กฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตัน

บทความเกี่ยวกับกฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตัน

ในวิชาเกี่ยวกับกฎของนิวตัน เราได้เรียนรู้ว่าวัตถุทุกอย่างที่หยุดนิ่งอยู่จะเคลื่อนที่ หรือวัตถุใดๆ ที่เคลื่อนที่อยู่จะหยุดนิ่งหากมี “บางสิ่ง” ที่เคลื่อนที่หรือหยุดวัตถุนั้น สิ่งนั้นเรียกว่า “แรง” ทำไมผลไม้จึงตกลงมาหรือเคลื่อนที่ลงสู่พื้นโลกหลังจากที่มันถูกปล่อยจากก้าน? กฎของนิวตันกล่าวว่า ถ้าผลไม้เคลื่อนที่ จะต้องมีแรงกระทำต่อผลไม้ แรงที่ทำให้ผลไม้หรือวัตถุใดๆ ตกลงมาสู่พื้นโลกเรียกว่าแรงโน้มถ่วง

ปัญหาการตกของวัตถุที่เกี่ยวข้องกับแรงโน้มถ่วง ซึ่งคุณกำลังศึกษาอยู่ในขณะนี้ ได้รับการคิดค้นและศึกษาโดยไอแซค นิวตัน นักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษ ปัญหาที่นิวตันคิดขึ้นนี้มีมาตั้งแต่สมัยกรีกโบราณแล้ว มีประเด็นพื้นฐานสองประเด็นที่ชาวกรีกได้ศึกษามานานก่อนที่นิวตันจะเกิด คำถามที่ถามกันเสมอคือ ทำไมวัตถุจึงตกลงสู่พื้นโลกเสมอ และดาวเคราะห์เคลื่อนที่อย่างไร รวมถึงดวงอาทิตย์และดวงจันทร์ ชาวกรีกในสมัยนั้นมองว่าการตกของวัตถุและการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์เป็นสองสิ่งที่ไม่เหมือนกัน ดังนั้น การศึกษาเรื่องนี้จึงดำเนินต่อไปจนถึงสมัยของนิวตัน สิ่งที่นิวตันสร้างขึ้นจึงอยู่บนพื้นฐานของงานของคนก่อนหน้าเขา สิ่งที่ทำให้นิวตันแตกต่างจากคนก่อนหน้าเขาคือ นิวตันมองว่าปัญหาการตกของวัตถุและการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์เกิดจากสิ่งเดียวกันและต้องเป็นไปตามกฎเดียวกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง นิวตันโต้แย้งว่า แรงที่ทำให้วัตถุตกลงสู่พื้นโลกเป็นแรงเดียวกันกับที่ทำให้ดวงจันทร์โคจรรอบโลก

ความสัมพันธ์ระหว่างแรงโน้มถ่วงกับระยะทางและมวล

เมื่อนิวตันกำหนดกฎแรงโน้มถ่วง เขาได้เปรียบเทียบความเร่งของผลไม้ที่ตกลงมาใกล้พื้นผิวโลกกับความเร่งสู่ศูนย์กลางของดวงจันทร์ขณะโคจรรอบโลก ตามที่นิวตันกล่าว ความเร่งที่ผลไม้ที่ตกลงมาประสบกับความเร่งสู่ศูนย์กลางที่ดวงจันทร์ประสบขณะโคจรรอบโลกนั้นเกิดจากแรงเดียวกัน คือ แรงโน้มถ่วงของโลก นิวตันให้เหตุผลว่า ความเร่งของดวงจันทร์ขณะโคจรรอบโลกเป็นสัดส่วนกับ 1/r² โดยที่ r คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลางของโลกและศูนย์กลางของดวงจันทร์ = 3.84 x 10⁸ เมตร ความเร่งของผลไม้ที่ตกลงมาเป็นสัดส่วนกับ 1/R² ^โดยที่ R คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลางของโลกและศูนย์กลางของผลไม้ ผลไม้อยู่ใกล้พื้นผิวโลก ดังนั้น R = R₀F _โดยที่_REคือรัศมีของโลก = 6.37 x ^10⁶เมตร ดังนั้น การเปรียบเทียบระหว่างความเร่งของดวงจันทร์ (a/ _M ) และความเร่งของผลไม้ (g):

