บทความเกี่ยวกับหลักการของอาร์คิมีดีส
เรือที่มีมวลมากจะไม่จม ในขณะที่ก้อนหินขนาดเล็กสามารถจมได้ ทำไมจึงเป็นเช่นนั้น? คำตอบนั้นง่ายมาก หากคุณเข้าใจหลักการลอยตัวและหลักการของอาร์คิมิดีส
ในชีวิตประจำวัน เราจะพบว่าวัตถุที่จุ่มลงในของเหลว เช่น ก้อนหิน จะมีน้ำหนักน้อยกว่าเมื่อวัตถุนั้นไม่ได้อยู่ในของเหลว คุณอาจพบว่าการยกก้อนหินจากพื้นดินนั้นยาก แต่ก้อนหินเดียวกันนั้นสามารถยกขึ้นจากก้นทะเลได้อย่างง่ายดาย นี่เป็นเพราะแรงลอยตัว แรงลอยตัวเกิดขึ้นเนื่องจากความแตกต่างของความดันของของเหลวที่ระดับความลึกต่างๆ ความดันของของเหลวจะเพิ่มขึ้นตามความลึก ยิ่งของเหลวมีความหนาแน่นมากเท่าใด ความดันของของเหลวก็ยิ่งมากขึ้นเท่านั้น เมื่อวัตถุจุ่มลงในของเหลว จะมีความแตกต่างของความดันระหว่างของเหลวที่อยู่ด้านบนของวัตถุและของเหลวที่อยู่ด้านล่างของวัตถุ ของเหลวที่อยู่ด้านล่างของวัตถุจะมีความดันสูงกว่าของเหลวที่อยู่ด้านบนของวัตถุ
ในภาพ คุณจะเห็นวัตถุลอยอยู่ในน้ำ ของเหลวที่อยู่ด้านล่างของวัตถุมีความดันสูงกว่าของเหลวที่อยู่ด้านบนของวัตถุ เนื่องจากของเหลวที่อยู่ด้านล่างของวัตถุมีความลึกมากกว่าของเหลวที่อยู่ด้านบนของวัตถุ (p)2 > h1).
ปริมาณความดันของของเหลวที่ระดับความลึก h 2คือ:
ปริมาณความดันของของเหลวที่ระดับความลึก h 1คือ:
F 2 = แรงที่ของเหลวกระทำที่ด้านล่างของวัตถุ, F 1 = แรงที่ของเหลวกระทำที่ด้านบนของวัตถุ, A = พื้นที่ผิวของวัตถุ
ผลต่างระหว่าง F2 และ F1 คือแรงทั้งหมดที่ของเหลวกระทำต่อวัตถุ ซึ่งเราเรียกว่าแรงลอยตัว ปริมาณแรงลอยตัวคือ:
แรงลอยตัว F = F 2 − F 1
F แรงลอยตัว = (ρ gh 2 A) − (ρ gh 1 A)
F การลอยตัว = ρ g A (h 2 − h 1 )
แรงลอยตัว F = ρ F g A h
แรงลอยตัว F = ρ F g V
ρF = ความหนาแน่นของของเหลว, g = ความเร่งโน้มถ่วง, V = ปริมาตรของวัตถุ ในของเหลว
ดังนั้น เราสามารถเขียนสมการที่ระบุปริมาณแรงลอยตัว (F buoyancy) ได้ดังนี้:
F การลอยตัว = ρ F g V → m = ρ V
แรงลอยตัว F = m F g
