบทของทอร์ริเชลลี

หนึ่งในประโยชน์ของการใช้สมการของเบอร์นูลลีคือการคำนวณความเร็วของของเหลวที่ไหลออกจากก้นภาชนะ (ดูรูปประกอบ)

เราใช้สมการของเบอร์นูลลีที่จุดที่ 1 (ผิวของภาชนะ) และจุดที่ 2 (ผิวของรู) เนื่องจากเส้นผ่านศูนย์กลางของรูที่ก้นภาชนะเล็กกว่าเส้นผ่านศูนย์กลางของภาชนะมาก ความเร็วของของเหลวบนผิวของภาชนะจึงถือว่าเท่ากับศูนย์ (v ₁ = 0) ผิวของภาชนะและผิวของรูเปิดอยู่ ดังนั้นความดันจึงเท่ากับความดันบรรยากาศ (P ₁ = P ₂ ) ดังนั้น สมการของเบอร์นูลลีสำหรับกรณีนี้คือ:

หากเราต้องการคำนวณความเร็วของการไหลของของเหลวในรูที่ก้นภาชนะ สมการนี้จะเปลี่ยนเป็น:

เนื่องจากความหนาแน่นของของเหลวมีค่าเท่ากัน จึงไม่จำเป็นต้องใช้ ρ

จากสมการนี้ ความเร็วของการไหลของน้ำในรูที่อยู่ลึกจากผิวน้ำของภาชนะจะเท่ากับ...

ความเร็วของการไหลของน้ำที่ตกลงมาอย่างอิสระเป็นระยะทางเท่ากับ h (เปรียบเทียบกับการเคลื่อนที่แบบตกอิสระ) นี่คือสิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีบทของทอร์ริเชลลี ทฤษฎีบทนี้ถูกค้นพบโดยทอร์ริเชลลี ศิษย์ของกาลิเลโอ หนึ่งศตวรรษก่อนที่เบอร์นูลลีจะค้นพบสมการนี้

ผล Venturi

นอกจากทฤษฎีบทของทอร์ริเชลลีแล้ว สมการของเบอร์นูลลียังสามารถนำไปใช้กับกรณีพิเศษอื่นๆ ได้อีกด้วย กล่าวคือ เมื่อของเหลวไหลในท่อที่มีความสูงเกือบเท่ากัน เพื่อให้เข้าใจคำอธิบายนี้ โปรดสังเกตภาพด้านล่าง

จากรูปข้างต้น จะเห็นได้ว่าความสูงของท่อ ทั้งส่วนของท่อที่มีพื้นที่หน้าตัดขนาดใหญ่และ

ส่วนของท่อที่มีพื้นที่หน้าตัดเล็กนั้นเกือบจะเหมือนกันทุกประการ ดังนั้นความสูงจึงเท่ากัน หากนำสมการของเบอร์นูลลีมาใช้ในกรณีนี้ จะเปลี่ยนเป็น:

เมื่อของเหลวไหลผ่านส่วนแคบของท่อ (A ₂ ) อัตราการไหลของของเหลวจะเพิ่มขึ้น ตามหลักการของเบอร์นูลลี หากความเร็วของของเหลวเพิ่มขึ้น ความดันของของเหลวจะลดลง ความดันของของเหลวในส่วนที่แคบของท่อจะต่ำกว่า แต่ปริมาณการไหลของของเหลวจะสูงกว่า

ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าปรากฏการณ์เวนทูริ ซึ่งแสดงให้เห็นในเชิงปริมาณว่า หากอัตราการไหลของของเหลวสูง ความดันของของเหลวจะน้อยลง ในทำนองเดียวกัน หากอัตราการไหลของของเหลวต่ำ ความดันของของเหลวจะสูงขึ้น

