บทความเกี่ยวกับสมการความต่อเนื่อง
ลองเปิดก๊อกน้ำช้าๆ พร้อมกับสังเกตความเร็วของน้ำที่ไหลออกมาจากปากก๊อก แล้วเปรียบเทียบดูว่า อัตราการไหลของน้ำจะเร็วขึ้นเมื่อปิดปากก๊อกหรือเมื่อเปิดก๊อก เพราะเหตุใดจึงเป็นเช่นนั้น เพื่อความเข้าใจในเรื่องนี้ โปรดศึกษาเรื่องสมการความต่อเนื่อง
เพรียวลม
ในการไหลอย่างต่อเนื่อง ความเร็วของอนุภาคของเหลวแต่ละอนุภาค ณ จุดใดจุดหนึ่ง เช่น จุด A จะเท่ากันเสมอ เมื่อผ่านจุด B ความเร็วของอนุภาคของเหลวอาจเปลี่ยนแปลงได้ อย่างไรก็ตาม เมื่อถึงจุด B อนุภาคของเหลวที่ไหลตามมาจะไหลด้วยความเร็วเท่ากับอนุภาคของเหลวที่อยู่ข้างหน้า ในทำนองเดียวกันเมื่อถึงจุด C และต่อไปเรื่อยๆ เส้นทางการไหลคือเส้นโค้งที่เชื่อมต่อจุด A, B และ C
ท่อไหล
เราสามารถอธิบายเส้นกระแสแต่ละเส้นที่ผ่านแต่ละจุดในการไหลของของเหลวได้ หากเราสังเกตการไหลของของเหลวที่คงที่ เส้นกระแสบางเส้นที่ผ่านมุมเฉพาะบนพื้นที่ผิวสมมุติจะก่อตัวเป็นท่อการไหล อนุภาคของของเหลวจะไม่ตัดกัน แต่จะขนานกันเสมอ และท่อการไหลจะมีลักษณะคล้ายท่อที่มีรูปร่างคงที่ ของเหลวที่เข้าทางปลายด้านหนึ่งของท่อจะไหลออกทางปลายอีกด้านหนึ่ง
หักบัญชี
อัตราการไหลหมายถึงปริมาตรของของเหลวที่ไหลผ่านหน้าตัดที่กำหนดในช่วงเวลาที่กำหนด สามารถเขียนทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้:
อัตราการไหล = ปริมาตรของของเหลว / ช่วงเวลา
Q = V / t
เพื่อให้คุณเข้าใจมากขึ้น เราจะใช้ตัวอย่าง เช่น ของเหลวไหลผ่านท่อ ท่อโดยทั่วไปมีรูปทรงกระบอกและมีพื้นที่หน้าตัดที่แน่นอน นอกจากนี้ท่อยังมีความยาวด้วย
เมื่อของเหลวไหลในท่อเป็นระยะทาง L ปริมาตรของของเหลวในท่อจะเป็น V = AL (V = ปริมาตรของของเหลว, A = พื้นที่หน้าตัด และ L = ความยาวของท่อ) เนื่องจากเมื่อของเหลวไหลในท่อไปตามระยะทาง L จะใช้ช่วงเวลาหนึ่ง ดังนั้นเราจึงสามารถกล่าวได้ว่าปริมาณของของเหลวคือ:
เนื่องจาก v = s / t = L / t —> L = vt ดังนั้นสมการข้างต้นจึงเปลี่ยนเป็น:
ดังนั้น เมื่อของเหลวไหลผ่านท่อที่มีพื้นที่หน้าตัดและความยาวค่าหนึ่ง ในช่วงเวลาหนึ่ง ปริมาณการไหลของของเหลว (Q) จะเท่ากับพื้นที่หน้าตัด (A) คูณด้วยความเร็วการไหลของของเหลว (v)
สมการความต่อเนื่อง
พิจารณาการไหลของของเหลวในท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางแตกต่างกัน ดังแสดงในรูปด้านล่าง
ภาพนี้แสดงการไหลของของเหลวจากซ้ายไปขวา (ของเหลวไหลจากท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางขนาดใหญ่ไปยังท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางขนาดเล็ก) เส้นประแสดงถึงการไหลของของเหลวตามหลักอากาศพลศาสตร์
A 1 = พื้นที่หน้าตัดของท่อขนาดใหญ่, A 2 = พื้นที่หน้าตัดของท่อขนาดเล็ก, v 1 = ความเร็วการไหลของของเหลวในท่อขนาดใหญ่, v 2 = ความเร็วการไหลของของเหลวในท่อขนาดเล็ก, L = ระยะทางที่ของเหลวเคลื่อนที่
