การบวกเวกเตอร์

บทความเกี่ยวกับการบวกเวกเตอร์

1. ปริมาณเวกเตอร์และสเกลาร์

นอกจากปริมาณพื้นฐานและปริมาณอนุพันธ์แล้ว ปริมาณทางฟิสิกส์ยังสามารถแบ่งออกเป็นอีกสองประเภท ได้แก่ ปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์ ปริมาณต่างๆ เช่น มวล ระยะทาง เวลา และปริมาตร เป็นปริมาณสเกลาร์ คือปริมาณที่มีเพียงขนาดแต่ไม่มีทิศทาง ในขณะที่ปริมาณต่างๆ เช่น การกระจัด ความเร็ว ความเร่ง และแรง เป็นปริมาณเวกเตอร์ คือปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง

ก. ความแตกต่างระหว่างปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์

ถ้าคุณบอกว่าลูกบอลมีมวล 400 กรัม คำพูดนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะบอกมวลของลูกบอลได้ คุณไม่จำเป็นต้องรู้ทิศทางเพื่อหามวลของลูกบอล เช่นเดียวกับเวลา อุณหภูมิ ปริมาตร ความหนาแน่น ฯลฯ มีปริมาณทางกายภาพหลายอย่างที่ไม่สามารถแสดงได้ด้วยขนาดเพียงอย่างเดียว ถ้าคุณบอกว่าเด็กคนหนึ่งเคลื่อนที่ไปไกลถึง 100 เมตร คำพูดนี้ก็ไม่เพียงพอ คุณอาจถามว่าเขาเคลื่อนที่ไปทางไหน? ทิศเหนือ ทิศใต้ ทิศตะวันออก หรือทิศตะวันตก? เช่นเดียวกัน ถ้าคุณบอกว่าคุณผลักโต๊ะด้วยแรง 200 นิวตัน

คุณขับรถไปที่ไหน? ปริมาณเหล่านั้นเรียกว่าปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งต้องอธิบายทั้งขนาดและทิศทาง ตัวอย่างของปริมาณเวกเตอร์ ได้แก่ การกระจัด ความเร่ง แรงดลโมเมนตัมเป็นต้น คุณจะเข้าใจได้ชัดเจนยิ่งขึ้นเมื่อศึกษาในวิชาที่เกี่ยวข้องกับปริมาณเหล่านั้น

ข. วาดเวกเตอร์

เวกเตอร์แสดงด้วยลูกศร ลูกศรจะวาดให้ชี้ไปในทิศทางของเวกเตอร์เสมอ ความยาวของลูกศรแสดงถึงขนาดของเวกเตอร์ ตัวอย่างเช่น ในรูปแสดงเวกเตอร์ของแรง (F) ที่มีขนาด 2 N และมีทิศทางไปทางทิศตะวันออกเฉียงเหนือ หรือทำมุม 45 ^องศากับแกน x

ค. กฎสำหรับการเขียนปริมาณของเวกเตอร์

ในการเขียนเวกเตอร์ หากเขียนด้วยลายมือ สัญลักษณ์ของเวกเตอร์มักจะเขียนด้วยตัวพิมพ์ใหญ่และตัวเอียง และมีลูกศรอยู่ด้านบน สำหรับหนังสือที่พิมพ์แล้ว สัญลักษณ์ของเวกเตอร์จะเขียนด้วยตัวพิมพ์ใหญ่และตัวหนา เช่นF ส่วนขนาดของเวกเตอร์ หากเขียนด้วยลายมือ จะเขียนว่า |F| สำหรับหนังสือที่พิมพ์แล้ว ขนาดของเวกเตอร์จะเขียนด้วยตัวเอียง เช่นF

2. การบวกเวกเตอร์—วิธีเชิงกราฟิก

มีหลายวิธีในการบวกเวกเตอร์ด้วยวิธีเชิงกราฟิก รวมถึงวิธีต่อหางต่อปลาย และวิธีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ก. วิธีการบวกเวกเตอร์แบบหางต่อปลาย

