บทความเกี่ยวกับสมการของ Poiseuille
สมการของปัวซุย (Poiseuille) ถูกค้นพบโดยฌอง หลุยส์ มารี ปัวซุย (Jean Louis Marie Poiseuille) (ค.ศ. 1799-1869) ดังที่ได้อธิบายไว้แล้ว ของเหลวทุกชนิดสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นของเหลวในอุดมคติ ของเหลวในอุดมคติไม่มีความหนืด หากเราสมมติว่าของเหลวในอุดมคติไหลในท่อ แต่ละส่วนของของเหลวจะเคลื่อนที่ด้วยอัตราเดียวกัน (v) ซึ่งแตกต่างจากของเหลวในอุดมคติ ของเหลวที่เราพบเจอในชีวิตประจำวันมีความหนืด เนื่องจากมีความหนืด ดังนั้นเมื่อไหลในท่อ อัตราการเคลื่อนที่ของแต่ละส่วนของของเหลวจะแตกต่างกัน ชั้นของเหลวที่อยู่ตรงกลางจะเคลื่อนที่เร็วกว่า (v สูง) ในทางตรงกันข้าม ชั้นของเหลวที่ติดกับขอบท่อจะไม่เคลื่อนที่ (v = 0) ดังนั้นจากตรงกลางไปยังขอบท่อ แต่ละส่วนของของเหลวจะเคลื่อนที่ด้วยอัตราที่แตกต่างกัน เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น โปรดดูภาพด้านล่าง
R = รัศมีของท่อ
v 1 = อัตราการไหลของของเหลวตรงกลาง / แกนท่อ
v 2 = อัตราการไหลของของเหลวที่ระยะ r 2จากขอบท่อ
v 3 = อัตราการไหลของของเหลว r 3จากขอบท่อ
v 4 = อัตราการไหลของของเหลว r 4จากขอบท่อ
r = ระยะทาง
เพื่อให้แต่ละส่วนของของเหลวมีอัตราการไหลของเท่ากัน จะต้องมีความแตกต่างของความดันที่ปลายทั้งสองด้านของท่อหรือท่อใดๆ ที่ของเหลวไหลผ่าน ในที่นี้ ของเหลวหมายถึงของเหลวที่แท้จริง เช่น น้ำหรือน้ำมันที่ไหลผ่านท่อ เลือดที่ไหลในหลอดเลือด เป็นต้น นอกจากจะช่วยให้ของเหลวไหลได้อย่างราบรื่นแล้ว ความแตกต่างของความดันยังสามารถทำให้ของเหลวไหลในท่อที่มีความสูงต่างกันได้อีกด้วย
ฌอง หลุยส์ มารี ปัวซุย นักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้สนใจในด้านกายภาพของการไหลเวียนโลหิตในมนุษย์ ได้ทำการวิจัยเพื่อศึกษาว่าปัจจัยต่างๆ เช่น ความแตกต่างของความดัน พื้นที่หน้าตัดของท่อ และขนาดของท่อ มีผลต่ออัตราการไหลของของเหลวอย่างไร ผลลัพธ์ที่ได้จากการวิจัยของฌอง หลุยส์ มารี ปัวซุย เป็นที่รู้จักกันในชื่อสมการของปัวซุย
สมการของ Poiseuille สามารถหาได้โดยใช้สมการสัมประสิทธิ์ความหนืดที่คำนวณไว้ก่อนหน้านี้ เราใช้สมการความหนืดเพราะกรณีต่างๆ คล้ายคลึงกัน แม้ว่าจะไม่เหมือนกันก็ตาม ในการหาอนุพันธ์ของสมการสัมประสิทธิ์ความหนืด เราจะทบทวนการไหลของชั้นของไหลจริงระหว่างแผ่นขนาน 2 แผ่น และของไหลสามารถเคลื่อนที่ได้เนื่องจากแรงดึงดูด (F) ความแตกต่างคือ สมการของ Poiseuille ที่เราจะหาอนุพันธ์นั้นระบุปัจจัยที่มีอิทธิพลต่อการไหลของของไหลจริงในท่อ และการไหลของของไหลเนื่องจากความแตกต่างของความดัน ดังนั้น สมการสัมประสิทธิ์ความหนืดจึงจำเป็นต้องได้รับการปรับปรุงอีกครั้ง
