ตัวอย่างคำถามเกี่ยวกับการแบ่งอนุกรมเลขคณิต

ตัวอย่างคำถามเกี่ยวกับการอภิปรายอนุกรมเลขคณิต

ลำดับเลขคณิตเป็นแนวคิดพื้นฐานในวิชาคณิตศาสตร์ที่มักปรากฏในโจทย์ปัญหาต่างๆ ทั้งในระดับมัธยมศึกษาและอุดมศึกษา แนวคิดนี้เกี่ยวข้องกับลำดับของตัวเลขที่แต่ละพจน์เป็นผลมาจากการบวกหรือลบจำนวนคงที่จากพจน์ก่อนหน้า ในบทความนี้ เราจะกล่าวถึงตัวอย่างโจทย์ปัญหาและวิธีแก้ปัญหาหลายข้อ เพื่อให้เข้าใจแนวคิดของลำดับเลขคณิตได้ดียิ่งขึ้น

ทำความเข้าใจอนุกรมเลขคณิต

อนุกรมเลขคณิต คือ อนุกรมที่มีผลต่างคงที่ (difference) ระหว่างพจน์สองพจน์ที่อยู่ติดกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าอนุกรมเลขคณิตมีพจน์แรกคือ \(a\) และผลต่างคือ \(d\) แล้วสามารถเขียนพจน์ต่างๆ ได้ดังนี้:

[a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...]

ถ้าเราต้องการหาพจน์ที่ n ของอนุกรมนี้ สูตรสำหรับพจน์ที่ n (\(U_n\)) คือ:

[ U_n = a + (n-1)d \]

ในขณะเดียวกัน ผลรวมของพจน์ n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต (\(S_n\)) สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]

Contoh Soal dan Pembahasan

ตัวอย่างคำถามที่ 1

คำถาม: กำหนดให้อนุกรมเลขคณิตที่มีพจน์แรกคือ \(a = 5\) และผลต่างร่วมคือ \(d = 3\) จงหาพจน์ที่ 10 ของอนุกรมนี้

การอภิปราย:

ในการหาพจน์ที่ 10 (\(U_{10}\)) เราสามารถใช้สูตรพจน์ที่ n ได้:

[ U_{10} = a + (10-1)d \]
[ U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
[ U_{10} = 5 + 27 \]
[ U_{10} = 32 \]

ดังนั้น พจน์ที่ 10 ของอนุกรมนี้คือ 32

ตัวอย่างคำถามที่ 2

คำถาม: จงหาผลรวมของ 15 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตที่มีพจน์แรกคือ \(a = 4\) และผลต่างร่วมคือ \(d = 7\)

การอภิปราย:

ในการหาผลรวมของพจน์ 15 พจน์แรก (\(S_{15}\)) เราสามารถใช้สูตรสำหรับผลรวมของพจน์ n พจน์แรกได้:

[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
[ S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
[ S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
[ S_{15} = 15 \cdot 53 \]
[ S_{15} = 795 \]

ดังนั้น ผลรวมของพจน์ 15 พจน์แรกของอนุกรมคือ 795

ตัวอย่างคำถามที่ 3

คำถาม: ทราบว่าพจน์ที่ 5 ของอนุกรมเลขคณิตคือ 20 และพจน์ที่ 12 คือ 48 จงหาพจน์แรก (\(a\)) และผลต่างร่วม (\(d\)) ของอนุกรมนี้

การอภิปราย:

จากเงื่อนไขที่กำหนด:

[ U_5 = a + 4d = 20 \]
[ U_{12} = a + 11d = 48 \]

เรามีสมการเชิงเส้นสองตัวแปรสองสมการที่เราสามารถหาคำตอบได้:

1. \( a + 4d = 20 \)
2. \( a + 11d = 48 \)

จากสมการที่ 1 เราสามารถแสดงค่า \(a\) ในรูปของ \(d\) ได้ดังนี้:

[a = 20 – 4d]

ตอนนี้เราแทนค่า \(a\) ลงในสมการที่ 2:

[ 20 – 4d + 11d = 48 \]
20 + 7d = 48
[ 7d = 28 \]
\[ ง = 4 \]

ตอนนี้เราแทนค่าของ d ลงในสมการ a = 20 – 4d:

[a = 20 – 4 ⋅ 4]
[a = 20 – 16]
\[ ก = 4 \]

ดังนั้น พจน์แรกของอนุกรมคือ 4 และผลต่างร่วมคือ 4

ตัวอย่างคำถามที่ 4

คำถาม: ต้องใช้จำนวนพจน์กี่พจน์สำหรับอนุกรมเลขคณิตที่มีพจน์แรกคือ \(a = 2\) และผลต่างร่วมคือ \(d = 5\) เพื่อให้ผลรวมเท่ากับ 200?

การอภิปราย:

ในกรณีนี้ เราต้องหาผลรวมของพจน์ n พจน์แรก (\(S_n\)) ที่เท่ากับ 200 โดยใช้สูตรสำหรับผลรวมของพจน์ n พจน์แรก:

[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]

แทนค่าของ \(a\) และ \(d\):

[ n}{2} (2 ⋅ 2 + (n-1) ⋅ 5) = 200 ]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
[ n (5n – 1) = 400 ]

นี่คือสมการกำลังสอง ในการแก้สมการนี้ เราต้องเปลี่ยนรูปแบบของสมการ:

[ 5n^2 – n – 400 = 0 ]

ใช้สูตรกำลังสอง \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]

ในกรณีนี้ \(a = 5\), \(b = -1\), และ \(c = -400\):

\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
n = 1 ± √1 + 8000 / 10 ]
n = 1 ± √8001 / 10 ]

ค่าของ \(\sqrt{8001}\) ใกล้เคียงกับ 89.42 ดังนั้น:

n = 1 ± 89.42 / 10 ]

เราเลือกค่านิยมเชิงบวก:

\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
[ n ≈ 90.42}{10} ]
[ n ≈ 9.042 ]

ดังนั้น จำนวนพจน์ที่ต้องการคือ 9 พจน์ (หากปัดเศษ)

บทสรุป

ลำดับเลขคณิตเป็นหัวข้อสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ ความเข้าใจอย่างถ่องแท้เกี่ยวกับพจน์แรก ผลต่างร่วม พจน์ที่ n และผลรวมของ n พจน์แรกนั้นมีค่าอย่างยิ่งในการแก้ปัญหาหลากหลายประเภท หวังว่าจากตัวอย่างและการอธิบายข้างต้น ผู้อ่านจะมีความเข้าใจในแนวคิดพื้นฐานของลำดับเลขคณิตได้ดียิ่งขึ้น