ทราบเวกเตอร์ A และ B แล้ว เวกเตอร์ A = 3 ซม. ตรงกับแกน x (ไปทางทิศตะวันออก) เวกเตอร์ B = 2 ซม. ทำมุม 30 ^องศากับแกน x (ไปทางทิศตะวันออกเฉียงเหนือ) จงบวกเวกเตอร์ A และ B โดยใช้กราฟด้วยวิธีต่อปลาย (Tail-to-tip method) a) R = A + B b) R = A – B

ขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ (R) วัดโดยใช้ไม้บรรทัด ส่วนทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์วัดโดยใช้ไม้โปรแทรกเตอร์

ทราบเวกเตอร์ A, B และ C แล้ว เวกเตอร์ A = 3 ซม. ตรงกับแกน x (ไปทางทิศตะวันออก) เวกเตอร์ B = 2 ซม. ทำมุม 30 ^องศากับแกน x (ไปทางทิศตะวันออกเฉียงเหนือ) เวกเตอร์ C = 1 ซม. ทำมุม 60 ^องศากับแกน x (ไปทางทิศตะวันออกเฉียงเหนือ) จงบวกเวกเตอร์ A, B และ C โดยใช้กราฟด้วยวิธีต่อปลายเวกเตอร์ (Tail-to-tip method)

a) R = A + B + C

ข) R = A – B – C

เวกเตอร์ลัพธ์ (R) วัดโดยใช้ไม้บรรทัด ส่วนทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์วัดโดยใช้ไม้โปรแทรกเตอร์

ข. วิธีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ทราบเวกเตอร์ A, B และ C แล้ว เวกเตอร์ A = 3 ซม. ตรงกับแกน x (ไปทางทิศตะวันออก) เวกเตอร์ B = 2 ซม. ทำมุม 30 ^องศากับแกน x (ไปทางทิศตะวันออกเฉียงเหนือ) เวกเตอร์ C = 1 ซม. ทำมุม 60 ^องศากับแกน x (ไปทางทิศตะวันออกเฉียงเหนือ) จงบวกเวกเตอร์ A, B และ C โดยใช้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ก) R = A + B

ข) R = A – B

ค) R = A + B + C

d) R = A – B – C

เวกเตอร์ลัพธ์ (R) วัดโดยใช้ไม้บรรทัด ส่วนทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์วัดโดยใช้ไม้โปรแทรกเตอร์

3. การบวกเวกเตอร์ – ก.การวิเคราะห์ วิธี

การหาขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์ด้วยวิธีทางกราฟิกเป็นแนวทางหนึ่ง ความแม่นยำของผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับความแม่นยำของคุณและความแม่นยำในการวาดและการอ่านมาตราส่วน อย่างไรก็ตาม การหาขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์อย่างแม่นยำยิ่งขึ้นสามารถทำได้โดยการคำนวณทางคณิตศาสตร์

ก. การคำนวณผลรวมของเวกเตอร์ 2 ตัวโดยใช้กฎโคไซน์

สูตรสำหรับการหาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์:

สูตรสำหรับกำหนดทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์:

C = เวกเตอร์ลัพธ์

A = เวกเตอร์ 1

B = เวกเตอร์ 2

cos ∠(A, B) = มุมที่เกิดจากเวกเตอร์ A และ B

ตัวอย่างโจทย์ข้อที่ 1:

F ₁ = 2 N ทำมุม 30 องศา กับแกน x, F ₂ = 3 N ทำมุม 60 ^องศากับแกน x, θ = 30 ^องศา

ตัวอย่างโจทย์ข้อที่ 2:

F ₁ = 2 N ตรงกับแกน x, F ₂ = 3 N ทำมุม 90 ^oกับแกน x, θ = 90 ^o

ข. การบวกเวกเตอร์โดยใช้ส่วนประกอบ

พิจารณาเวกเตอร์ F ที่ทำมุมกับแกน x ตามภาพด้านล่าง โดยที่ F _xและ F _yเป็นเวกเตอร์ส่วนประกอบของเวกเตอร์ F

ขนาดของเวกเตอร์ส่วนประกอบจะถูกกำหนดโดยใช้สูตร:

F _x = F cos θ

F _y = F sin θ

ตรวจสอบเวกเตอร์ F ทั้งสองตัว₁ และ F₂ ซึ่งก่อให้เกิดมุมหนึ่งกับแกน x ดังแสดงในรูปด้านล่าง F_1x และ F_1y เป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์ F₁ดังนั้น F_2x และ F_2y เป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์ F₂.

เวกเตอร์ส่วนประกอบถูกกำหนดโดยใช้สูตร:

F_1x = ฉ₁ cosθ

F _1y = F ₁ sin θ

F _2x = F ₂ cos θ

F _1y = F ₁ sin θ

การเพิ่มเวกเตอร์ส่วนประกอบ:

F _x = F _1x + F _2x

F _y = F _1y + F _2y

เวกเตอร์ลัพธ์จะถูกกำหนดโดยใช้สูตร:

ทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์จะถูกกำหนดโดยใช้สูตร:

ตัวอย่างโจทย์ข้อที่ 1:

จงหาองค์ประกอบของเวกเตอร์ F ซึ่งมีขนาด 20 นิวตัน และทำมุม 30 ^องศากับแกน x

F _x = (20 นิวตัน)(คอส 30 ^o ) = 17 นิวตัน

F _y = (20 N)(บาป 30 ^o ) = 10 N

ตัวอย่างโจทย์ข้อที่ 2:

แรง F ₁ = 20 N ทำมุม 30 ^องศากับแกน x และแรง F ₂ = 15 N ทำมุม 180 องศา กับแกน x จงหาขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์

F _1x = (20 N)(cos 30 ^o ) = 17 N

F _2x = F ₁ = – 15 N

F _1y = (20 N)(บาป 30 ^o ) = 10 N

F _2y = 0

การเพิ่มเวกเตอร์ส่วนประกอบ:

F _x = F _1x – F _2x = 17 N – 15 N = 2 N

F _y = 10 N

เวกเตอร์ลัพธ์:

F ₂ = F _x ² + F _y ² = 2 ² + 10 ² = 4 + 100 = 104

F = 10.2 น

ทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์:

θ = tan −15 = 78.7 ^องศารอบแกน x

ตัวอย่างโจทย์ข้อที่ 3:

F₁, ศ_2, และ F₃ มีค่า 20 N, 30 N และ 40 N.F₁ ทำมุม 60 องศา^o เกี่ยวกับแกน x, F₂ ทำมุม 150 องศา^o เกี่ยวกับแกน x และ F₃ ทำมุม 315 องศา^o เกี่ยวกับแกน x จงหาขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์

F _1x = (20 N)(cos 60 ^o ) = 10 N

F _1y = (20 N)(บาป 60 ^o ) = 17 N

F _2x = (30 N)(cos 30 ^o ) = -26 N

F _2y = (30 N)(บาป 30 ^o ) = 15 N

F _3x = (40 N)(cos 45 ^o ) = 28 N

F _3y = (40 N)(บาป 45 ^o ) = -28 N

การเพิ่มเวกเตอร์ส่วนประกอบ:

F _x = F _1x – F _2x + F _3x = 10 N – 26 N + 28 N = 12 N

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 17 นิวตัน + 15 นิวตัน – 28 นิวตัน = 4 นิวตัน

เวกเตอร์ลัพธ์:

F ² = F _x ² + F _y ² = 12 ² + 4 ² = 144 + 16 = 160

F = 13 น

ทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์:

θ = tan ⁻¹ 0.3 = 17 ^°รอบแกน x