ตัวอย่างคำถามเกี่ยวกับอนุกรมเรขาคณิต

ตัวอย่างคำถามเกี่ยวกับการอภิปรายอนุกรมเรขาคณิต

ลำดับเรขาคณิตเป็นแนวคิดพื้นฐานในวิชาคณิตศาสตร์ที่มักสอนกันในระดับมัธยมปลาย ลำดับเหล่านี้ประกอบด้วยชุดตัวเลข โดยแต่ละตัวเลขเป็นผลคูณของตัวเลขก่อนหน้ากับค่าคงที่ที่เรียกว่า "อัตราส่วน" บทความนี้จะกล่าวถึงตัวอย่างโจทย์และคำอธิบายเกี่ยวกับลำดับเรขาคณิต โดยหวังว่าจะช่วยให้ผู้อ่านเข้าใจแนวคิดนี้ได้ดียิ่งขึ้น

ทำความเข้าใจเกี่ยวกับอนุกรมเรขาคณิต

ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับของจำนวนที่เกิดจากการคูณจำนวนแรก (a) ด้วยอัตราส่วนคงที่ (r) โดยทั่วไป รูปแบบทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือ:

\[ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} \]

ที่นี่:

– “a” คือพจน์แรกของลำดับ
– “r” คืออัตราส่วนของพจน์หนึ่งต่อพจน์ก่อนหน้า
– “n” คือพจน์ที่ n ในลำดับ

Contoh Soal dan Pembahasan

เรามาลองพิจารณาตัวอย่างโจทย์บางข้อเพื่อทำความเข้าใจเกี่ยวกับลำดับเรขาคณิตกัน

ตัวอย่างคำถามที่ 1

คำถาม:
กำหนดลำดับเรขาคณิตที่มีพจน์แรก (a) คือ 3 และอัตราส่วน (r) คือ 2 จงหา:

1. พจน์ที่ 5 ของลำดับ
2. ผลรวมของ 6 พจน์แรกของลำดับ

การอภิปราย:

1. พจน์ที่ 5 (U5) สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรสำหรับพจน์ที่ n ของลำดับเรขาคณิต ดังนี้:

[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]

แทนค่า a = 3, r = 2 และ n = 5 ลงในสูตร:

[ U_5 = 3 ⋅ 2⁵⁻¹ ]
[ U_5 = 3 ⋅ 2⁴ ]
[ U_5 = 3 ⋅ 16 ]
[ U_5 = 48 \]

ดังนั้น พจน์ที่ 5 ของลำดับคือ 48

2. ผลรวมของ 6 พจน์แรก (S6) ของลำดับเรขาคณิตสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรสำหรับผลรวมของ n พจน์แรก ดังนี้:

[ S_n = a \left( \frac{r^n – 1}{r – 1} \right) \]

แทนค่า a = 3, r = 2 และ n = 6 ลงในสูตร:

[ S_6 = 3 \left( \frac{2^6 – 1}{2 – 1} \right) \]
[ S_6 = 3 \left( \frac{64 – 1}{1} \right) \]
[ S_6 = 3 \left( 63 \right) \]
[ S_6 = 189 \]

ดังนั้น ผลรวมของ 6 พจน์แรกของลำดับคือ 189

ตัวอย่างคำถามที่ 2

คำถาม:
ลำดับเรขาคณิตมีพจน์ที่ 3 เท่ากับ 27 และพจน์ที่ 5 เท่ากับ 243 จงหาค่าของพจน์แรก (a) และอัตราส่วน (r)

การอภิปราย:

กำหนดให้ U3 = 27 และ U5 = 243 โดยใช้สูตรหาพจน์ที่ n ของลำดับเรขาคณิต:

[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]

สำหรับเด็กอายุต่ำกว่า 3 ปี:

[ U_3 = a ⋅ r² ]
\[ 27 = a \cdot r^2 \] \[ (1) \]