แรงลอยตัว F = w F
m F g = w F = น้ำหนักของของเหลวที่มีปริมาตรเท่ากับปริมาตรของวัตถุที่จุ่มลงไป
จากสมการข้างต้น เราสามารถกล่าวได้ว่า แรงลอยตัวเท่ากับน้ำหนักของของเหลวที่ถูกแทนที่ และปริมาตรของของเหลวที่ถูกแทนที่นั้นคล้ายกับปริมาตรของวัตถุที่จุ่มลงในของเหลวนั้น
หากวัตถุถูกสอดเข้าไปในของเหลวที่ลอยอยู่ โดยส่วนที่สอดเข้าไปนั้นเป็นเพียงส่วนหนึ่งของวัตถุเท่านั้น
ดังนั้น ปริมาตรของของเหลวที่ถูกแทนที่ = ปริมาตรของส่วนของวัตถุที่จุ่มลงในของเหลว ไม่ว่าวัตถุนั้นจะเป็นอะไรและมีรูปร่างอย่างไร ทุกคนจะประสบกับสิ่งเดียวกัน นี่คือผลงานของอาร์คิมิดีส (287-212 ปีก่อนคริสตกาล) ซึ่งรู้จักกันในชื่อหลักการของอาร์คิมิดีส
หลักการของอาร์คิมิดีสกล่าวว่า:
เมื่อวัตถุจุ่มลงในของเหลวทั้งหมดหรือบางส่วน ของเหลวจะให้แรงยกขึ้น (แรงลอยตัว) แก่วัตถุ โดยปริมาณของแรงยกขึ้น (แรงลอยตัว) จะเท่ากับน้ำหนักของของเหลวที่ถูกแทนที่
เรื่องราวของอาร์คิมีดีส
อาร์คิมิดีส ผู้มีชีวิตอยู่ระหว่างปี 287-212 ก่อนคริสต์ศักราช ได้รับมอบหมายจากกษัตริย์ฮีรอนที่ 2 ให้ตรวจสอบว่ามงกุฎที่ทำขึ้นสำหรับพระองค์นั้นทำจากทองคำบริสุทธิ์หรือไม่ ในตอนแรก อาร์คิมิดีสรู้สึกสับสนในการตรวจสอบว่ามงกุฎทำจากทองคำบริสุทธิ์หรือมีโลหะอื่นผสมอยู่ด้วยหรือไม่ ปัญหาคือ รูปทรงของมงกุฎไม่สม่ำเสมอและไม่สามารถทำลายก่อนเพื่อตรวจสอบว่ามงกุฎทำจากทองคำบริสุทธิ์หรือไม่
หลักการในการตรวจสอบว่ามงกุฎทำจากทองคำบริสุทธิ์หรือไม่นั้น เริ่มจากชั่งน้ำหนักของมงกุฎก่อน แล้วนำไปเปรียบเทียบกับความหนาแน่นสัมพัทธ์ของทองคำ หากมงกุฎทำจากทองคำบริสุทธิ์ ความหนาแน่นสัมพัทธ์ของมงกุฎจะเท่ากับความหนาแน่นสัมพัทธ์ของทองคำ
ความหนาแน่นสัมพัทธ์ของวัตถุ คือ อัตราส่วนระหว่างน้ำหนักของวัตถุในอากาศกับน้ำหนักของน้ำที่มีปริมาตรเท่ากับปริมาตรของวัตถุนั้น เขียนในทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้:
จะหาค่าน้ำหนักของน้ำที่มีปริมาตรเท่ากับปริมาตรของวัตถุได้อย่างไร?
