ตัวอย่างคำถามสำหรับการอภิปรายเกี่ยวกับเรื่องการแจกแจงทวินาม

ตัวอย่างคำถามและการอภิปรายเกี่ยวกับการแจกแจงทวินาม

การแจกแจงทวินามเป็นหนึ่งในการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องที่ใช้กันบ่อยที่สุด มีประโยชน์ในการจำลองจำนวนความสำเร็จจากการทดลองอิสระที่เหมือนกันหลายครั้ง ซึ่งแต่ละครั้งจะให้ผลลัพธ์เป็นความสำเร็จหรือความล้มเหลว ในบทความนี้ เราจะเจาะลึกการแจกแจงทวินามโดยการยกตัวอย่างและอธิบายอย่างละเอียด

บทนำสู่การแจกแจงทวินาม

ลักษณะสำคัญของการแจกแจงแบบทวินาม:

1. n : จำนวนครั้งของการทดลองหรือการทำซ้ำ
2. p : ความน่าจะเป็นของความสำเร็จในแต่ละครั้งของการทดลอง
3. q = 1-p : ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวในแต่ละครั้งของการทดลอง

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นมวลของการแจกแจงทวินามคือ:

[ P(X = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{nk} \]

ที่ไหน:

– \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): ตัวแปรสุ่มที่แสดงจำนวนความสำเร็จ
– (k): จำนวนความสำเร็จที่ต้องการ

Contoh Soal dan Pembahasan

เรามาเริ่มต้นด้วยตัวอย่างโจทย์ปัญหาเพื่อทำความเข้าใจแนวคิดของการแจกแจงทวินามให้ละเอียดยิ่งขึ้นกันเถอะ

ตัวอย่างที่ 1: การเลือกนักเรียนจากกลุ่มนักเรียน

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเรามีกลุ่มนักเรียน 10 คน และความน่าจะเป็นที่นักเรียนแต่ละคนจะถูกเลือกให้เข้าร่วมการแข่งขันคือ 0,3 เราต้องการทราบความน่าจะเป็นที่นักเรียน 4 คนจะถูกเลือกพอดี

ขั้นตอนที่ 1: ระบุพารามิเตอร์ของการแจกแจงทวินาม
– \( n = 10 \)
– (p = 0.3)

ขั้นตอนที่ 2: ใช้การแจกแจงทวินามเพื่อคำนวณความน่าจะเป็นของ \( X = 4 \).

[ P(X = 4) = {10 \choose 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]

กำลังคำนวณ \( {10 \choose 4} \):

\[ {10 \choose 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]

ตอนนี้คำนวณ \( (0.3)^4 \) และ \( (0.7)^6 \):

[ (0.3)^4 = 0.0081 ]
[ (0.7)^6 = 0.117649 ]

ดังนั้น

[ P(X = 4) = 210 ⋅ 0.0081 ⋅ 0.117649 ≈ 0.20012 ]

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะเลือกนักเรียนได้ 4 คนพอดี คือประมาณ 0.20012 หรือ 20.012%

ตัวอย่างที่ 2: ความน่าจะเป็นน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2

ยกตัวอย่างเช่น ตอนนี้เราถูกถามถึงความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะถูกเลือกไม่เกิน 2 คน

ขั้นตอนที่ 1: เราต้องคำนวณค่า \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \), และ \( P(X = 2) \).

– สำหรับ \( P(X = 0) \):

\[ P(X = 0) = {10 \choose 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \choose 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
[ P(X = 0) = 1 ⋅ 1 ⋅ 0.0282475 = 0.0282475 ]

– สำหรับ \( P(X = 1) \):

[ P(X = 1) = {10 \choose 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \choose 1} = 10 \]
[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
[ P(X = 1) = 10 ⋅ 0.3 ⋅ 0.1210608 = 0.3631824 ]

– สำหรับ \( P(X = 2) \):

[ P(X = 2) = {10 \choose 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \choose 2} = 45 \]
[ (0.3)^2 ⋅ (0.7)^8 = 0.2334744 ]
[ P(X = 2) = 45 ⋅ 0.09 ⋅ 0.2334744 = 0.2334744 ]

ขั้นตอนที่ 2: รวมค่าความน่าจะเป็นเข้าด้วยกัน

[ P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) ]
[ P(X ≤ 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 ]

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะเลือกนักเรียนน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2 คน คือประมาณ 0.7740671 หรือ 77.41%

ตัวอย่างที่ 3: ความน่าจะเป็นอย่างน้อย 8

ถ้าทำการทดลอง 12 ครั้ง และความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จในแต่ละครั้งคือ 0.5 ความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จอย่างน้อย 8 ครั้งคือเท่าใด

ขั้นตอนที่ 1 : กำหนดค่าพารามิเตอร์ของทวินาม: \( n = 12, p = 0.5 \).

ขั้นตอนที่ 2 : หาความน่าจะเป็นสำหรับ \( X \geq 8 \).

ขั้นตอนนี้ต้องคำนวณความน่าจะเป็นแต่ละรายการหลายๆ รายการ แล้วนำมาบวกกัน:

\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]

นับทีละหนึ่ง:

– สำหรับ \( P(X = 8) \):

[ P(X = 8) = {12 \choose 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \choose 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
[ P(X = 8) = 495 ⋅ 0.0002441406 = 0.1208496 ]

– สำหรับ \( P(X = 9) \):

[ P(X = 9) = {12 \choose 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \choose 9} = 220 \]
[ P(X = 9) = 220 ⋅ 0.0002441406 = 0.05371094 ]

– สำหรับ \( P(X = 10) \):

[ P(X = 10) = {12 \choose 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \choose 10} = 66 \]
[ P(X = 10) = 66 ⋅ 0.0002441406 = 0.01611328 ]

– สำหรับ \( P(X = 11) \):

[ P(X = 11) = {12 \choose 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \choose 11} = 12 \]
[ P(X = 11) = 12 ⋅ 0.0002441406 = 0.002929688 ]

– สำหรับ \( P(X = 12) \):

\[ P(X = 12) = {12 \choose 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \choose 12} = 1 \]
[ P(X = 12) = 1 ⋅ 0.0002441406 = 0.0002441406 ]

ขั้นตอนที่ 3: บวกค่าความน่าจะเป็นทั้งหมดเข้าด้วยกัน

[ P(X ≥ 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 ≈ 0.1938477 ]

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะเกิดความสำเร็จอย่างน้อย 8 ครั้งใน 12 ครั้ง คือประมาณ 0.1938477 หรือ 19.38%

บทสรุป

การแจกแจงทวินามเป็นแนวคิดพื้นฐานในสถิติที่สำคัญอย่างยิ่งในการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติหลายด้าน การทำความเข้าใจวิธีการคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับกรณีต่างๆ ของการแจกแจงทวินาม ดังตัวอย่างข้างต้น จะช่วยให้เราสามารถนำแนวคิดนี้ไปประยุกต์ใช้ในสถานการณ์จริงได้ แบบฝึกหัดนี้ยังช่วยเสริมสร้างความเข้าใจของเราเกี่ยวกับวิธีการทำงานของโครงสร้างความน่าจะเป็นในบริบทที่ชัดเจนและเป็นระบบอีกด้วย