สมการนี้เรียกว่าสมการปัวส์ยี (Poiseuille equation) เพราะคิดค้นโดยฌอง หลุยส์ มารี ปัวส์ยี (Jean Louis Marie Poiseuille) (ค.ศ. 1799-1869) ดังที่ได้อธิบายไปแล้ว ของเหลวทุกชนิดสามารถถือได้ว่าเป็นของเหลวในอุดมคติ ของเหลวในอุดมคติไม่มีความหนืด หากเราจินตนาการถึงของเหลวในอุดมคติที่ไหลอยู่ในท่อ ทุกส่วนของของเหลวจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่ากัน (v) ต่างจากของเหลวในอุดมคติ ของเหลวในความเป็นจริง หรือของเหลวที่เราพบเจอในชีวิตประจำวัน มีความหนืด เนื่องจากมีความหนืด เมื่อไหลในท่อ ตัวอย่างเช่น ความเร็วของแต่ละส่วนของของเหลวจะแตกต่างกัน ชั้นของของเหลวตรงกลางจะเคลื่อนที่เร็วกว่า (v มีค่ามาก) ในขณะที่ชั้นของของเหลวที่ติดกับท่อจะไม่เคลื่อนที่ หรือนิ่ง (v = 0) ดังนั้น จากตรงกลางไปยังขอบของท่อ ทุกส่วนของของเหลวจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่แตกต่างกัน เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น โปรดดูภาพด้านล่าง...
ข้อสังเกต:
R = รัศมีของท่อ
v1 = อัตราการไหลของของเหลวที่จุดศูนย์กลาง/แกนของท่อ
v2 = อัตราการไหลของของเหลวที่ระยะ r2 จากขอบของท่อ
v3 = อัตราการไหลของของเหลวที่ระยะ r3 จากขอบของท่อ
v4 = อัตราการไหลของของเหลวที่ระยะ r4 จากขอบของท่อ
r = ระยะทาง
เพื่อให้แน่ใจว่าอัตราการไหลของของเหลวแต่ละชนิดเท่ากัน จะต้องมีความแตกต่างของความดันที่ปลายทั้งสองด้านของท่อหรือหลอดที่ของเหลวไหลผ่าน ในที่นี้ ของเหลวหมายถึงของเหลวที่แท้จริง เช่น น้ำหรือน้ำมันที่ไหลผ่านท่อ เลือดที่ไหลผ่านหลอดเลือด เป็นต้น นอกจากการช่วยให้ของเหลวไหลได้อย่างราบรื่นแล้ว ความแตกต่างของความดันยังช่วยให้ของเหลวไหลในท่อที่ระดับความสูงต่างกันได้อีกด้วย
ฌอง หลุยส์ มารี ปัวซุย นักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้สนใจในด้านกายภาพของการไหลเวียนโลหิตในมนุษย์ ได้ทำการวิจัยเพื่อศึกษาว่าปัจจัยต่างๆ เช่น ความแตกต่างของความดัน พื้นที่หน้าตัดของท่อ และขนาดของท่อ มีผลต่อความเร็วของของเหลวจริงอย่างไร ผลลัพธ์ที่ได้จากการวิจัยของฌอง หลุยส์ มารี ปัวซุย เป็นที่รู้จักกันในชื่อสมการปัวซุย
สมการ Poiseuille สามารถหาได้โดยใช้สมการสัมประสิทธิ์ความหนืดที่ได้หามาก่อนหน้านี้ เราใช้สมการความหนืดเพราะกรณีนี้คล้ายกัน แม้จะไม่เหมือนกันเสียทีเดียว ในการหาอนุพันธ์ของสมการสัมประสิทธิ์ความหนืด เราพิจารณาการไหลของชั้นของเหลวจริงระหว่างแผ่นขนานสองแผ่น และของเหลวสามารถเคลื่อนที่ได้เนื่องจากแรงดึง (F) ความแตกต่างคือ สมการ Poiseuille ที่เราจะหาอนุพันธ์นั้นระบุปัจจัยที่มีอิทธิพลต่อการไหลของของเหลวจริงในท่อ และของเหลวไหลเนื่องจากความแตกต่างของความดัน ดังนั้น สมการสัมประสิทธิ์ความหนืดจึงจำเป็นต้องปรับอีกครั้ง
ของเหลวสามารถไหลได้เนื่องจากความแตกต่างของความดัน (ของเหลวไหลจากบริเวณที่มีความดันสูงไปยังบริเวณที่มีความดันต่ำ) ดังนั้นเราจึงแทน F ด้วย p1 p -2 (p1 > พี2).
