ช่วงเวลาแห่งความเฉื่อย

1. โมเมนต์ความเฉื่อยของอนุภาค

ทบทวนอนุภาคหมุน อนุภาคที่มีมวล m ได้รับแรง F ทำให้หมุนรอบแกน O อนุภาคอยู่ห่างจากแกนหมุนเป็นระยะ r ในตอนแรก อนุภาคอยู่นิ่ง (v = 0) หลังจากเคลื่อนที่ด้วยแรง F อนุภาคจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วค่าหนึ่ง ทำให้เกิดความเร่งสัมผัส ความสัมพันธ์ระหว่างแรง (F) มวล (m) และความเร่งสัมผัสของอนุภาคแสดงได้ด้วยสมการที่ 3:

F = ma _tan (สมการที่ 3)

อนุภาคหมุนทำให้เกิดความเร่งเชิงมุม ความสัมพันธ์ระหว่างความเร่งสัมผัสและความเร่งเชิงมุมแสดงได้ด้วยสมการที่ 4:

a _tan = r α (สมการที่ 4)

แทนค่า a ในสมการที่ 3 ด้วยค่า a ในสมการที่ 4:

F = mr α

r F = mr ² α

τ = (mr ² ) α (สมการ 5)

r F คือโมเมนต์ของแรง และ mr ²คือโมเมนต์ความเฉื่อยของอนุภาค สมการที่ 5 แสดงความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนต์ของแรง โมเมนต์ความเฉื่อย และความเร่งเชิงมุมของอนุภาคที่หมุน สมการที่ 5 คือสมการของกฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับอนุภาคที่หมุน

โมเมนต์ความเฉื่อยของอนุภาคคือผลคูณของมวลของอนุภาค (m) และกำลังสองของระยะห่างระหว่างอนุภาคกับแกนหมุน ( ^r² )

I = mr ² (สมการที่ 6)

I = โมเมนต์ความเฉื่อยของอนุภาค, m = มวลของอนุภาค, r = ระยะห่างระหว่างอนุภาคกับแกนหมุน สมการที่ 6 ใช้ในการหาโมเมนต์ความเฉื่อยของอนุภาค

3.2 ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับการหาโมเมนต์ความเฉื่อยของอนุภาค

ตัวอย่างโจทย์ข้อที่ 1.

อนุภาคหนึ่งมีมวล 2 กิโลกรัม ผูกติดกับเชือกยาว 0.5 เมตร แล้วหมุน จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของอนุภาคขณะหมุน

วิธีการแก้:

ฉัน = นาย²

I = (2 กก.) (0.5 ม.) ²

I = 0.5 กก. ม. ²

ตัวอย่างโจทย์ข้อที่ 2.

อนุภาคสองอนุภาค แต่ละอนุภาคมีมวล 2 กิโลกรัมและ 4 กิโลกรัม เชื่อมต่อกันด้วยลวดน้ำหนักเบาซึ่งมีความยาว 2 เมตร ไม่ต้องพิจารณามวลของลวด จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของอนุภาคทั้งสอง ถ้า:

ก) แกนหมุนตั้งอยู่ระหว่างอนุภาคทั้งสอง

วิธีการแก้:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(12) + (4)(12)

I = 2 + 4

I = 6 กก. ม. ²

b) แกนหมุนอยู่ห่างจากอนุภาคที่มีมวล 2 กิโลกรัม เป็นระยะ 0.5 เมตร

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(0.5 ² ) + (4)(1.5 ² )

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

I = 0.5 + 9

I = 9.5 กก. ม. ²

ค) แกนหมุนอยู่ห่างจากอนุภาคที่มีมวล 4 กิโลกรัม เป็นระยะ 0.5 เมตร

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(1.52) + (4)(0.5 ² )

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

I = 4.5 + 1

I = 5.5 กก. ม. ²

จากผลการคำนวณข้างต้น พบว่าโมเมนต์ความเฉื่อยได้รับอิทธิพลอย่างมากจากตำแหน่งของแกนหมุน แม้ว่ารูปร่างและขนาดจะเหมือนกัน แต่เนื่องจากตำแหน่งของแกนหมุนแตกต่างกัน โมเมนต์ความเฉื่อยจึงแตกต่างกันด้วย

อนุภาคที่อยู่ใกล้แกนหมุนจะมีโมเมนต์ความเฉื่อยน้อยกว่า ในขณะที่อนุภาคที่อยู่ห่างจากแกนหมุนจะมีโมเมนต์ความเฉื่อยมากกว่า หากเราสมมติว่าอนุภาคทั้งสองข้างต้นเป็นวัตถุแข็งเกร็ง อนุภาคแต่ละตัวก็จะอยู่ใกล้แกนหมุน