เวนจูรี่มิเตอร์

หนึ่งในแอปพลิเคชันที่น่าสนใจของปรากฏการณ์เวนทูรีคือ เครื่องวัดเวนทูรี เครื่องมือนี้ใช้ในการวัดอัตราการไหลของของเหลว เช่น การคำนวณอัตราการไหลของน้ำหรือน้ำมันที่ไหลผ่านท่อ มีเครื่องวัดเวนทูรีสองประเภท ได้แก่ เครื่องวัดเวนทูรีที่ไม่มีมาโนมิเตอร์ และเครื่องวัดเวนทูรีที่ใช้มาโนมิเตอร์ซึ่งบรรจุของเหลวอื่น เช่น ปรอท หลักการทำงานเหมือนกัน

เครื่องวัดเวนทูรีแบบไม่มีมาโนมิเตอร์

ภาพด้านล่างแสดงเครื่องวัดอัตราการไหลแบบเวนทูรี ซึ่งใช้ในการวัดอัตราการไหลของของเหลวในท่อ

เมื่อของเหลวไหลผ่านส่วนเล็กๆ ของท่อ (A2 ₎ อัตราการไหลของของเหลวจะเพิ่มขึ้น ตามหลักการของเบอร์นูลลี ถ้าอัตราการไหลของของเหลวเพิ่มขึ้น ความดันของของเหลวจะลดลง ดังนั้น ความดันของของเหลวในส่วนที่ใหญ่กว่าจึงมากกว่าความดันของของเหลวในส่วนที่เล็กกว่า (P1 _{> P2} ) หรือ_v2 > _v1

เนื่องจาก P ₁ > P ₂ และ v ₂ > v ₁ ดังนั้นสมการนี้สามารถเปลี่ยนเป็น:

สมการที่ 1

สมการความต่อเนื่อง:

สมการที่ 2

สิ่งที่ต้องการหาคืออัตราการไหลของของเหลวในพื้นที่หน้าตัดขนาดใหญ่ (v ₁ ) เราแทนที่ v ₂ในสมการ 1 ด้วย v ₂ในสมการ 2

สมการที่ 3

ในการคำนวณความดันของของเหลวที่ระดับความลึกที่กำหนด ให้ใช้สมการต่อไปนี้:

p = ρ gh → สมการ a

ถ้าความแตกต่างของความหนาแน่นของของเหลวมีน้อยมาก ให้ใช้สมการนี้เพื่อกำหนดความแตกต่างของความดันที่ระดับความสูงต่างๆ ดังนั้น สมการ a สามารถเปลี่ยนเป็น:

Δ p = ρ g Δh

สำหรับกรณีข้างต้น สมการนี้สามารถเปลี่ยนเป็น:

p ₁ − p ₂ = ρ gh → สมการ b

ต่อไปเราจะแทนค่า p ₁ – p ₂ ในสมการ 3 ด้วยค่า p ₁ – p ₂ ในสมการ b:

เนื่องจากของเหลวเป็นชนิดเดียวกัน ความหนาแน่นจึงเท่ากันด้วย ตัด ρ ออกจากสมการ

ท่อ Pitot

หากใช้เครื่องวัดเวนทูรีในการวัดอัตราการไหลของของเหลว จะใช้ท่อพิโทต์ในการวัดอัตราการไหลของก๊าซหรืออากาศ รูที่จุด 1 ขนานกับทิศทางการไหลของอากาศ ตำแหน่งของรูทั้งสองนี้อยู่ห่างจากปลายท่อพิโทต์มากพอที่จะทำให้อัตราการไหลและความดันของอากาศภายนอกรูเท่ากับอัตราการไหลและความดันของอากาศที่ไหลอย่างอิสระ ในกรณีนี้ v₁ = อัตราการไหลของอากาศที่ไหลอย่างอิสระ (นี่คือสิ่งที่เราจะวัด) และความดันที่ขาซ้ายของมาโนมิเตอร์ (ท่อซ้าย) = ความดันอากาศที่ไหลอย่างอิสระ (P)₁).