ดังนั้น ความเร่งสู่ศูนย์กลางของดวงจันทร์คือ:

a _M = (2.75 x 10 ^-4 )(g) = (2.75 x 10 ^-4 )(9.8 m/s ² ) = 2.7 x 10 ^-3 m/s ²

นิวตันยังคำนวณความเร่งสู่ศูนย์กลางของดวงจันทร์ด้วยวิธีที่แตกต่างออกไป เป็นที่ทราบกันว่าคาบการโคจรของดวงจันทร์หรือเวลาหนึ่งเดือนในการโคจรรอบหนึ่งรอบ = 27.3 วัน = 2.36 x 10⁶ ^{วินาที}ความยาวของเส้นทางที่ดวงจันทร์โคจร = เส้นรอบวงโคจรของดวงจันทร์ = 2(3.14)(r) โดยที่ r = ระยะห่างระหว่างศูนย์กลางของดวงจันทร์และศูนย์กลางของโลก ความเร่งสู่ศูนย์กลางของดวงจันทร์:

ความเร่งสู่ศูนย์กลางของดวงจันทร์ที่ได้จากการคำนวณนี้เกือบจะเท่ากับผลลัพธ์ของการคำนวณก่อนหน้านี้ กฎข้อที่สองของนิวตันกล่าวว่า แรงแปรผันตรงกับความเร่ง (F = ma) การคำนวณข้างต้นแสดงให้เห็นว่า ความเร่งแปรผันตรงกับ 1/r² ^หรือความเร่งแปรผกผันกับกำลังสองของระยะทาง (r² ⁾ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า แรงโน้มถ่วงแปรผันตรงกับ 1/r² ^หรือแรงโน้มถ่วงแปรผกผันกับกำลังสองของระยะทาง ในทางคณิตศาสตร์:

นอกจากการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างแรงโน้มถ่วงและระยะห่างระหว่างวัตถุแล้ว นิวตันยังศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างแรงโน้มถ่วงและมวลของวัตถุด้วย กฎข้อที่สามของนิวตันกล่าวว่า ถ้ามีแรงกระทำ ก็จะมีแรงปฏิกิริยา แรงกระทำและแรงปฏิกิริยามีขนาดเท่ากันและทิศทางตรงกันข้าม (แรงกระทำ = แรงปฏิกิริยา เครื่องหมายลบแสดงว่าทิศทางของแรงตรงกันข้าม) ถ้าแรงโน้มถ่วงของโลกดึงดูดผลไม้ แรงโน้มถ่วงของผลไม้ก็จะดึงดูดโลกเช่นกัน แรงโน้มถ่วงของโลกกระทำต่อผลไม้ ในขณะที่แรงโน้มถ่วงของผลไม้กระทำต่อโลก ในทำนองเดียวกัน แรงโน้มถ่วงระหว่างโลกและดวงจันทร์ แรงโน้มถ่วงของโลกกับแรงโน้มถ่วงของผลไม้ หรือแรงโน้มถ่วงของผลไม้กับแรงโน้มถ่วงของดวงจันทร์ คือแรงปฏิกิริยา เนื่องจากแรงแปรผันตรงกับมวล (F = ma) และเนื่องจากแรงกระทำและแรงปฏิกิริยามีขนาดเท่ากัน แรงโน้มถ่วงระหว่างวัตถุสองชิ้นจึงต้องแปรผันตรงกับมวลของวัตถุทั้งสองชิ้นนั้น ในทางคณิตศาสตร์:

กฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตัน

กฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตันกล่าวว่า วัตถุทุกชิ้นในจักรวาลดึงดูดซึ่งกันและกัน โดยแรงดึงดูดระหว่างวัตถุเป็นสัดส่วนโดยตรงกับมวลของวัตถุและแปรผกผันกับกำลังสองของระยะห่างระหว่างวัตถุ ถ้าวัตถุสองชิ้นที่มีมวล m1 _และ m2 _อยู่ห่างกันเป็นระยะ r ขนาดของแรงโน้มถ่วงระหว่างวัตถุทั้งสองจะเป็นดังนี้:

G = ค่าคงที่ความโน้มถ่วง (6.673 x ^10⁻¹¹ Nm² /kg² ^{) ค่า} G วัดได้จากการทดลอง

F₁₂ แรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อ m คืออะไร₁ ที่ม.₂ ในขณะที่ F₂₁ แรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อ m คืออะไร₂ ที่ม.₁. F₁₂ ทำงานที่ m₂ และดึง m₂ ไปทางม₁ในขณะที่ F₂₁ ทำงานที่ m₁ และดึง m₁ ไปทางม₂. F₂₁ และ F₁₂ มีขนาดเท่ากันและทิศทางตรงข้าม ดังนั้น F₂₁ และ F₁₂ เป็นคู่ของการกระทำและปฏิกิริยา r คือระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของ m₁ และศูนย์กลางของ m₂ศูนย์กลางของ m₁ ตั้งอยู่ตรงกลางของวัตถุ เช่นเดียวกับจุดศูนย์กลางของ m₂ถ้า r ระบุเป็นกิโลเมตร จะต้องแปลงเป็นเมตรก่อน (หน่วยระบบสากล)