มีโมเมนต์ความเฉื่อยน้อยกว่าโมเมนต์ความเฉื่อยของอนุภาคที่อยู่ห่างจากแกนหมุนออกไป

3.3 โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุแข็งเกร็งที่เป็นเนื้อเดียวกัน

วัตถุแข็งเกร็งประกอบด้วยอนุภาคจำนวนมาก โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุแข็งเกร็งคือผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของแต่ละอนุภาคที่ประกอบกันเป็นวัตถุนั้น

I = Σ mr ²

ฉัน = ม.₁ r₁² + ม₂ r₂² + ม₃ r₃² + ….. + ม_n r_n²

ในการหาค่าโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุแข็งเกร็ง เราจำเป็นต้องพิจารณาวัตถุขณะที่มันหมุน เพราะตำแหน่งของแกนหมุนมีผลต่อโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุ โมเมนต์ความเฉื่อย (I) ของแต่ละอนุภาคยังขึ้นอยู่กับมวล (m) ของอนุภาคและกำลังสองของระยะห่าง (r² ⁾ของอนุภาคจากแกนหมุน มวลของอนุภาคทั้งหมดที่ประกอบกันเป็นวัตถุคือมวลของวัตถุ

ปัญหาคือ ระยะห่างของแต่ละอนุภาคจากแกนหมุนนั้นแตกต่างกัน

ทบทวนการลดลงของสูตรโมเมนต์ความเฉื่อยของแหวนบางที่มีนิ้ว R และมวล M

ถ้าแกนหมุนอยู่ตรงกลางของวงแหวน อนุภาคทั้งหมดของวงแหวนบางนั้นจะอยู่ห่างจากแกนหมุน โมเมนต์ความเฉื่อยของวงแหวนบางนั้นจะเท่ากับโมเมนต์ความเฉื่อยของอนุภาคทั้งหมด

I = Σ mr²

ฉัน = ม.₁ r₁² + ม₂ r₂² + ม₃ r₃² + ….. + ม_n r_n²

มวลของอนุภาคทั้งหมด = มวลของวงแหวนบาง (M)

I = M (r ₁ ² + r ₂ ² + r ₃ ² + ….. + r _n ² )

แต่ละอนุภาคของวงแหวนบางๆ อยู่ห่างจากแกนหมุนเป็นระยะ r ดังนั้น r ₁ = r ₂ = r ₃ = rn = R

สมการโมเมนต์ความเฉื่อยของวงแหวนบาง:

I = MR ²

I = โมเมนต์ความเฉื่อยของวงแหวนบาง, M = มวลของวงแหวนบาง, R = รัศมีของวงแหวนบาง

ถ้าแกนหมุนไม่ได้อยู่ที่ศูนย์กลางของวงแหวนล่ะ? ถ้าแกนหมุนไม่ได้อยู่ที่ศูนย์กลางของวงแหวน เราจะไม่สามารถหาค่าโมเมนต์ความเฉื่อยของวงแหวนบางโดยใช้วิธีข้างต้นได้

เนื่องจากระยะห่างของแต่ละอนุภาคจากแกนหมุนนั้นแตกต่างกัน การหาที่มาของสูตรโมเมนต์ความเฉื่อยสำหรับปัญหาประเภทนี้จะไม่กล่าวถึงในหัวข้อนี้

สูตรโมเมนต์ความเฉื่อยสำหรับวัตถุแข็งบางชนิด

3.4 ตัวอย่างโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับการหาโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุแข็งเกร็งที่เป็นเนื้อเดียวกัน

ตัวอย่างโจทย์ข้อที่ 1:

กระบอกแท่ง AB มีมวล 3 กิโลกรัมเมื่อหมุนผ่านจุด B

โมเมนต์ความเฉื่อยคือ 27 kg m² ^ถ้าโมเมนต์ความเฉื่อยเป็นเท่าใด

หมุนผ่าน C?

วิธีการแก้:

วิธีการแก้:

สูตรโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งตันเนื้อเดียวกัน (แกนหมุนอยู่ที่กึ่งกลางของแท่ง):

I = 1/12 มล. ²

27 = (1/12) มล. ²

(27)(12) = ML ²

324 = ML ²

สูตรโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งของแข็งเนื้อเดียวกัน (แกนหมุนอยู่ที่ขอบของแท่ง):

I = 1/3 มล. ²

I = 1/3 (324)

I = 108 กก. ม. ²