รูที่นำไปสู่ฐานด้านขวาของมาโนมิเตอร์ตั้งฉากกับทิศทางการไหลของอากาศ ดังนั้น อัตราการไหลของอากาศผ่านรูนี้ (ตรงกลาง) จะลดลง และอากาศจะหยุดเมื่อถึงจุดที่ 2 ในกรณีนี้ v ₂ = 0 ความดันที่ฐานด้านขวาของมาโนมิเตอร์เท่ากับความดันอากาศที่จุด 2 (P ₂ ) ความสูงของจุดที่ 1 และจุดที่ 2 เกือบเท่ากัน (ความแตกต่างไม่มากนัก) ดังนั้นจึงสามารถละเลยได้

ความแตกต่างของความดัน (P ₂ – P ₁ ) = ความดันไฮโดรสแตติกของของเหลวในมาโนมิเตอร์ (สีดำในมาโนมิเตอร์คือของเหลวปรอท) สามารถเขียนทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้:

p ₂ – p ₁ = ρ 'gh → สมการ 2

ρ ' = ความหนาแน่นของของเหลวในมาโนมิเตอร์

สมการที่ 1 และสมการที่ 2 ส่วนด้านซ้ายเหมือนกัน (P ₂ – P ₁ ) ดังนั้น สมการที่ 1 และ 2 สามารถเปลี่ยนเป็น:

ดื่มโดยใช้หลอดหยด

คุณเคยดื่มน้ำโดยใช้หลอดหยดไหม? เมื่อเราดูดน้ำโดยใช้หลอดหยด อากาศในหลอดหยดจะเคลื่อนที่เร็วขึ้น ในกรณีนี้ อากาศในหลอดหยดที่อยู่ใกล้ปากของเราจะมีอัตความเร็วสูงกว่า ส่งผลให้ความดันอากาศในส่วนของหลอดหยดลดลง อากาศในส่วนของหลอดหยดที่อยู่ใกล้กับเครื่องดื่มจะมีอัตความเร็วต่ำกว่า เนื่องจากความเร็วต่ำ ความดันจึงสูงขึ้น ความแตกต่างของความดันอากาศนี้ทำให้ของเหลวไหลเข้าปากเรา ในกรณีนี้ ของเหลวจะเคลื่อนที่จากส่วนของหลอดหยดที่มีความดันอากาศสูงไปยังส่วนของหลอดหยดที่มีความดันอากาศต่ำ

ปล่องไฟ

คุณเคยเห็นปล่องไฟไหม? ทำไมควันถึงลอยขึ้นไปในปล่องไฟได้? ประการแรก ควันจากการเผาไหม้มีอุณหภูมิสูง เนื่องจากอุณหภูมิสูง ความหนาแน่นของอากาศจึงน้อย อากาศที่มีความหนาแน่นน้อยจึงลอยหรือเคลื่อนที่ขึ้นไปได้ง่าย เหตุผลไม่ได้มีเพียงแค่นี้ หลักการของเบอร์นูลลีก็มีส่วนเกี่ยวข้องในปัญหานี้ด้วย

ประการที่สอง หลักการของเบอร์นูลลีกล่าวว่า ถ้าอัตราการไหลของอากาศสูง ความดันจะต่ำ ในทางกลับกัน ถ้าอัตราการไหลของอากาศต่ำ ความดันจะสูง ปลายปล่องไฟอยู่กลางแจ้ง มีลมพัดที่ด้านบนของปล่องไฟ ทำให้ความดันอากาศรอบๆ ต่ำลง ในห้องปิด ไม่มีลมพัด ดังนั้นความดันอากาศจึงสูงขึ้น ด้วยเหตุนี้ ควันจึงไหลออกทางปล่องไฟ อากาศเคลื่อนที่จากที่ที่มีความดันอากาศสูงไปยังที่ที่มีความดันอากาศต่ำ

รูหนูในพื้นดิน

โปรดสังเกตภาพด้านล่าง นี่คือภาพรูหนูในพื้นดิน หนูเองก็รู้จักหลักการของเบอร์นูลลีเช่นกัน หนูไม่อยากตายเพราะหายใจไม่ออก ดังนั้นหนูจึงขุดรูสองรูที่ระดับความสูงต่างกัน ผลจากความแตกต่างของระดับความสูงบนพื้นผิว ทำให้เกิดการปะทะกันของอากาศ เหมือนกับน้ำที่ไหลจากท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางขนาดใหญ่ไปยังท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางขนาดเล็ก ดังนั้นความเร็วของอากาศจึงเพิ่มขึ้นและความดันอากาศลดลง