ตัวอย่างโจทย์ข้อที่ 1 (แรงโน้มถ่วงระหว่างอนุภาค 2 ตัว)

คำนวณแรงโน้มถ่วงระหว่างนักเรียนสองคน คนหนึ่งมีมวล 30 กิโลกรัม และอีกคนมีมวล 40 กิโลกรัม โดยอยู่ห่างกัน 1 เมตร

Solution

แรงโน้มถ่วงมีขนาดเล็กมากจนวัตถุทั้งสองไม่ดึงดูดซึ่งกันและกัน

ตัวอย่างโจทย์ข้อที่ 2 (แรงโน้มถ่วงระหว่างอนุภาค 2 ตัว)

คำนวณแรงโน้มถ่วงทั้งหมดที่กระทำต่อมวล m² เนื่องจากแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อ m1 ที่ m² และแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อ m³ ที่ม.²ระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง m¹ และม² คือ 2 เมตร และระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางคือ m² และม³ มีความยาว 1 เมตร

วิธีการแก้:

แรงโน้มถ่วงของมวล m ₁ที่กระทำต่อมวล m ₂ :

แรงโน้มถ่วงของมวล m ₃ที่กระทำต่อมวล m ₂ :

แรงโน้มถ่วงรวมที่กระทำต่อ m ₂ :

Fg รวม = (6.673 – 1.668) x 10 ^-11 N = 5.005 x 10 ^-11 N ในรูปด้านล่าง ลูกศร F ₃₂ยาวกว่าลูกศร F ₁₂ดังนั้นทิศทางของแรงโน้มถ่วงรวมจึงไปทางm ₃

ตัวอย่างโจทย์ข้อที่ 3 (แรงโน้มถ่วงรวมเท่ากับศูนย์):

ลูกบอลสองลูก ลูก A และลูก B แต่ละลูกมีมวล m และ 5 m ตามลำดับ ลูกบอลทั้งสองมีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน ถ้าแรงโน้มถ่วงที่จุดระหว่างลูกบอล A และลูกบอล B เท่ากับศูนย์ ระยะห่างของจุดนั้นจากผิวของลูกบอล A คือ …

วิธีการแก้:

ลูกบอล A และ B มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 1 เมตร ดังนั้นรัศมีของลูกบอล A และ B คือ 0.5 เมตร ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของลูกบอล A และ B คือ 6 เมตร

เราวางอนุภาคทดสอบที่มีมวล m ไว้ที่จุดซึ่งอยู่ระหว่างลูกบอล A และลูกบอล B

F _A = ​​แรงโน้มถ่วงที่ลูกบอล A กระทำต่ออนุภาคทดสอบ (ทิศทางของแรงโน้มถ่วงพุ่งเข้าหาลูกบอล A)

F _B = แรงโน้มถ่วงที่ลูกบอล B กระทำต่ออนุภาคทดสอบ (ทิศทางของแรงโน้มถ่วงพุ่งเข้าหาลูกบอล B)

เพื่อให้แรงโน้มถ่วงที่กระทำต่ออนุภาคทดสอบเป็นศูนย์ ดังนั้น F _A = ​​​​F _B (โดยที่ F _Aและ F _Bมีทิศทางตรงข้ามกัน)

ใช้สูตรกำลังสองเพื่อหาค่าของ x

ดังนั้น x = 4.88 เมตร

4.88 ม. – 0.5 ม. = 4.38 ม. แรงโน้มถ่วงเป็นศูนย์ที่ระยะ 4.38 เมตรจากพื้นผิวของลูกบอล A ระยะห่างจากพื้นผิวของลูกบอล B คือเท่าใด

การวัดค่าคงที่แรงโน้มถ่วงสากล (G)

ในการหาค่ามวลกายของคุณ คุณเพียงแค่ยืนบนตาชั่งแล้วอ่านค่าที่แสดงบนมาตรวัดมวลกายเท่านั้นเอง การวัดมวลกายนั้นง่ายมาก แล้วเราจะวัดมวลของโลกได้อย่างไร? ไม่มีตาชั่งขนาดใหญ่ที่ใช้ในการวัดมวลของโลก เพราะโลกเคลื่อนที่อยู่ตลอดเวลา มวลของโลกนั้นทราบได้จากการคำนวณหลังจากวัดค่าคงที่ความโน้มถ่วงสากล (G) ด้วยวิธีการทดลอง

