ตัวอย่างคำถามสำหรับการอภิปรายเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต
อนุพันธ์ในแคลคูลัสเป็นแนวคิดพื้นฐานที่ใช้ในการอธิบายการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน หรือความชันของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง อนุพันธ์มีประโยชน์ในหลากหลายสาขา เช่น ฟิสิกส์ เศรษฐศาสตร์ และวิศวกรรมศาสตร์ เพราะให้ข้อมูลเกี่ยวกับอัตราการเปลี่ยนแปลง ในบทความนี้ เราจะกล่าวถึงตัวอย่างอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตและวิธีการแก้ปัญหาเหล่านั้น
ตัวอย่างที่ 1: อนุพันธ์ของฟังก์ชันพหุนาม
คำถาม: กำหนดฟังก์ชัน \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \). จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้!
สารละลาย:
โดยใช้กฎพื้นฐานของการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพหุนาม นั่นคือ \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \) เราจะคำนวณอนุพันธ์ของแต่ละพจน์ของฟังก์ชันทีละพจน์
\[
\begin{align }
ฉ(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) &= 3 \cdot 3x^{3-1} – 5 \cdot 2x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} – 0 \\
f'(x) &= 9x^2 – 10x + 2.
\end{align }
\]
ดังนั้น อนุพันธ์ของ \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) คือ \( f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \)
ตัวอย่างที่ 2: อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน
คำถาม: จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \).
สารละลาย:
โดยใช้กฎการหาอนุพันธ์แบบเดียวกัน นั่นคือ \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{align }
g(x) &= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) &= \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
\end{align }
\]
ดังนั้น อนุพันธ์ของ \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) คือ \( g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \)
ตัวอย่างที่ 3: อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและฟังก์ชันตรีโกโนเมตริก
คำถาม: จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน \( h(x) = e^x \cdot \sin(x) \).
สารละลาย:
ในการแก้สมการอนุพันธ์นี้ เราจำเป็นต้องใช้กฎผลคูณ ซึ่งระบุว่า \((uv)' = u'v + uv'\) สมมติว่า \( u(x) = e^x \) และ \( v(x) = \sin(x) \) แล้ว:
\[
\begin{align }
u'(x) &= e^x, & \text{เนื่องจากอนุพันธ์ของ } e^x \text{ คือ } e^x \\
v'(x) &= \cos(x), & \text{เนื่องจากอนุพันธ์ของ } \sin(x) \text{ คือ } \cos(x)
\end{align }
\]
ใช้กฎที่ได้มาสำหรับผลิตภัณฑ์:
\[
\begin{align }
h'(x) &= (e^x \cdot \sin(x))' \\
&= e^x \cdot (\sin(x))' + \sin(x) \cdot (e^x)' \\
&= e^x \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot e^x \\
&= e^x (\cos(x) + \sin(x)).
\end{align }
\]
ดังนั้น อนุพันธ์ของ \( h(x) = e^x \sin(x) \) คือ \( h'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \).
ตัวอย่างที่ 4: การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้กฎลูกโซ่
คำถาม: จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \).
สารละลาย:
ในการแก้สมการอนุพันธ์นี้ เราต้องใช้กฎลูกโซ่ นั่นคือ \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\) สมมติว่า \( u(x) = 3x^2 – x + 4 \) และ \( f(u) = u^5 \) แล้ว:
\[
\begin{align }
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) &= 3x^2 – x + 4, & \text{ดังนั้น} \\
k(x) &= f(u(x)) = u^5 \\
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{align }
\]
โดยใช้กฎลูกโซ่:
\[
\begin{align }
k'(x) &= 5(3x^2 – x + 4)^4 \cdot (6x – 1) \\
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{align }
\]
ดังนั้น อนุพันธ์ของ \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) คือ \( k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \).
ตัวอย่างที่ 5: อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่มีเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
คำถาม: จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
สารละลาย:
เราจะใช้กฎการหาอนุพันธ์สำหรับผลคูณ สมมติว่า \( u(x) = \sin(x) \) และ \( v(x) = \cos(x) \) แล้ว:
\[
\begin{align }
u'(x) &= \cos(x), \\
v'(x) &= -\sin(x).
\end{align }
\]
ใช้กฎที่ได้มาสำหรับผลิตภัณฑ์:
\[
\begin{align }
m'(x) &= (\sin(x) \cdot \cos(x))' \\
&= (\sin(x))' \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (\cos(x))' \\
&= cos(x) ⋅ cos(x) + sin(x) ⋅ (-sin(x)) \\
&= cos^2(x) – sin^2(x)
\end{align }
\]
โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\):
\[
m'(x) = cos(2x)
\]
ดังนั้น อนุพันธ์ของ \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) คือ \( m'(x) = \cos(2x) \).
บทสรุป
อนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตเป็นแนวคิดพื้นฐานในแคลคูลัสที่มีความสำคัญและมีประโยชน์อย่างมากในการประยุกต์ใช้ต่างๆ กฎการหาอนุพันธ์ต่างๆ เช่น กฎการหาอนุพันธ์พื้นฐาน กฎการคูณ กฎลูกโซ่ และกฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ล้วนช่วยในการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนมากขึ้น การทำความเข้าใจตัวอย่างข้างต้นและการฝึกทำโจทย์จะช่วยให้เราพัฒนาความเข้าใจและทักษะในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตได้ดียิ่งขึ้น