สำหรับเด็กอายุต่ำกว่า 5 ปี:

[ U_5 = a ⋅ r² ]
\[ 243 = a \cdot r^4 \] \[ (2) \]

เปรียบเทียบสมการ (1) และ (2) เพื่อกำจัด a:

[ \frac{U_5}{U_3} = \frac{a \cdot r^4}{a \cdot r^2} \]
[ \frac{243}{27} = r^2 \]
9 = r²
r = 3 หรือ r = -3

แทนค่า r ลงในสมการ (1):

ถ้า r = 3 :

27 = a ⋅ 3² ]
[ 27 = a ⋅ 9 ]
\[ ก = 3 \]

ถ้า r = -3 :

[ 27 = a ⋅ (-3)² ]
[ 27 = a ⋅ 9 ]
\[ ก = 3 \]

ดังนั้น พจน์แรก (a) คือ 3 และอัตราส่วน (r) อาจเป็น 3 หรือ -3

ตัวอย่างคำถามที่ 3

คำถาม:
จงหาผลรวมอนันต์ของอนุกรมเรขาคณิตต่อไปนี้ ถ้าพจน์แรก (a) คือ 8 และอัตราส่วน (r) คือ 1/2

การอภิปราย:

ผลรวมอนันต์ของอนุกรมเรขาคณิตสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

[ S_{\infty} = \frac{a}{1 – r} \]

แทนค่า a = 8 และ r = 1/2 ลงในสูตร:

[ S_{\infty} = \frac{8}{1 – \frac{1}{2}} \]
[ S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1}{2}} \]
[ S_{\infty} = 8 \times 2 \]
[ S_{\infty} = 16 \]

ดังนั้น ผลรวมอนันต์ของอนุกรมเรขาคณิตคือ 16

ตัวอย่างคำถามที่ 4

คำถาม:
ลำดับเรขาคณิตมีพจน์ที่ 2 เท่ากับ 12 และพจน์ที่ 4 เท่ากับ 108 จงหาอัตราส่วนและพจน์แรกของลำดับนี้

การอภิปราย:

กำหนดให้ \( U_2 = 12 \) และ \( U_4 = 108 \). โดยใช้สูตรสำหรับพจน์ที่ n ของลำดับเรขาคณิต:

สำหรับ \( U_2 \):

[ U_2 = a \cdot r \]
[ 12 = a ⋅ r ] [ (1) ]

สำหรับ \( U_4 \):

[ U_4 = a ⋅ r² ]
\[ 108 = a \cdot r^3 \] \[ (2) \]

เปรียบเทียบสมการ (1) และ (2) เพื่อกำจัด a:

[ \frac{U_4}{U_2} = \frac{a \cdot r^3}{a \cdot r} \]
[ \frac{108}{12} = r^2 \]
9 = r²
r = 3 หรือ r = -3

แทนค่า r ลงในสมการ (1):

ถ้า r = 3 :

[ 12 = a ⋅ 3 ]
\[ ก = 4 \]

ถ้า r = -3 :

[ 12 = a ⋅ (-3) ]
[a = -4]

ดังนั้น พจน์แรก (a) สามารถเป็น 4 หรือ -4 และอัตราส่วน (r) สามารถเป็น 3 หรือ -3

บทสรุป

ลำดับเรขาคณิตเป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญและใช้กันอย่างแพร่หลายในหลากหลายสาขา การทำความเข้าใจพื้นฐานและฝึกฝนทักษะการแก้ปัญหาจะช่วยให้เราเข้าใจและนำแนวคิดนี้ไปใช้ได้อย่างเชี่ยวชาญมากขึ้น บทความนี้ประกอบด้วยตัวอย่างโจทย์และคำอธิบายหลายข้อเพื่อช่วยให้ผู้อ่านเรียนรู้และเข้าใจลำดับเรขาคณิตได้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น หวังว่าจะเป็นประโยชน์!