น้ำหนัก

น้ำหนักของวัตถุคือแรงโน้มถ่วงทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุนั้น ซึ่งเกิดจากแรงโน้มถ่วงของวัตถุทั้งหมดในจักรวาลที่กระทำต่อวัตถุนั้น หากวัตถุนั้นอยู่เหนือพื้นผิวโลกหรือบนพื้นผิวโลก เราจะไม่พิจารณาแรงโน้มถ่วงที่กระทำโดยวัตถุอื่น ๆ ในจักรวาล ให้ถือว่าน้ำหนักของวัตถุคือแรงโน้มถ่วงของโลกที่กระทำต่อวัตถุนั้น

w = น้ำหนักของวัตถุ, m _E = มวลของโลก, m = มวลของวัตถุ, R _E = รัศมีของโลก

ถ้าวัตถุอยู่สูงจากพื้นผิวโลกเป็นระยะ h (เช่น วัตถุอยู่สูงจากระดับความสูงที่กำหนด เช่น เครื่องบิน) หรือวัตถุอยู่ห่างกันเป็นระยะ r จากพื้นผิวโลก โดยที่ r = R _E + h

ดังนั้น แรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อวัตถุหรือน้ำหนักของวัตถุคือ:

สมการนี้แสดงให้เห็นว่า น้ำหนักของวัตถุจะลดลงตามกำลังสองของระยะห่างจากศูนย์กลางของโลก ดังนั้น ยิ่งอยู่ห่างจากพื้นผิวโลกมากเท่าใด น้ำหนักของวัตถุก็จะยิ่งลดลงเท่านั้น

ความเร่งของแรงโน้มถ่วง

จากกฎข้อที่สองของนิวตัน เราทราบว่า น้ำหนักของวัตถุคือแรงที่ทำให้วัตถุเกิดความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (ความเร่งโน้มถ่วง):

w = มก.

รวมสมการทั้งสองเข้าด้วยกัน คือ w = F g และ w = mg :

สมการนี้อธิบายถึงความเร่งโน้มถ่วงที่วัตถุได้รับ ณ ระดับความสูงหนึ่งเหนือพื้นผิวโลก จากสมการนี้ เราทราบว่าความเร่งโน้มถ่วงจะลดลงเมื่อระดับความสูงเพิ่มขึ้น และไม่ขึ้นอยู่กับมวลของวัตถุที่ตกลงมาอย่างอิสระ

ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของวัตถุที่อยู่เหนือพื้นผิวโลกหรือเหนือระดับพื้นดิน:

มวลของโลกสามารถคำนวณได้โดยการเปลี่ยนสมการข้างต้นเป็น:

คำนวณมวลของโลกโดยใช้สมการนี้!

ปัญหาและแนวทางแก้ไข

1. วัตถุสองชิ้น_m1และ m2 _{แต่ละ}ชิ้นมีมวล 6 กิโลกรัม และ 9 กิโลกรัม ตามลำดับ วางห่างกัน 5 เซนติเมตร วัตถุ m3 ₌ 1 กิโลกรัม วางอยู่ระหว่างวัตถุทั้งสอง ถ้าแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อ m3 ₌ 0 แล้ว ระยะห่าง ระหว่าง _m3กับ m1 คือ …

แรงโน้มถ่วงเท่ากับ 0 ถ้า F ₁₃ = F ₂₃

a = -1, b = -20, c = 50

ใช้สูตรกำลังสอง:

ผลลัพธ์ต้องไม่เป็นค่าลบ ดังนั้น x = r ₁₃ = ระยะทาง m ₃และ m ₁ = 2.25 ซม.

2. วัตถุ A และ B อยู่ห่างกัน 60 เซนติเมตร มวลของวัตถุ A คือ 24 กิโลกรัม และมวลของวัตถุ B คือ 10 กิโลกรัม จุดที่มีสนามโน้มถ่วง แรงสูง เท่ากับศูนย์ อยู่ที่ใด

สนามโน้มถ่วง = 0 ถ้า g _A = g _B

เอ = 7

ข = -1440

ค = 43200

ใช้สูตรกำลังสอง:

x = r _A = 169.25 ซม. หรือ

x = r _A = 36.46 ซม.