ในการหาอนุพันธ์ของสมการสัมประสิทธิ์ความหนืด เราจะพิจารณาการไหลของชั้นของเหลวจริงระหว่างแผ่นขนานสองแผ่น แต่ละส่วนของของเหลวจะมีการเปลี่ยนแปลงความเร็วอย่างสม่ำเสมอตามระยะทาง l ในกรณีนี้ อัตราการไหลของของเหลวจะเปลี่ยนแปลงอย่างสม่ำเสมอจากแกนกลางของท่อไปยังขอบของท่อ ของเหลวที่แกนกลางของท่อจะไหลด้วยความเร็วที่มากกว่า (v) ยิ่งเข้าใกล้ขอบ ความเร็วของของเหลวก็จะลดลง รัศมีของท่อ = ระยะห่างระหว่างแกนกลางของท่อกับขอบของท่อ = R ระยะห่างระหว่างแต่ละส่วนของของเหลวกับขอบของท่อ = r เนื่องจากจำนวนของแต่ละส่วนของของเหลวมีมากและระยะห่างจากขอบของท่อก็แตกต่างกัน เราจึงเขียนสมการได้ดังนี้:
v1 = ความเร็วของของเหลวที่ระยะ r1 จากขอบท่อ (r1 = R)
v2 = ความเร็วของของเหลวที่ระยะ r2 จากขอบท่อ (r2 < r1)
v3 = ความเร็วของของเหลวที่ระยะ r3 จากขอบท่อ (r3 < r2 < r1)
v4 = ความเร็วของของเหลวที่ระยะ r4 จากขอบท่อ (r4 < r3 < r2 < r1)
พ ..............................................
vn = ความเร็วของของเหลวที่ระยะ rn จากขอบท่อ (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1 )
จำนวนของของเหลวแต่ละส่วนมีมาก และเราก็ไม่ทราบจำนวนที่แน่ชัด ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะเขียนด้วยสัญลักษณ์ n ของเหลวแต่ละส่วนมีการเปลี่ยนแปลงอัตรา (v) อย่างสม่ำเสมอ จากแกนกลางของท่อ (r1 = R) ไปยังขอบของท่อ (rn) จากแกนกลางของท่อ (r1 = R) ไปยังขอบของท่อ (rn) อัตราการไหลของของเหลวแต่ละส่วนจะลดลง (v1 > v2 > v3 > v4 > … > vn)
จากคำอธิบายข้างต้น เราจะเห็นได้ว่าอัตราการไหลของของเหลวลดลงจาก R ไปยัง rn ความยาวของท่อ = L สมการที่ได้คือ:
เนื่องจากสิ่งที่เรากำลังพิจารณาคืออัตรา (v) ของการไหลของของเหลว สมการที่ 2 จึงกลายเป็น:
นี่คือสมการสำหรับอัตราการไหลของของเหลวที่ระยะ r จากท่อที่มีรัศมี R หากคุณสับสนขณะดูภาพด้านบน... โปรดทราบว่าของเหลวไหลในท่อ ดังนั้นเราจึงต้องทบทวนอัตราการไหลเชิงปริมาตรของของเหลว
ภายในท่อมีของเหลวอยู่ ตัวอย่างเช่น เราแบ่งของเหลวออกเป็นชิ้นเล็กๆ มาก โดยแต่ละชิ้นมีพื้นที่หนึ่งหน่วย dA อยู่ห่างจากแกนของท่อเป็นระยะ และมีอัตราการไหล v ในทางคณิตศาสตร์ สามารถเขียนได้ดังนี้:
dA1 = ส่วนของของเหลวที่ 1 ซึ่งอยู่ห่างจากแกนท่อเป็นระยะ 1
dA2 = ส่วนของของเหลวที่ 2 ซึ่งอยู่ห่างจากแกนท่อเป็นระยะ 2
dA3 = ส่วนของของเหลวที่ 3 ซึ่งอยู่ห่างจากแกนท่อเป็นระยะ 3
..................................