ในการไหลอย่างต่อเนื่อง ความเร็วของการไหลของอนุภาคของเหลว ณ จุดหนึ่งจะเท่ากับความเร็วของการไหลของอนุภาคของเหลวอื่น ๆ ที่ผ่านจุดนั้น การไหลของของเหลวจะไม่ตัดกัน (เส้นขนานกัน) ดังนั้น มวลของของเหลวที่เข้าสู่ปลายด้านหนึ่งของท่อจะต้องเท่ากับมวลของของเหลวที่ออกจากปลายอีกด้านหนึ่ง ถ้าของเหลวมีมวลค่าหนึ่งเมื่อไหลเข้าสู่ท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางขนาดใหญ่ ของเหลวที่ไหลออกทางท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางขนาดเล็กจะมีมวลเท่ากัน
ทีนี้ลองพิจารณารูปท่อด้านบน ทบทวนท่อขนาดใหญ่และท่อขนาดเล็กดู
ในช่วงเวลาหนึ่ง ของเหลวบางส่วนไหลผ่านท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางขนาดใหญ่ (A 1 ) เป็นระยะทาง L 1 (L 1 = v 1 t) ปริมาตรของของเหลวที่ไหลคือ V 1 = A 1 L 1 = A 1 v 1 t ในช่วงเวลาเดียวกัน ของเหลวอีกบางส่วนไหลผ่านท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางขนาดเล็ก (A 2 ) เป็นระยะทาง L 2 (L 2 = v 2 t) ปริมาตรของของเหลวที่ไหลคือ V 2 = A 2 L 2 = A 2 v 2 t
สมการความต่อเนื่องสำหรับของไหลที่อัดไม่ได้
ในของไหลที่ไม่สามารถอัดได้ ความหนาแน่นของของไหลจะเท่ากันเสมอในทุกจุดที่มันไหลผ่าน มวลของของไหลที่ไหลในท่อที่มีพื้นที่หน้าตัด A1 (เส้นผ่านศูนย์กลางท่อขนาดใหญ่) ในช่วงเวลาหนึ่งคือ:
ในทำนองเดียวกัน มวลของของเหลวที่ไหลในท่อที่มีพื้นที่หน้าตัด A2 (เส้นผ่านศูนย์กลางท่อเล็ก) ในช่วงเวลาหนึ่งคือ:
ในการไหลอย่างต่อเนื่อง มวลของของเหลวที่ไหลเข้ามาจะเท่ากับมวลของของเหลวที่ไหลออกไป ดังนั้น:
ม1 = ม2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
A 1 v 1 = A 2 v 2
ดังนั้น สมการความต่อเนื่องในของไหลอัดไม่ได้คือ:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — สมการที่ 1
A 1 = พื้นที่หน้าตัด 1, A 2 = พื้นที่หน้าตัด 2, v 1 = ความเร็วการไหลของของเหลวในส่วนที่ 1, v 2 = ความเร็วการไหลของของเหลวในส่วนที่ 2, A v = อัตราการไหลต่อปริมาตร (V / t) = ปริมาณการไหลออก
สมการที่ 1 แสดงให้เห็นว่าอัตราการไหลจะเท่ากันเสมอในทุกจุดตลอดท่อหรือท่อส่ง เมื่อพื้นที่หน้าตัดของท่อลดลง อัตราการไหลของของเหลวจะเพิ่มขึ้น ในขณะที่เมื่อพื้นที่หน้าตัดของท่อเพิ่มขึ้น อัตราการไหลของของเหลวจะลดลง
เมื่อส่วนหนึ่งของปากก๊อกน้ำปิดอยู่ การไหลของน้ำจะหนักกว่าเมื่อส่วนหนึ่งของปากก๊อกน้ำเปิดอยู่ นั่นเป็นเพราะพื้นที่หน้าตัดของก๊อกน้ำจะเล็ลงเมื่อส่วนหนึ่งของปากก๊อกน้ำปิดอยู่ ทำให้ความเร็วการไหลของน้ำเพิ่มขึ้น แต่สิ่งสำคัญที่ต้องรู้คือ อัตราการไหลหรือปริมาณของของเหลวจะเท่ากันเสมอในทุกจุดตลอดการไหลของน้ำ ไม่ว่าส่วนหนึ่งของปากก๊อกน้ำของเราจะปิดอยู่หรือไม่ก็ตาม ดังนั้นอะไรคือสิ่งที่ทำให้ความเร็วการไหลของของเหลวเปลี่ยนแปลงไป?
