11 ตัวอย่างโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอ
1. อนุภาคเคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ 10 เรเดียน/วินาที จงหา (ก) ความเร็วเชิงมุมของอนุภาคหลังจาก 10 วินาที (ข) มุมที่อนุภาคทำกับวงกลมหลังจาก 10 วินาที
การอภิปราย
(ก) ความเร็วเชิงมุมหลังจาก 10 วินาที
อนุภาคเคลื่อนที่ในวงกลมสม่ำเสมอ หมายความว่าอนุภาคเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ ดังนั้นความเร็วเชิงมุมหลังจาก 10 วินาทีจึงยังคงเป็น 10 เรเดียน/วินาที
(ข) มุมที่ล้อมรอบหลังจาก 10 วินาที
ความเร็วเชิงมุมคงที่ 10 เรเดียน/วินาที หมายความว่าทุกๆ 1 วินาที อนุภาคจะหมุนไปเป็นมุม 10 เรเดียน หลังจาก 2 วินาที อนุภาคจะหมุนไปเป็นมุม 2 x 10 = 20 เรเดียน และหลังจาก 10 วินาที อนุภาคจะหมุนไปเป็นมุม 10 x 10 เรเดียน = 100 เรเดียน
2. จุดบนขอบของทรงกระบอกเคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยความเร็วคงที่ 10 เมตร/วินาที รัศมีของทรงกระบอกเท่ากับ 1 เมตร จงหา (ก) ความเร็วของขอบทรงกระบอกในอีก 5 วินาทีต่อมา (ข) ระยะทางที่ขอบทรงกระบอกเคลื่อนที่ไปได้ในอีก 5 วินาทีต่อมา (ค) ความเร่งสู่ศูนย์กลางของจุดที่อยู่ห่างจากแกนหมุน 0,5 เมตร และ 1 เมตร
การอภิปราย
(ก) ความเร็วของจุดบนขอบทรงกระบอกหลังจาก 5 วินาที
ทรงกระบอกเคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยความเร็วคงที่ ดังนั้น 5 วินาทีต่อมา ความเร็วของขอบทรงกระบอกยังคงอยู่ที่ 10 เมตร/วินาที
(ข) ระยะทางที่จุดบนขอบทรงกระบอกเคลื่อนที่ไปได้หลังจาก 5 วินาที
โดยไม่มีสูตร
ความเร็ว 10 เมตร/วินาที หมายความว่าทุกๆ 1 วินาที จุดบนขอบของทรงกระบอกจะเคลื่อนที่ไป 10 เมตร หลังจาก 1 วินาที จุดบนขอบของทรงกระบอกจะเคลื่อนที่ไป 10 เมตร หลังจาก 2 วินาที จุดบนขอบของทรงกระบอกจะเคลื่อนที่ไป 20 เมตร หลังจาก 5 วินาที จุดบนขอบของทรงกระบอกจะเคลื่อนที่เป็นวงกลมไป 50 เมตร
โดยใช้สูตร :
วี = ส / ที
s = vt = (10)(5) = 50 เมตร
(ค) ความเร่งสู่ศูนย์กลาง (a)s)
ความเร่งสู่ศูนย์กลางของจุดที่อยู่ห่างจากแกนหมุน 0,5 เมตร คือ:
as = v2 / r = 102 / 0,5 = 100 / 0,5 = 200 ม./วินาที2
ความเร่งสู่ศูนย์กลางของจุดที่อยู่ห่างจากแกนหมุน 1 เมตร คือ:
as = v2 / r = 102 / 0,5 = 100 / 1 = 100 ม./วินาที2
3. จานหมุนที่มีรัศมี 2 เมตร เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ 60 รอบต่อนาที จงหา (ก) ความเร็วเชิงมุมของจานหมุนหลังจาก 2 วินาที (ข) มุมที่จานหมุนล้อมรอบหลังจาก 1 นาที (ข) ความเร็วสัมผัส ความเร่งสู่ศูนย์กลาง และระยะทางที่จุดที่อยู่ห่างจากแกนหมุน 1 เมตร เคลื่อนที่ไป (ค) ความเร็วสัมผัส ความเร่งสู่ศูนย์กลาง และระยะทางที่จุดบนขอบของจานหมุนเคลื่อนที่ไป