dA n = พื้นที่หน้าตัดของของเหลว n ซึ่งเป็นระยะทาง dA n จากแกนของท่อ
มีของเหลวอยู่หลายส่วนมาก จึงสะดวกที่จะใช้สัญลักษณ์ n แทนทั้งหมด อัตราการไหลเชิงปริมาตรของของเหลวแต่ละส่วนสามารถเขียนในรูปสมการทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้:
ของเหลวแต่ละส่วนอยู่ห่างจากแกนกลางของท่อเป็นระยะ r = 0 ถึง r = R (R = รัศมีของท่อ) กล่าวคือ ระยะห่างของของเหลวแต่ละส่วนจะแตกต่างกันเมื่อวัดจากแกนกลางของท่อ หากเราใช้แคลคูลัส (การอินทิเกรต) เราจะได้สมการสำหรับอัตราการไหลเชิงปริมาตรของของเหลวในท่อ:
ข้อสังเกต:
Q = เดบิต
R = รัศมีภายในของท่อหรือหลอด
η = สัมประสิทธิ์ความหนืด
P1 p -2 = ความแตกต่างของความดันระหว่างปลายทั้งสองของท่อ
L = ความยาวของท่อ
p1-p2L = ความชันของความดัน (การไหลของของเหลวจะเกิดขึ้นในทิศทางที่ความดันลดลงเสมอ)
จากสมการของ Poiseuille ข้างต้น จะเห็นได้ว่าอัตราการไหลของปริมาตรของของเหลว หรือที่เรียกว่าปริมาณการไหลออก (Q) จะเป็นสัดส่วนกับกำลังสี่ของรัศมีของท่อ (R)4), ความแตกต่างของความดัน (p2 p -1 อัตราการไหลของของเหลวแปรผกผันกับความหนืด หากรัศมีของท่อเพิ่มขึ้น (ค่าสัมประสิทธิ์ความหนืดและความชันของความดันยังคงที่) อัตราการไหลของของเหลวจะเพิ่มขึ้น 16 เท่า
หลักการพื้นฐานในการออกแบบท่อ กระบอกฉีดยา ฯลฯ ใช้สมการนี้ การไหลของของเหลวเป็นสัดส่วนกับ R4 (R = รัศมีของท่อ) รัศมีของกระบอกฉีดยาหรือรัศมีของท่อจำเป็นต้องคำนวณอย่างระมัดระวัง ตัวอย่างเช่น ถ้าเราเพิ่มรัศมีของเข็มเป็นสองเท่า (r x 2) ปริมาณของเหลวที่พ่นออกมาจะเพิ่มแรงดันของนิ้วหัวแม่มือขึ้น 16 เท่า
สมการของ Poiseuille ยังแสดงให้เห็นว่ากำลังสี่ของรัศมี (r)4อัตราการไหลของเลือดแปรผกผันกับความแตกต่างของความดันระหว่างปลายทั้งสองของท่อ ตัวอย่างเช่น ในตอนแรกเลือดไหลในหลอดเลือดที่มีรัศมีภายใน r หากหลอดเลือดตีบลง (เช่น r/2 = รัศมีภายในของหลอดเลือดลดลง 2 เท่า) จะต้องใช้ความแตกต่างของความดันถึง 16 เท่าเพื่อให้เลือดไหลเท่าเดิม (เพื่อให้ปริมาณการไหลของเลือดคงที่)
