ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว เช่น เวกเตอร์ A แดน B เขียนเป็น A x B (A ข้าม Bการคูณไขว้เรียกว่าการคูณเวกเตอร์ เพราะผลลัพธ์ของการคูณนี้จะได้ปริมาณเวกเตอร์
ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ A และเวกเตอร์ B จะมีลักษณะดังภาพด้านล่าง
เพื่อกำหนดผลคูณไขว้ระหว่างเวกเตอร์ A แดน B (A x B) เราวาดเวกเตอร์ A แดน B ดังแสดงในภาพด้านบน และยังมีภาพประกอบอีกด้วย ส่วนประกอบเวกเตอร์ จุด B ตั้งฉากกับจุด A ซึ่งเท่ากับ B sin θ
ดังนั้น เราจึงสามารถกำหนดขนาดของผลคูณเวกเตอร์ได้ A แดน B (A x B) เป็นผลคูณของขนาดของเวกเตอร์ A ด้วยส่วนประกอบเวกเตอร์ B ตั้งฉากกับเวกเตอร์ A.
จะเป็นอย่างไรถ้าหาก ก x ข เรากลับมาเป็นเหมือนเดิมแล้ว B x A ?
ขั้นแรก เรามาวาดเวกเตอร์กันก่อน B แดน A และส่วนประกอบเวกเตอร์ A ซึ่งตั้งฉากกับ B
จากรูปนี้ เราสามารถกำหนดผลคูณไขว้ระหว่างเวกเตอร์ได้ B แดน A (B x A) เป็นผลคูณของขนาดของเวกเตอร์ B ด้วยส่วนประกอบเวกเตอร์ A ตั้งฉากกับเวกเตอร์ Bเขียนในรูปสมการทางคณิตศาสตร์:
ทิศทางการคูณไขว้ A x B
ผลคูณเวกเตอร์ (Cross product) คือผลคูณเวกเตอร์ ดังนั้นผลคูณจึงมีทั้งขนาดและทิศทาง ขนาดของผลคูณเวกเตอร์ได้หามาแล้วข้างต้น ต่อไปให้หาทิศทางของผลคูณเวกเตอร์ ก x ขขั้นแรก เราวาดเวกเตอร์ A และ B ดังแสดงในภาพด้านล่าง จากนั้นวางเวกเตอร์ทั้งสองนี้ลงบนระนาบเดียวกัน
การคูณไขว้ A x B ถูกกำหนดให้เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบซึ่งเวกเตอร์นั้นอยู่ A แดน B ตั้งอยู่ ขนาดเท่ากับ AB บาป Teta- ถ้า C = A x B ท่ามะกา C = AB บาป Teta
พระอรหันต์ C ตั้งฉากกับระนาบที่เวกเตอร์อยู่ A แดน B ตั้งอยู่ตรงนั้น เราสามารถใช้กฎมือขวาเพื่อกำหนดทิศทางได้ Cถ้าเราวางนิ้วในทิศทางตรงกันข้ามกับทิศทางการหมุนตามเข็มนาฬิกา ทิศทางก็จะเปลี่ยนไป C ในทิศทางเดียวกับนิ้วหัวแม่มือที่ชี้ขึ้นด้านบน
ทิศทางการคูณไขว้ B x A
เพื่อกำหนดทิศทาง บี x เอขั้นแรกเราวาดเวกเตอร์ B แดน A ดังภาพด้านล่าง เราวางเวกเตอร์ทั้งสองนี้ไว้ในระนาบเดียวกัน
จิกะ C = B x A ท่ามะกา C = BA sin teta.
ทิศทางของ C ตั้งฉากกับระนาบที่เวกเตอร์อยู่ B แดน A ตั้งอยู่ตรงนั้น เราสามารถใช้กฎมือขวาเพื่อกำหนดทิศทางได้ Cถ้าเราวางนิ้วมือในทิศทางที่สอดคล้องกับทิศทางการหมุนตามเข็มนาฬิกาของเข็มนาฬิกา ทิศทางนั้นก็จะ... C เหมือนกับทิศทางที่นิ้วหัวแม่มือชี้ลง
A x B ไม่เท่ากับ B x Aผลคูณเวกเตอร์จะได้ปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งนอกจากจะมีขนาดแล้วยังมีทิศทางด้วย ในกรณีของหยดน้ำข้างต้น ทิศทางของเวกเตอร์นั้น... A x B ทิศทางตรงกันข้ามกับ B x A.
สิ่งที่คุณควรรู้เกี่ยวกับการคูณไขว้มีดังนี้:
1. การคูณไขว้เป็นสมบัติผกผันการสลับที่
A x B = - B x A
เครื่องหมายลบแสดงถึงทิศทาง B บน A x B ทิศทางตรงกันข้าม B บน B x A.
2. ถ้าเวกเตอร์ทั้งสองแยกจากกันโดยสิ้นเชิง ตั้งฉาก ดังนั้นมุมที่เกิดขึ้นคือ 90 องศาo. ไม่มี 90o = 1 ดังนั้น ขนาดของผลคูณเวกเตอร์ระหว่างเวกเตอร์ A แดน B จะมีลักษณะดังนี้:
A x B = AB บาป Teta = AB บาป 90o = AB
B x A = BA บาป Teta = BA บาป 90o = BA
3. ถ้าเวกเตอร์ทั้งสองมีทิศทางเดียวกัน มุมที่เกิดขึ้นจะเป็น 0o.
ไม่มี 0o = 0 ดังนั้น ค่าของผลคูณเวกเตอร์ระหว่างเวกเตอร์คือ 0 A แดน B จะปรากฏดังต่อไปนี้
A x B = AB บาป ทีต้า = AB ซิน 0o = 0
B x A = BA บาป ทีต้า = แบเรีย ซิน 0o = 0
