Терминология ва намудҳои нотатсияи векторӣ
Ҳангоми баррасии риёзӣ, физика ва илми компютерӣ, мафҳуми векторҳо аксар вақт унсури муҳим барои фаҳмидан аст. Векторҳо танҳо мафҳумҳои абстрактӣ нестанд; онҳо дар вазъиятҳои гуногуни амалӣ, ба монанди таҳлили маълумот, графикаи компютерӣ ва симулятсияҳои физика, муҳиманд. Дар ин мақола, мо истилоҳот ва қайдкунии векторҳоро баррасӣ хоҳем кард ва сипас намудҳои гуногуни векторҳоеро, ки дар ин фанҳо мавҷуданд, меомӯзем.
Терминология ва нотатсияи векторӣ
1. Векторҳо ва скалярҳо
Вектор як воҳиди математикӣ аст, ки ҳам бузургӣ ва ҳам самт дорад. Баръакс, скаляр як арзиши ягона аст, ки танҳо бузургӣ дорад ва самт надорад. Масалан, суръати 5 м/с бе нишон додани самт скаляр аст, дар ҳоле ки суръати 5 м/с ба самти шарқ вектор аст.
2. Нотагузории векторӣ
Векторҳо одатан бо ҳарфи хурди ғафс ба монанди v, ё бо тире, ки дар болои ҳарф ба монанди \(\vec{v}\) ҷойгир аст, ишора карда мешаванд. Масалан, агар мо вектори v дошта бошем, ки унсурҳояш \(v_1, v_2, v_3\) бошанд, пас инро чунин навиштан мумкин аст:
\[ \vec{v} = \оғоз{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \]
Роҳи дигари навиштани векторҳо, махсусан дар контекстҳои ду ё сеченака, истифодаи асоси стандартӣ мебошад. Масалан:
\[ \vec{v} = v_1\hat{i} + v_2\hat{j} + v_3\hat{k} \]
ки дар он \(\hat{i}, \hat{j}\), ва \(\hat{k}\) векторҳои воҳидӣ дар меҳварҳои x, y ва z мебошанд.
Намудҳои векторҳо
1. Вектори мавқеъ
Вектори мавқеъ векторест, ки мавқеи нуқтаро дар фазо нисбат ба нуқтаи истинод, одатан нуқтаи O (манбаъ), тавсиф мекунад. Агар нуқтаи P дар фазои сеченака координатаҳо (x, y, z) дошта бошад, пас вектори мавқеъ \(\vec{r}\)-ро метавон чунин ифода кард:
\[ \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \]
2. Вектори ҷойивазкунӣ
Вектори ҷойивазкунӣ тағйирёбии мавқеи нуқтаро аз як мавқеъ ба мавқеъи дигар тавсиф мекунад. Фарз мекунем, ки нуқтаи A координатаҳои (x1, y1, z1) ва нуқтаи B координатаҳои (x2, y2, z2) дорад. Вектори ҷойивазкунии \(\vec{d}\) аз A ба B метавонад чунин навишта шавад:
\[ \vec{d} = (x2 – x1)\hat{i} + (y2 – y1)\hat{j} + (z2 – z1)\hat{k} \]
3. Вектори суръат
Суръат векторест, ки суръати тағйирёбии мавқеи объектро дар як воҳиди вақт нишон медиҳад. Агар \(\vec{r}(t)\) функсияи мавқеъ нисбат ба вақт бошад, вектори суръат \(\vec{v}(t)\) ҳосилаи \(\vec{r}(t)\) нисбат ба вақти t аст:
\[ \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} \]
4. Вектори шитоб
Вектори шитоб ҳосилаи вектори суръат нисбат ба вақт аст. Он суръати тағйирёбии суръати объектро дар як воҳиди вақт нишон медиҳад. Агар \(\vec{v}(t)\) функсияи суръат нисбат ба вақт бошад, вектори шитоб \(\vec{a}(t)\) ҳосилаи \(\vec{v}(t)\) аст:
\[ \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} \]
5. Вектори қувва
Мувофиқи қонуни дуюми Нютон, қувва ҳосили масса ва шитоб аст. Қувва инчунин вектор аст, зеро он ҳам бузургӣ ва ҳам самт дорад. Агар m масса ва \(\vec{a}\) вектори шитоб бошад, пас вектори қувва \(\vec{F}\)-ро чунин ифода кардан мумкин аст:
\[ \vec{F} = m\vec{a} \]
6. Вектори воҳидӣ
Вектори воҳидӣ векторест, ки бузургии (дарозии) як дорад. Вектори вектори \(\vec{v}\)-ро бо тақсим кардани \(\vec{v}\) ба бузургии он ба даст овардан мумкин аст. Агар \(\vec{v}\) бузургии \(||\vec{v}||\) дошта бошад, пас вектори воҳидии онро чунин навиштан мумкин аст:
\[ \hat{v} = \frac{\vec{v}}{||\vec{v}||} \]
7. Вектори сифрӣ
Вектори сифр векторест, ки ҳамаи ҷузъҳои он сифр мебошанд ва одатан бо \(\vec{0}\) ишора карда мешаванд. Ин вектор самт надорад ва бузургии он сифр аст. Мисол дар фазои сеченака:
\[ \vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
8. Векторҳои ортогоналӣ
Ду вектор ортогоналӣ номида мешаванд, агар ҳосили дохилии онҳо сифр бошад. Агар \(\vec{u}\) ва \(\vec{v}\) ду вектор бошанд, пас онҳо ортогоналӣ номида мешаванд, агар:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \]
9. Векторҳои коллинеарӣ ва векторҳои копланарӣ
Ду векторро агар онҳо дар як хати рост ҷойгир бошанд ё ба ҳам параллел бошанд, коллинеар меноманд. Онҳоро метавон ҳамчун зарбҳои скалярии якдигар ифода кард. Масалан:
\[ \vec{v} = k\vec{u} \]
барои баъзе скалярҳои \(k\).
Дар айни замон, се векторро агар онҳо дар як сатҳ ҷойгир бошанд, ҳампаҳноӣ меноманд. Онҳоро метавон ҳамчун комбинатсияи хаттии ду вектори дигар ифода кард.
Амалиётҳо дар векторҳо
1. Ҷамъ ва тарҳи векторӣ
Ҷамъкунии векторҳо бо роҳи илова кардани ҷузъҳои мувофиқи онҳо анҷом дода мешавад. Агар \(\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}\) ва \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\), пас:
\[ \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ u_3 + v_3 \end{pmatrix} \]
Тарҳкунӣ бо роҳи тарҳ кардани ҷузъҳои мувофиқ анҷом дода мешавад:
\[ \vec{u} – \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 – v_1 \\ u_2 – v_2 \\ u_3 – v_3 \end{pmatrix} \]
2. Зарби скалярӣ
Зарби скалярӣ амалиётест, ки вектореро бо арзиши скалярӣ (рақамӣ) дар бар мегирад. Агар k скалярӣ бошад ва \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\), пас:
\[ k\vec{v} = \begin{pmatrix} kv_1 \\ kv_2 \\ kv_3 \end{pmatrix} \]
3. Маҳсулоти дохилӣ (Маҳсулоти нуқтаӣ)
Ҳосили дохилии ду вектори \(\vec{u}\) ва \(\vec{v}\) скаляр аст. Онро бо роҳи зерин ҳисоб кардан мумкин аст:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \]
4. Маҳсулоти байниҳамдигарӣ
Ҳосили байни ду вектори \(\vec{u}\) ва \(\vec{v}\) вектори наверо ба вуҷуд меорад, ки ба ҳардуи ин векторҳо ортогоналӣ аст. Дар фазои сеченака, ин чунин ҳисоб карда мешавад:
\[ \vec{u} \times \vec{v} = \оғоз{vmatrix}
\hat{i} ва \hat{j} ва \hat{k} \\
u_1 ва u_2 ва u_3 \\
v_1, v_2 ва v_3
\end{vmatrix} \]
Хулоса
Фаҳмидани истилоҳот ва қайдҳои векторӣ, инчунин намудҳои онҳо дар фанҳои гуногуни илмӣ муҳим аст. Векторҳо на танҳо воҳидҳои математикии абстрактӣ, балки абзорҳои пуриқтидор дар физика, муҳандисӣ ва таҳлили технологияҳои иттилоотӣ низ мебошанд. Бо дарки хуби ин мафҳумҳои асосӣ, мо метавонем масъалаҳои мураккабро дар доираи васеи соҳаҳо ба осонӣ ҳал кунем.