การอภิปราย
เป็นที่รู้จัก :
จาวาบ :
(ก) ความเร็วเชิงมุม ( ) หลังจาก 2 วินาที
ความเร็วเชิงมุมคงที่ ดังนั้นหลังจาก 2 วินาที ความเร็วเชิงมุมของแผ่นเสียงยังคงอยู่ที่ 6,28 เรเดียน/วินาที
(ข) มุม ( ) ล้อมรอบด้วยแท่นหมุนหลังจาก 1 นาที
ความเร็วเชิงมุม 1 รอบต่อวินาที หมายความว่าทุกๆ วินาที จานหมุนจะหมุนครบ 1 รอบ หลังจาก 60 วินาที จานหมุนจะหมุนครบ 60 รอบ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ
ความเร็วเชิงมุม 6,28 เรเดียน/วินาที หมายความว่าทุกๆ วินาที จานหมุนจะหมุนไปเป็นมุม 6,28 เรเดียน หลังจาก 60 วินาที จานหมุนจะหมุนไปเป็นมุม 376,8 เรเดียน
4. ล้อรถยนต์หมุนครบ 120 รอบทุกๆ 60 วินาที ความเร็วเชิงมุมของล้อคือเท่าใด ระบุเป็น: (a) รอบต่อนาที (รอบต่อนาที) หรือรอบต่อนาที (b) องศาต่อวินาที (o/s) (c) เรเดียนต่อวินาที (rad/s)
การอภิปราย
(ก) ความเร็วเชิงมุมของล้อในหน่วยรอบต่อนาที (rpm)
120 รอบ / 60 วินาที = 120 รอบ / 1 นาที = 120 รอบ / นาที = 120 รอบต่อนาที
(ข) ความเร็วเชิงมุมของล้อในหน่วยองศา/วินาที (o/ s)
1 รอบ = 360 องศาo120 รอบ = 43200o
ดังนั้น 120 รอบ / 60 วินาที = (120)(360)o) / 60 วินาที = 43200o 60 วินาที = 720o/ที่สอง
(ค) ความเร็วเชิงมุมของล้อในหน่วยเรเดียน/วินาที (rad/s)
1 รอบ = 6,28 เรเดียน
ดังนั้น 120 รอบ / 60 วินาที = (120)(6,28) เรเดียน / 60 วินาที = 753,6 เรเดียน / 60 วินาที = 12,56 เรเดียน/วินาที
5. ลูกแก้วถูกหมุนในชามทรงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 1 เมตร ถ้าลูกแก้วหมุนรอบขอบชามด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ 50 รอบต่อนาที ความเร็วเชิงเส้นและความเร่งสู่ศูนย์กลางของลูกแก้วคือ…
ก. 50 มิลลิวินาที-1 และ 2500 มิลลิวินาที-2
B. 5π มิลลิวินาที-1 และ 25π2 นางสาว-2
C. 5π/3 มิลลิวินาที-1 และ 25π2/18 มิลลิวินาที-2
ง. 5π/6 มิลลิวินาที-1 และ 25π2/18 มิลลิวินาที-2
E. 5π/12 มิลลิวินาที-1 และ 25π2/36 มิลลิวินาที-2
การอภิปราย
เป็นที่ทราบกันว่า:
เส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม (D) = 1 เมตร
รัศมีของวงกลม (r) = 0,5 เมตร
ความเร็วเชิงมุม (ω) = 50 รอบต่อนาที = 50 รอบ / 1 นาที
1 รอบ = 2π เรเดียน
50 รอบ = 50 (2π เรเดียน) = 100π เรเดียน
1 นาที = 60 วินาที
ความเร็วเชิงมุม (ω) = 100π เรเดียน / 60 วินาที = (10π/6) เรเดียน/วินาที
คำถาม: ความเร็วเชิงเส้น (v) และความเร่งสู่ศูนย์กลาง (a)s)
คำตอบ :
ความเร็วเชิงเส้น (v) :
v = r ω = (0,5)(10π/6) = 5π/6 เมตร/วินาที
ความเร่งสู่ศูนย์กลาง (ก)s):
as = v2/r = (5π/6)2 : 0,5 = 25π2/36 : 0,5 = (25π2/36)(1/0,5)
as = (25π2/18) ม/วินาที2
คำตอบที่ถูกต้องคือ D.
6. วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยรัศมี 50 ซม. ถ้าวัตถุหมุนด้วยความเร็ว 120 รอบต่อนาที เวลาในการหมุนและความเร็วของวัตถุจะเป็นเท่าใด ตามลำดับ…
A. 0,5 วินาที และ 2π มิลลิวินาที-1
B. 0,5 วินาที และ 0,2π มิลลิวินาที-1
C. 0,5 วินาที และ π มิลลิวินาที-1
D. 2 วินาที และ 5π มิลลิวินาที-1
E. 2 วินาที และ 10π มิลลิวินาที-1
การอภิปราย
เป็นที่ทราบกันว่า:
รัศมี (r) = 50 ซม. = 0,5 เมตร
ความเร็วเชิงมุม (ω) = 120 รอบต่อนาที = 120 รอบ / 1 นาที = 120 รอบ / 60 นาที = 2 รอบ / 1 วินาที
1 รอบ = 2π เรเดียน
ความเร็วเชิงมุม (ω) = 2 (2π เรเดียน) / 1 วินาที = 4π เรเดียน/วินาที
คำถาม: เวลาในการหมุน (T) และความเร็วเชิงเส้น (v)
คำตอบ :
เวลาหรือรอบ (T):
คาบเวลาคือช่วงเวลาที่วัตถุใช้ในการหมุนครบหนึ่งรอบ
วัตถุหมุน 2 รอบใน 1 วินาที เท่ากับว่าวัตถุหมุน 1 รอบใน 0,5 วินาที ดังนั้นเวลาหรือคาบการหมุนคือ 0,5 วินาที
ความเร็วของวัตถุ (ว):
v = r ω = (0,5 เมตร)(4π เรเดียน/วินาที) = 2π เมตร/วินาที
คำตอบที่ถูกต้องคือ A.
ศึกษาเนื้อหา การเคลื่อนที่แบบวงกลม แดน การเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอ เพื่อทำความเข้าใจการอภิปรายในเรื่องนี้ให้ดียิ่งขึ้น
7. ล้อที่มีรัศมี 10 เซนติเมตร หมุนด้วยความเร็วคงที่ 180 รอบต่อนาที ความเร็วเชิงเส้นของจุดบนขอบล้อคือ…
การอภิปราย
เป็นที่ทราบกันว่า:
ถาม:
ความเร็วเชิงเส้น (v) ?
คำตอบ :
จุดบนขอบล้ออยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของล้อ 0,1 เมตร
คำตอบที่ถูกต้องคือ A.
8. วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ v ไปตามเส้นทางวงกลมที่มีรัศมี R โดยมีความเร่งสู่ศูนย์กลาง (a)s) ดังนั้น ความเร่งสู่ศูนย์กลางจึงกลายเป็นสามเท่าของความเร่งเดิม...
ก. v ถูกสร้างขึ้น 4 ครั้ง และ ข. R ถูกสร้างขึ้นอีก 2 ครั้ง
B. v ถูกสร้างขึ้น 2 ครั้ง และ R ถูกสร้างขึ้นอีก 4 ครั้ง
C. v ถูกสร้างขึ้น 3 ครั้ง และ R ถูกสร้างขึ้นอีก 3 ครั้ง
D. v ยังคงอยู่ และ R เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าอีกครั้ง
E. v เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าอีกครั้ง และ R ยังคงเท่าเดิม
การอภิปราย
คำตอบที่ถูกต้องคือ C.
9. ล้อ A, B และ C เชื่อมต่อกันดังแสดงในรูป ถ้ารัศมีของล้อ A, B และ C คือ 10 ซม., 4 ซม. และ 2 ซม. ตามลำดับ และล้อ B หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม 5 เรเดียนต่อวินาที-1 จากนั้นล้อ C จะหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม….