ตามทฤษฎีของอาร์คิมิดีส น้ำหนักของน้ำที่มีปริมาตรเท่ากับปริมาตรของวัตถุ จะเท่ากับแรงลอยตัวเมื่อวัตถุจมลง (ส่วนทั้งหมดของวัตถุจุ่มลงในน้ำ) ซึ่งก็คือน้ำหนักของวัตถุที่หายไปเมื่อชั่งน้ำหนักในน้ำนั่นเอง ดังนั้น:
ในการหาค่าความหนาแน่นสัมพัทธ์ของมงกุฎ ขั้นแรกให้ชั่งน้ำหนักมงกุฎในอากาศ (น้ำหนักของมงกุฎในอากาศ) จากนั้นจึงนำมงกุฎไปแช่ในน้ำแล้วชั่งน้ำหนักอีกครั้งเพื่อหาค่าน้ำหนักที่มงกุฎหายไป ดังนั้น:
หลังจากได้ค่าความหนาแน่นสัมพัทธ์ของมงกุฎแล้ว ก็จะนำไปเปรียบเทียบกับความหนาแน่นสัมพัทธ์ของทองคำ ความหนาแน่นสัมพัทธ์ของทองคำเท่ากับ 19.3 ถ้าความหนาแน่นสัมพัทธ์ของมงกุฎเท่ากับความหนาแน่นสัมพัทธ์ของทองคำ แสดงว่ามงกุฎทำจากทองคำบริสุทธิ์ แต่ถ้าหากมงกุฎไม่ได้ทำจากทองคำบริสุทธิ์ ความหนาแน่นสัมพัทธ์ของมงกุฎก็จะไม่เท่ากับความหนาแน่นสัมพัทธ์ของทองคำ
ทำไมเรือถึงไม่จม?
ถ้าความหนาแน่นของวัตถุมีค่าน้อยกว่าความหนาแน่นของน้ำ วัตถุนั้นจะลอย ในทางกลับกัน ถ้าความหนาแน่นของวัตถุมีค่ามากกว่าความหนาแน่นของน้ำ วัตถุนั้นจะจม เรือส่วนใหญ่ทำจากเหล็กและเหล็กกล้า ความหนาแน่นของเหล็กและเหล็กกล้าเท่ากับ 7.8 x 10³ กก ./ลบ.ม. ในขณะที่ความหนาแน่นของน้ำเท่ากับ 1.00 x 10³ กก ./ลบ.ม. จะเห็นได้ว่าความหนาแน่นของเหล็กและเหล็กกล้ามีค่ามากกว่าความหนาแน่นของน้ำ ในกรณีนี้ ความถ่วงจำเพาะของเหล็กและเหล็กกล้าเท่ากับ 7.8 เรือควรจะจม ทำไมเรือจึงไม่จม? เพราะความหนาแน่นรวมของเรือมีค่าน้อยกว่าความหนาแน่นของน้ำหรือน้ำทะเล
ตัวอย่างโจทย์ข้อที่ 1:
ก้อนหินมวล 40 กิโลกรัม จมอยู่ก้นสระน้ำ ถ้าปริมาตรของก้อนหินเท่ากับ 0.2 ลูกบาศก์เมตร แรงขั้นต่ำที่จำเป็นในการยกก้อนหินขึ้นคือเท่าใด
เป็นที่รู้จัก:
มวลของหิน (เมตร) = 40 กิโลกรัม
ปริมาตรของหิน (V) = 0.02 m³
ความหนาแน่นของน้ำ = 1000 กก./ ลบ.ม.
ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) = 10 m/ s²
ต้องการ:เพศหญิง (ขั้นต่ำ)
วิธีการแก้:
แรงลอยตัว F = w F
แรงลอยตัว F = m F g → m = pV
แรงลอยตัว F = ρ F g V
แรงลอยตัว F = (1000 kg/m³ ) (10 m/s² ) (0.02 m³ )
แรงลอยตัว F = 200 กก. ม./วินาที²
แรงลอยตัว F = 200 นิวตัน
น้ำหนักของหิน (w) = มิลลิกรัม
น้ำหนักของหิน = (40 กก.)(10 ม./วินาที² )
น้ำหนักของหิน = 400 กก. ม./วินาที²
น้ำหนักของหิน = 400 นิวตัน
แรงขั้นต่ำที่จำเป็นในการยกก้อนหิน:
น้ำหนักของหิน – แรงลอยตัว = 400 N – 200 N = 200 N
ตัวอย่างโจทย์ข้อที่ 2:
น้ำหนักของวัตถุในน้ำเท่ากับ 5000 kg m/s² และน้ำหนักของวัตถุในน้ำเท่ากับ 4000 kg m/s² ถ้าความหนาแน่นของวัตถุเท่ากับ 2000 kg/m³ มวลและปริมาตรของวัตถุเป็นเท่าใด g = 10 m/ s²
Solution
ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) = 10 m/ s²
ความหนาแน่นของวัตถุ = 2000 กก./ ลบ.ม.