ของเหลวสามารถไหลได้เนื่องจากความแตกต่างของความดัน (ของเหลวไหลจากที่ที่มีความดันสูงไปยังที่ที่มีความดันต่ำ) ดังนั้นเราจึงแทน F ด้วย p 1 – p 2 (p 1 > p 2 )
ในการหาอนุพันธ์ของสมการสัมประสิทธิ์ความหนืด เราจะพิจารณาการไหลของชั้นของเหลวจริงระหว่างแผ่นขนาน 2 แผ่น แต่ละส่วนของของเหลวจะเปลี่ยนแปลงความเร็วอย่างสม่ำเสมอไปจนถึงระยะ l ในกรณีนี้ อัตราการไหลของของเหลวจะเปลี่ยนแปลงอย่างสม่ำเสมอจากแกนกลางของท่อไปยังขอบของท่อ ของเหลวในแกนกลางของท่อจะไหลด้วยความเร็ว (v) ที่มากกว่า ยิ่งใกล้ขอบมากเท่าไหร่ ความเร็วของของเหลวก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น รัศมีของท่อ = ระยะห่างระหว่างแกนกลางของท่อกับขอบของท่อ = R ระยะห่างระหว่างแต่ละส่วนของของเหลวกับขอบของท่อ = r เนื่องจากปริมาณของแต่ละส่วนของของเหลวมีขนาดใหญ่มากและระยะห่างจากขอบของท่อก็แตกต่างกัน ดังนั้นเราจึงเขียนได้ดังนี้:
v 1 = ความเร็วของของเหลวที่ระยะ r 1จากขอบท่อ (r 1 = R)
v 2 = ความเร็วของของเหลวที่อยู่ห่างจากขอบท่อ เป็นระยะ r 2 (r 2 < r 1 )
v 3 = ความเร็วของของเหลวที่ระยะ r 3จากขอบท่อ (r 3 < r 2 < r 1 )
v 4 = ความเร็วของของเหลวที่อยู่ห่างจากขอบท่อ เป็นระยะ r 4 (r 4 < r 3 < r 2 < r 1 )
พ ..............................................
v n = อัตราการไหลของของเหลวที่ระยะ rn จากขอบท่อ (rn <…… <r 4 <r 3 <r 2 <r 1 )
ปริมาณของของเหลวแต่ละส่วนมีมาก และเราก็ไม่ทราบแน่ชัดว่าปริมาณนั้นมีเท่าใด ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะเขียนด้วยสัญลักษณ์ n ของเหลวแต่ละส่วนมีการเปลี่ยนแปลงความเร็ว (v) อย่างสม่ำเสมอ จากแกนกลางของท่อ (r 1 = R) ไปยังขอบของท่อ (rn) จากแกนกลางของท่อ (r 1 = R) ไปยังขอบของท่อ (rn) อัตราการเปลี่ยนแปลงของของเหลวแต่ละส่วนจะลดลง (v 1 > v 2 > v 3 > v 4 > …> v n )
จากคำอธิบายข้างต้น เราสามารถสรุปได้ว่า อัตราการไหลของของเหลวจะลดลงจาก R ไปยัง rn ความยาวท่อ = L สมการที่ได้:
เนื่องจากสิ่งที่เรากำลังตรวจสอบคือความเร็วของ การไหลของ ของเหลวดังนั้นสมการที่ 2 จึงกลายเป็น:
นี่คือสมการความเร็วการไหลของของเหลวที่ระยะ r จากท่อที่มีรัศมี R ถ้าหากสับสนเมื่อดูภาพด้านบน... โปรดทราบว่าของเหลวไหลในท่อ ดังนั้นเราจึงต้องทบทวนอัตราการไหลของปริมาตรของเหลว
ภายในท่อมีของเหลวอยู่ ตัวอย่างเช่น เราแบ่งของเหลวออกเป็นส่วนเล็กๆ โดยแต่ละส่วนมีพื้นที่หนึ่งหน่วยเท่ากับ dA อยู่ห่างจากแกนของท่อ และมีความเร็วการไหล v สามารถเขียนทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้:
dA 1 = ส่วนของของเหลวส่วนที่ 1 ซึ่งอยู่ห่างจากแกนท่อ เป็นระยะ dr 1
dA 2 = ส่วนของของเหลวส่วนที่ 2 ซึ่งอยู่ห่างจากแกนท่อ เป็นระยะ dr 2
dA 3 = ส่วนของของเหลวส่วนที่ 3 ซึ่งอยู่ห่างจากแกนท่อ เป็นระยะ dr 3
..................................