เนื่องจากความแตกต่างของความดันอากาศ อากาศจึงถูกดันให้ไหลผ่านรูหนู อากาศจะไหลจากบริเวณที่มีความดันอากาศสูงไปยังบริเวณที่มีความดันอากาศต่ำ

ปีกเครื่องบินและแรงยกแบบไดนามิก

ปัจจัยหนึ่งที่ทำให้เครื่องบินบินได้คือปีก ปีกมีรูปทรงโค้ง โดยส่วนหน้าจะหนากว่าส่วนหลัง รูปทรงปีกแบบนี้เรียกว่าแอโรฟอยล์ แนวคิดนี้เลียนแบบมาจากปีกของนก รูปทรงของปีกนกก็คล้ายกัน (ปีกนกโค้ง และส่วนหน้าหนากว่า) ความแตกต่างคือ ปีกของนกสามารถกระพือได้ ในขณะที่ปีกของเครื่องบินทำไม่ได้ นกบินได้เพราะมันกระพือปีก ทำให้มีอากาศไหลผ่านทั้งสองด้านของปีก เพื่อให้อากาศไหลผ่านทั้งสองด้านของปีกเครื่องบิน เครื่องบินต้องเคลื่อนที่ไปข้างหน้า มนุษย์ใช้เครื่องจักรในการขับเคลื่อนเครื่องบิน

ส่วนหน้าของปีกถูกออกแบบให้โค้งขึ้นด้านบน อากาศที่ไหลจากด้านล่างจะปะทะกับอากาศด้านบน เปรียบเสมือนน้ำที่ไหลจากท่อที่มีหน้าตัดกว้างไปยังท่อที่มีหน้าตัดแคบกว่า ผลที่ได้คือ อัตราการไหลของอากาศเหนือปีกจะเพิ่มขึ้น เนื่องจากเมื่ออัตราการไหลของอากาศเพิ่มขึ้น ความดันอากาศจะลดลง ในทางกลับกัน อัตราการไหลของอากาศใต้ปีกจะต่ำกว่า เพราะอากาศไม่ปะทะกัน (ความดันอากาศจึงสูงกว่า) ความแตกต่างของความดันนี้เองที่ทำให้ปีกเครื่องบินยกตัวขึ้น

หลักการของเบอร์นูลลีเป็นเพียงปัจจัยหนึ่งเท่านั้น สาเหตุอีกประการหนึ่งคือโมเมนตัม โดยปกติแล้วปีกเครื่องบินจะเอียงขึ้นเล็กน้อย อากาศที่กระทบกับพื้นผิวด้านล่างของปีกจะถูกเบี่ยงเบนลง เนื่องจากเครื่องบินมีปีกสองข้าง คือด้านซ้ายและด้านขวา อากาศที่ถูกเบี่ยงเบนลงจะชนกัน การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมระดับโมเลกุลของอากาศที่ชนกันจะทำให้เกิดแรงยกเพิ่มเติม

เนื่องจากรูปทรงของปีกโค้งลงไปทางหาง ทำให้ลมถูกปีกบังคับให้ไหลลงอีกครั้ง ตามกฎข้อที่สามของนิวตัน เนื่องจากมีแรงกระทำ จึงต้องมีแรงปฏิกิริยา เพราะปีกบังคับให้ลมลง ลมจึงต้องบังคับให้ปีกเคลื่อนที่ขึ้น ในกรณีนี้ ลมจึงเป็นแรงยกที่กระทำต่อปีก ดังนั้น การที่เครื่องบินยกตัวขึ้นจึงไม่ใช่แค่หลักการของเบอร์นูลลีเพียงอย่างเดียว