ความหนาแน่นของน้ำ = 1000 กก./ ลบ.ม.
น้ำหนักของวัตถุในอากาศ = 5000 กก. ม./วินาที²
น้ำหนักของวัตถุในน้ำ = 4000 กก. ม./วินาที²
แรงลอยตัว (F buoyancy) = น้ำหนักของวัตถุในอากาศ – น้ำหนักของวัตถุในน้ำ
แรงลอยตัว F = 5000 kg m/s² – 4000 kg m/ s²
แรงลอยตัว F = 1000 กก. ม./วินาที²
แรงลอยตัว F = น้ำหนักของน้ำที่ถูกแทนที่
แรงลอยตัว F = (มวลของน้ำ)(กรัม)
แรงลอยตัว F = (ปริมาตรน้ำที่ถูกแทนที่)(ความหนาแน่นของน้ำ)(กรัม)
ปริมาตรน้ำที่ถูกแทนที่ = ปริมาตรของวัตถุในน้ำ
ปริมาตรของวัตถุ = 0.1 ม³
มวลของวัตถุ = ?
ρ = ม. / วี
m = ρ V
ม. = (2000 กก. / ม. 3 )(0.1 ม. 3 )
ม. = 200 กก.
มวลของวัตถุ = 200 กิโลกรัม
ตัวอย่างโจทย์ข้อที่ 3:
ต้องใช้ฮีเลียมปริมาตรเท่าใดหากบอลลูนต้องยกน้ำหนัก 500 กิโลกรัม?
วิธีการแก้:
ความหนาแน่นของฮีเลียม = 0.1786 กก./ ลบ.ม.
ความหนาแน่นของอากาศ = 1.293 กก./ ลบ.ม.
แรงลอยตัว = น้ำหนักของอากาศที่ถูกแทนที่ = น้ำหนักของวัตถุ + น้ำหนักของฮีเลียม
แรงลอยตัว = น้ำหนักของวัตถุ + น้ำหนักของฮีเลียม
แรงลอยตัว = (มวลของสิ่งของ)(กรัม) + (มวลของฮีเลียม)(กรัม)
แรงลอยตัว = (มวลของสิ่งของ + มวลของฮีเลียม) กรัม —- สมการที่ 1
แรงลอยตัว = น้ำหนักของอากาศที่ถูกแทนที่
แรงลอยตัว = (มวลของอากาศที่ถูกแทนที่)(กรัม) —- สมการที่ 2
เรานำสมการที่ 1 และสมการที่ 2 มาผสานกัน:
(มวลของสิ่งของที่บรรทุก + มวลของฮีเลียม)(กรัม) = (มวลของอากาศที่ถูกแทนที่)(กรัม)
มวลของน้ำหนักบรรทุก + มวลของฮีเลียม = มวลของอากาศที่ถูกแทนที่
500 กก. + (ρ ฮีเลียม)(V ฮีเลียม) = (ρ น้ำ)(V น้ำ)
500 กก. = (ρ น้ำ)(V น้ำ) – (ρ ฮีเลียม)(V ฮีเลียม)
ปริมาตรอากาศที่ถูกแทนที่ (V อากาศ) = ปริมาตรฮีเลียมในลูกโป่ง (V ฮีเลียม)
500 กิโลกรัม = (ρ น้ำ – ρ ฮีเลียม)(V)
นี่คือปริมาตรฮีเลียมขั้นต่ำที่จำเป็นในการยกน้ำหนักบนพื้นผิวโลก หากต้องการให้บอลลูนลอยสูงขึ้น ปริมาตรของฮีเลียมจะต้องเพิ่มขึ้น เนื่องจากความหนาแน่นของอากาศลดลงตามความสูง