แล้วการไหลของน้ำในแม่น้ำล่ะ? บริเวณที่ลึกของแม่น้ำจะมีพื้นที่หน้าตัดใหญ่กว่าบริเวณที่ตื้น ดังนั้นอัตราการไหลของน้ำในบริเวณที่ลึกจึงน้อยกว่าความเร็วของการไหลของน้ำในบริเวณที่ตื้น
สมการความต่อเนื่องสำหรับของไหลอัดได้
สำหรับของไหลที่ถูกอัด ความหนาแน่นของของไหลจะไม่คงที่เสมอไป กล่าวคือ ความหนาแน่นของของไหลจะเปลี่ยนแปลงเมื่อถูกอัด หากของไหลไม่ถูกอัด ความหนาแน่นของของไหลจะถูกตัดออกจากสมการ ดังนั้นในกรณีนี้ ความหนาแน่นของของไหลจึงถูกรวมอยู่ในสมการ อ้างอิงจากสมการที่ได้พิสูจน์ไว้ก่อนหน้านี้ เรามาหาสมการสำหรับของไหลที่ถูกอัดกัน
มวลของของเหลวที่ไหลเข้าเท่ากับมวลของของเหลวที่ไหลออก ดังนั้น :
ม1 = ม2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
ช่วงเวลาการไหลของของเหลวเท่ากัน ดังนั้นจึงสามารถตัดทิ้งได้ สมการจึงเปลี่ยนเป็น:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → สมการ 2
นี่คือสมการสำหรับของไหลอัด ความแตกต่างอยู่ที่ความหนาแน่นของของไหล ถ้าของไหลถูกอัด ความหนาแน่นจะเปลี่ยนแปลง ในทางกลับกัน ถ้าของไหลไม่ถูกอัด ความหนาแน่นจะคงที่เสมอ ดังนั้นจึงสามารถตัดออกจากสมการได้
ตัวอย่างโจทย์ข้อที่ 1:
น้ำไหลผ่านท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 10 ซม. ด้วยความเร็ว 2 ม./วินาที อัตราการไหลของน้ำเป็นเท่าใด
เป็นที่รู้จัก :
เส้นผ่านศูนย์กลางท่อ = 10 ซม.
รัศมีของท่อ (r) = 5 ซม. = 0.05 ม.
ความเร็วของน้ำ (v) = 2 เมตร/วินาที
ต้องการ :บัตรเดบิต
วิธีการแก้ปัญหา:
Q = A v
Q = ( π r 2 ) (2 m/s)
Q = (3.14)(0.05 ม.) 2 (2 ม./วินาที)
Q = (3.14)(0.0025 m 2 )(2 m/s)
Q = 0.0157 m³ / s
ตัวอย่างโจทย์ข้อที่ 2:
ท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 20 เซนติเมตรต่อกับท่ออีกท่อหนึ่งที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 10 เซนติเมตร ถ้าความเร็วของน้ำในท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 20 เซนติเมตรเท่ากับ 4 เมตร/วินาที ความเร็วของน้ำในท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 10 เซนติเมตรจะเป็นเท่าใด
เป็นที่รู้จัก :
เส้นผ่านศูนย์กลาง 1 = 20 ซม. (r 1 = 10 ซม. = 0.1 ม.)
v 1 = 4 ม./วินาที
เส้นผ่านศูนย์กลาง 2 = 10 ซม. (r 2 = 5 ซม. = 0.05 ม.)
ต้องการ : v 1
คำตอบ :
Q 1 = Q 2
A 1 v 1 = A 2 v 2
( π r 12 ) (4 เมตร/วินาที) = (π r 22 ) (v 2 )
(0.1 ม.) 2 (4 ม./วินาที) = (0.05 ม.) 2 (v 2 )
(0.01 ม. ² )(4 ม./วินาที) = (0.0025 ม. ² )(ว. ² )
(0.04 m³ / s) = (0.0025 m² ) ( v² )
v 2 = 16 ม./วินาที