dAn = ส่วนของของเหลว n ซึ่งอยู่ห่างจากแกนท่อเป็นระยะ dn
ส่วนประกอบของของเหลวมีจำนวนมาก ดังนั้นจึงเขียนด้วยสัญลักษณ์ n เพื่อให้ใช้งานได้สะดวกยิ่งขึ้น อัตราการไหลเชิงปริมาตรของแต่ละส่วนประกอบของของเหลวสามารถเขียนได้ทางคณิตศาสตร์ดังนี้:
ของเหลวแต่ละส่วนอยู่ห่างจากแกนท่อเป็นระยะ r = 0 ถึง r = R (R = รัศมีของท่อ) กล่าวคือ ระยะห่างของของเหลวแต่ละส่วนจะแตกต่างกันเมื่อวัดจากแกนท่อ เราจะได้สมการอัตราการไหลของปริมาตรของเหลวในท่อดังนี้:
Q = อัตราการไหล, R = รัศมีของท่อ, η = สัมประสิทธิ์ความหนืด, P 1 – p 2 = ผลต่างความดันระหว่างปลายทั้งสองของท่อ, L = ความยาวของท่อ, p 1 -p 2 / L = ความชันของความดัน (การไหลของของเหลวจะอยู่ในทิศทางเดียวกับการลดลงของความดันเสมอ)
จากสมการของ Poiseuille ข้างต้น จะเห็นได้ว่าอัตราการไหลของปริมาตรของไหล (Q) เป็นสัดส่วนโดยตรงกับรัศมีของท่อ (R 4 ) ความแตกต่างของความดัน (p 2 – p 1 / L) และเป็นสัดส่วนผกผันกับความหนืด หากเพิ่มรัศมีของท่อ (โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ความหนืดและความแตกต่างของความดันคงที่) ความเร็วในการไหลของของไหลจะเพิ่มขึ้นเป็น 16 เท่า
ในแนวคิดพื้นฐานของการออกแบบท่อ ให้ใช้สมการนี้ การไหลของของเหลวเป็นสัดส่วนกับ R⁴ ( R = รัศมีของท่อ) รัศมีของกระบอกฉีดยาหรือปลายท่อต้องคำนวณอย่างระมัดระวัง ตัวอย่างเช่น ถ้าเราเพิ่มรัศมีของเข็มเป็นสองเท่า (rx²) ปริมาณของเหลวที่พ่นออกมาจะเพิ่มแรงกดของนิ้วหัวแม่มือขึ้น 16 เท่า
สมการของ Poiseuille ยังแสดงให้เห็นว่ารัศมี (r⁴ )แปรผกผันกับความแตกต่างของความดันระหว่างปลายทั้งสองของท่อ ตัวอย่างเช่น เลือดจะไหลในหลอดเลือดที่มีรัศมีภายในเท่ากับ r ก่อน หากหลอดเลือดตีบลง (เช่น r/2 = รัศมีของหลอดเลือดลดลงเป็นสองเท่า)
ดังนั้นจึงต้องใช้ความแตกต่างของแรงดันถึง 16 เท่าเพื่อให้เลือดไหลเวียนได้เหมือนเดิม (เพื่อให้ความเร็วในการไหลคงที่)