A. 80 เรเดียนวินาที-1
B. 55 เรเดียน-1
C. 40 เรเดียนวินาที-1
ง. 25 เรเดียน-1
E. 10 เรเดียนวินาที-1
การอภิปราย
เป็นที่ทราบกันว่า:
คำตอบ :
ความสัมพันธ์ระหว่างล้อ A และล้อ B
ล้อ A และล้อ B ติดกัน ดังนั้นจึงหมุนไปพร้อมกัน เนื่องจากหมุนไปพร้อมกัน ความเร็วเชิงมุมของล้อ A จึงเท่ากับความเร็วเชิงมุมของล้อ B
ความสัมพันธ์ระหว่างล้อ A และล้อ C
เส้นรอบวงของล้อ A มีขนาดใหญ่กว่าเส้นรอบวงของล้อ C มาก หากล้อ C หมุนไป 360 องศาo หรือหมุนหนึ่งรอบ ในขณะเดียวกัน ล้อ A ยังหมุนไม่ครบ 360 องศาo หรือหนึ่งรอบการหมุน ดังนั้น ความเร็วเชิงมุมของล้อ A จึงไม่เท่ากับความเร็วเชิงมุมของล้อ C
อย่างไรก็ตาม ล้อ A และล้อ C เชื่อมต่อกันด้วยเชือก เนื่องจากเชื่อมต่อกันด้วยเชือก ในช่วงเวลาเดียวกัน ระยะทางที่ขอบล้อ A เคลื่อนที่ได้จะเท่ากับระยะทางที่ขอบล้อ C เคลื่อนที่ได้ ดังนั้น ความเร็วเชิงเส้นของล้อ A จึงเท่ากับความเร็วเชิงเส้นของล้อ B
บทสรุป :
คำตอบที่ถูกต้องคือ D.
10. วัตถุที่มีการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอ โดยมีรัศมี 6 เมตร ถ้าใน 2 นาที วัตถุหมุนครบ 16 รอบ แล้ว ความเร็วเชิงเส้น วัตถุนั้นคือ….
ก. 0,8 น.-1
ข. 1,0 น.-1
ค. 1,2 น.-1
ง. 1,4 น.-1
1,6 น.-1
การอภิปราย
เป็นที่ทราบกันว่า:
รัศมี (r) = 6 เมตร
ความเร็วเชิงมุม (ω) = 16 รอบ / 2 นาที = 8 รอบ / นาที = 8 รอบ / 60 วินาที = 0,13 รอบ / วินาที
ถาม: ความเร็วเชิงเส้น (v)?
คำตอบ :
สูตรสำหรับความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วเชิงเส้น (v) และ ความเร็วเชิงมุม (ω) :
v = r ω = (6 เมตร)(0,13 รอบ/วินาที) = 0,8 รอบ เมตร/วินาที
คำตอบที่ถูกต้องคือ A.
ถ้าแสดงในหน่วยเรเดียน:
1 รอบ = 2π เรเดียน = 2(3,14) = 6,28 เรเดียน
ความเร็วเชิงมุม = 8 (6,28) เรเดียน / 60 วินาที = 50,24 เรเดียน / 60 วินาที = 0,84 เรเดียน/วินาที
v = r ω = (6 เมตร)(0,84 เรเดียน/วินาที) = 5,04 เรเดียน/วินาที
11. ใบพัดพัดลมที่มีรัศมี 20/π เซนติเมตร สามารถหมุนได้ 4 รอบใน 1 วินาที ความเร็วเชิงเส้นของปลายใบพัดคือ…
ก. 3,2 มิลลิวินาที-1
ข. 1,6 มิลลิวินาที-1
ค. 1,3 มิลลิวินาที-1
ง. 1,0 มิลลิวินาที-1
E. 0,8 มิลลิวินาที-1
การอภิปราย
เป็นที่ทราบกันว่า:
รัศมี (r) = 20/π เมตร = 20 / 3,14 เซนติเมตร = 6,4 เซนติเมตร = 0,064 เมตร
ความเร็วเชิงมุม (ω) = 4 รอบ / 1 วินาที = 4 รอบ/วินาที
1 รอบ = (2)(3,14) เรเดียน = 6,28 เรเดียน
ความเร็วเชิงมุม (ω) = (4)(6,28) เรเดียน/วินาที = 25,12 เรเดียน/วินาที
คำถาม: ความเร็วเชิงเส้น (v) ของปลายใบพัดคือเท่าไร?
คำตอบ :
v = r ω = (0,064 เมตร)(25,12 เรเดียน/วินาที) = 1,6 เมตร/วินาที
คำตอบที่ถูกต้องคือ B.
